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【例题1】若四位数6□9□能被15整除，□里的数字相同，则□里可以填(
【分析】
首先分解$15=3×5$，这个数能被15整除，因此它既能被3整除，又能被5整除。我们已经学过3和5的倍数具有以下特征：
【解答】
方法总结 对于“一个未知的被除数可以被一个较大数整除”的问题，可以把这个较大数拆成某两个或者三个具备明显整除特征的数的乘积。例如：$15=3×5$，$24=3×8$，$72=8×9$，$60=3×4×5$……
举一反三 提高迁移能力
0
)。【分析】
首先分解$15=3×5$，这个数能被15整除，因此它既能被3整除，又能被5整除。我们已经学过3和5的倍数具有以下特征：
【解答】
方法总结 对于“一个未知的被除数可以被一个较大数整除”的问题，可以把这个较大数拆成某两个或者三个具备明显整除特征的数的乘积。例如：$15=3×5$，$24=3×8$，$72=8×9$，$60=3×4×5$……
举一反三 提高迁移能力
答案
0
1. 一个五位数5□42□能被18整除，且前后□里的数相差1，那么这个五位数是(
53424
)。答案
1. 53424
提示:设原数=$\overline{5a42b}$,18=2×9,能被9整除,各数位上的数之和是9的倍数,可能是18或27,相对应a+b=7或a+b=16。因为a,b相差1,所以a+b一定是奇数,所以a+b=7。又因为能被2整除,所以b是偶数,所以a=3,b=4,原数为53424。
提示:设原数=$\overline{5a42b}$,18=2×9,能被9整除,各数位上的数之和是9的倍数,可能是18或27,相对应a+b=7或a+b=16。因为a,b相差1,所以a+b一定是奇数,所以a+b=7。又因为能被2整除,所以b是偶数,所以a=3,b=4,原数为53424。
2. 一个各位上的数互不相同的四位数能被9整除，把它的个位上的数去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除，这个四位数最大是(
9846
)。答案
2. 9846
提示:要使数最大,千位上是9,百位上是8;由于去掉个位上的数后,能被4整除,那么十位上必须是偶数,8已经有了,如果是6的话,986不能被4整除,所以十位上只能是4;要被9整除,各个数位上的数之和必须被9整除,9+8+4=21,加6得27才能被9整除,所以个位上为6,组合起来就是9846。
提示:要使数最大,千位上是9,百位上是8;由于去掉个位上的数后,能被4整除,那么十位上必须是偶数,8已经有了,如果是6的话,986不能被4整除,所以十位上只能是4;要被9整除,各个数位上的数之和必须被9整除,9+8+4=21,加6得27才能被9整除,所以个位上为6,组合起来就是9846。
3. 在748后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，且使这个数尽可能小。
这个六位数是(
这个六位数是(
748020
)。答案
3. 748020
提示:使这个数尽可能小,百位上的数应是0,且能被4和5整除,即能被4×5=20整除,则个位上的数应选0,十位上的数应是偶数,设为A,得六位数$\overline{7480A0}$,这个数的各数位上的数之和是7+4+8+0+A+0=19+A。要使这个六位数能被3整除,则A=2或8;使这个数尽可能小,则A=2。
提示:使这个数尽可能小,百位上的数应是0,且能被4和5整除,即能被4×5=20整除,则个位上的数应选0,十位上的数应是偶数,设为A,得六位数$\overline{7480A0}$,这个数的各数位上的数之和是7+4+8+0+A+0=19+A。要使这个六位数能被3整除,则A=2或8;使这个数尽可能小,则A=2。
【例题2】如果六位数2026
能被106整除，那么它的最后两位数是多少？
【分析】
将六位数记作$\overline{2026AB}$，$A,B$为末尾两位数字，需满足$(202600 + 10A + B)$能被106整除，也就是202600除以106得到的余数加上$(10A+B)$能被106整除。$(10A+B)$一定是两位数，$202600÷106=1911······34$，因此$34 + 10A + B = 106$，由此可以求出$A$和$B$。
【解答】
能被106整除，那么它的最后两位数是多少？【分析】
将六位数记作$\overline{2026AB}$，$A,B$为末尾两位数字，需满足$(202600 + 10A + B)$能被106整除，也就是202600除以106得到的余数加上$(10A+B)$能被106整除。$(10A+B)$一定是两位数，$202600÷106=1911······34$，因此$34 + 10A + B = 106$，由此可以求出$A$和$B$。
【解答】
答案
最后两位数是72。
4. 已知四位数$\overline{2ab4}$是49的倍数，则满足条件的$ab$的最大值是(
74
)。答案
4. 74
提示:用试除法得到2989是3000以内能被49整除的最大数,2989每次减去49之后的结果也必然是49的倍数,用个位分析,2989最少减去5个49可以使个位为4,结果为2744,所以$\overline{ab}$的最大值为74。
提示:用试除法得到2989是3000以内能被49整除的最大数,2989每次减去49之后的结果也必然是49的倍数,用个位分析,2989最少减去5个49可以使个位为4,结果为2744,所以$\overline{ab}$的最大值为74。
5. 六位数1045
能被17整除，末两位数有多少种情况？
能被17整除，末两位数有多少种情况？答案
5. 末两位数有5种情况。
提示:用试除法,令末两位数为00时,得104500÷17=6147……1,把余1看作不足16,所以末两位的数为16,33,50,67,84这五种情况时,该六位数能被17整除。
提示:用试除法,令末两位数为00时,得104500÷17=6147……1,把余1看作不足16,所以末两位的数为16,33,50,67,84这五种情况时,该六位数能被17整除。
6.一个四位回文数,它最小的8个因数的和是43,那么这个四位回文数是多少?(形如1111,4334,3210123的数称为回文数)
答案
6. 2772
提示:由整数性质,四位回文数一定是11的倍数。若没有因数2,那么不可能满足最小8个因数的和为43;若没有因数3,1+2+4+5+7+8+10+11=48＞43,也不满足要求。若没有因数4,1+2+3+5+6+7+9+10=43,但是同时有因数7,9,10,11的数只能是6930,也不满足回文数。所以因数1,2,3,4,6,11是必须存在的。若有因数5,则一定有因数10,这个四位数个位是0,不可能是回文数。所以最小的8个因数之和为43,只有1,2,3,4,6,7,9,11这一种情况满足要求。它们的最小共同的倍数为2772,符合回文数要求,2772的其他倍数不是回文数。
提示:由整数性质,四位回文数一定是11的倍数。若没有因数2,那么不可能满足最小8个因数的和为43;若没有因数3,1+2+4+5+7+8+10+11=48＞43,也不满足要求。若没有因数4,1+2+3+5+6+7+9+10=43,但是同时有因数7,9,10,11的数只能是6930,也不满足回文数。所以因数1,2,3,4,6,11是必须存在的。若有因数5,则一定有因数10,这个四位数个位是0,不可能是回文数。所以最小的8个因数之和为43,只有1,2,3,4,6,7,9,11这一种情况满足要求。它们的最小共同的倍数为2772,符合回文数要求,2772的其他倍数不是回文数。
