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14.「2026上海静安期中，★☆」下列分式：$\frac{-6xy}{3x}$，$\frac{y^2 - x^2}{x - y}$，$\frac{x^2 + y^2}{x + y}$，$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$，$\frac{6}{x^2 - 9}$。其中是最简分式的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
$\frac{-6xy}{3x}$中分子,分母的公因式为3x；
$\frac{y^2-x^2}{x-y}=\frac{(y+x)(y-x)}{-(y-x)}$中分子,分母的公因式为$y-x$；
$\frac{x^2+y^2}{x+y}$中分子,分母没有公因式,是最简分式；
$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$中分子,分母的公因式为$x+1$；
$\frac{6}{x^2-9}$中分子,分母没有公因式,是最简分式.$\therefore$ 一共有2个最简分式.故选B.
$\frac{y^2-x^2}{x-y}=\frac{(y+x)(y-x)}{-(y-x)}$中分子,分母的公因式为$y-x$；
$\frac{x^2+y^2}{x+y}$中分子,分母没有公因式,是最简分式；
$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$中分子,分母的公因式为$x+1$；
$\frac{6}{x^2-9}$中分子,分母没有公因式,是最简分式.$\therefore$ 一共有2个最简分式.故选B.
15.聚焦中考过程性学习「2026上海闵行月考，★☆」如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”。
例如：分式$\frac{x-2y}{x^2 - y^2}$是友好分式.若$a$为整数，且关于$x$的分式$\frac{x-3}{x^2 + ax +9}$是“友好分式”，则$a$的值为
例如：分式$\frac{x-2y}{x^2 - y^2}$是友好分式.若$a$为整数，且关于$x$的分式$\frac{x-3}{x^2 + ax +9}$是“友好分式”，则$a$的值为
6或10或-10
.答案
根据“友好分式”的定义可知,$x^2+ax+9$可以因式分解,且不含因式$x-3$,
$\because a$为整数,$\therefore x^2+ax+9=(x+3)^2$或$x^2+ax+9=(x+1)(x+9)$或$x^2+ax+9=(x-1)(x-9)$,
$\therefore a=6$或$a=10$或$a=-10$.故答案为6或10或-10.
$\because a$为整数,$\therefore x^2+ax+9=(x+3)^2$或$x^2+ax+9=(x+1)(x+9)$或$x^2+ax+9=(x-1)(x-9)$,
$\therefore a=6$或$a=10$或$a=-10$.故答案为6或10或-10.
16.(1)「2025北京中考，★☆」已知$a+b-3=0$，求代数式$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$的值.
(2)「2026北京丰台模拟，★☆」已知$(2m-1)^2 + |n-2|=0$，求代数式$\frac{4m^2+4mn+n^2}{4m+2n}$的值.
(2)「2026北京丰台模拟，★☆」已知$(2m-1)^2 + |n-2|=0$，求代数式$\frac{4m^2+4mn+n^2}{4m+2n}$的值.
答案
(1)$\because a+b-3=0$,
$\therefore a+b=3$,
$\therefore \frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$.
(2)$\because (2m-1)^2+|n-2|=0$,
$\therefore 2m-1=0$,$n-2=0$,$\therefore 2m=1$,$n=2$,
$\therefore \frac{4m^2+4mn+n^2}{4m+2n}=\frac{(2m+n)^2}{2(2m+n)}=\frac{2m+n}{2}=\frac{3}{2}$.
$\therefore a+b=3$,
$\therefore \frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$.
(2)$\because (2m-1)^2+|n-2|=0$,
$\therefore 2m-1=0$,$n-2=0$,$\therefore 2m=1$,$n=2$,
$\therefore \frac{4m^2+4mn+n^2}{4m+2n}=\frac{(2m+n)^2}{2(2m+n)}=\frac{2m+n}{2}=\frac{3}{2}$.
17.「★☆」元元从家到学校的路程为$s$ m，无风时她骑车的速度为$a$ m/s.如果风速为$b$ m/s，那么她顺风时从家到学校需要多长时间？逆风时从家到学校需要多长时间？（分别用含$s,a,b$的式子表示出来.如果两式的分母不同，要进行通分）
答案
元元顺风时的速度为$(a+b)$m/s,逆风时的速度为$(a-b)$m/s,$\therefore$ 她顺风时从家到学校需要$\frac{s}{a+b}$ s,逆风时从家到学校需要$\frac{s}{a-b}$ s,
$\because \frac{s}{a+b}$与$\frac{s}{a-b}$的最简公分母为$(a+b)(a-b)$,
$\therefore \frac{s}{a+b}=\frac{sa-sb}{(a+b)(a-b)}$,$\frac{s}{a-b}=\frac{sa+sb}{(a+b)(a-b)}$.
$\because \frac{s}{a+b}$与$\frac{s}{a-b}$的最简公分母为$(a+b)(a-b)$,
$\therefore \frac{s}{a+b}=\frac{sa-sb}{(a+b)(a-b)}$,$\frac{s}{a-b}=\frac{sa+sb}{(a+b)(a-b)}$.
18. 核心素养 推理能力 聚焦中考 过程性学习「2025 山东济宁曲阜期末」
阅读下列材料,然后解答后面的问题.
我们知道:分式和分数有着很多的相似点,如类比分数的基本性质,我们得到了分式的基本性质,等等.小学里,把分子比分母小的分数叫作真分数.类似地,对于只含有一个字母的分式,我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式,
如:$\frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$,$\frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2 -1 +1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$.
(1) 下列分式中,属于真分式的是
A. $\frac{2023}{x}$ B. $\frac{x-1}{2x+1}$ C. $\frac{x^2}{x-2}$ D. $\frac{x^2+1}{x^2-1}$
(2) 将假分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$化成整式和真分式的和的形式.
(3) 当$m$取哪些整数时,分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$的值也是整数?
阅读下列材料,然后解答后面的问题.
我们知道:分式和分数有着很多的相似点,如类比分数的基本性质,我们得到了分式的基本性质,等等.小学里,把分子比分母小的分数叫作真分数.类似地,对于只含有一个字母的分式,我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式,
如:$\frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$,$\frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2 -1 +1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$.
(1) 下列分式中,属于真分式的是
A
.A. $\frac{2023}{x}$ B. $\frac{x-1}{2x+1}$ C. $\frac{x^2}{x-2}$ D. $\frac{x^2+1}{x^2-1}$
(2) 将假分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$化成整式和真分式的和的形式.
(3) 当$m$取哪些整数时,分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$的值也是整数?
答案
(1)$\because$ 只含有一个字母且分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,$\therefore \frac{2023}{x}$是真分式,$\frac{x-1}{2x+1}$,$\frac{x^2}{x-2}$,$\frac{x^2+1}{x^2-1}$是假分式,故填A.
(2)$\frac{m^2+2m}{m-1}=\frac{m^2-1+2m-2+3}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)}{m-1}+\frac{2(m-1)}{m-1}+\frac{3}{m-1}$
$=m+1+2+\frac{3}{m-1}=m+3+\frac{3}{m-1}$.
(3)由(2)得$\frac{m^2+2m}{m-1}=m+3+\frac{3}{m-1}$,
$\because m$是整数,分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$的值也是整数,
$\therefore m-1=\pm1$或$\pm3$,
$\therefore m=2$或$m=0$或$m=4$或$m=-2$.
(2)$\frac{m^2+2m}{m-1}=\frac{m^2-1+2m-2+3}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)}{m-1}+\frac{2(m-1)}{m-1}+\frac{3}{m-1}$
$=m+1+2+\frac{3}{m-1}=m+3+\frac{3}{m-1}$.
(3)由(2)得$\frac{m^2+2m}{m-1}=m+3+\frac{3}{m-1}$,
$\because m$是整数,分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$的值也是整数,
$\therefore m-1=\pm1$或$\pm3$,
$\therefore m=2$或$m=0$或$m=4$或$m=-2$.
