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初中数学
七年级
上册
沪科版
9.「★☆」已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y-8=0, \\2x+3y+ax-3=0.\end{cases}$
(1)当$a=2$时,求$x+y$的值.
(2)若$x$和$y$互为相反数,求$a$的值.
(3)无论$a$取何值,关于$x,y$的二元一次方程$2x+3y+ax-3=0$总有一个恒定不变的解,该解为.
七年级
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沪科版
9.「★☆」已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y-8=0, \\2x+3y+ax-3=0.\end{cases}$
(1)当$a=2$时,求$x+y$的值.
(2)若$x$和$y$互为相反数,求$a$的值.
(3)无论$a$取何值,关于$x,y$的二元一次方程$2x+3y+ax-3=0$总有一个恒定不变的解,该解为.
答案
(1)当a=2时,方程组整理得$\begin{cases}3x+2y-8=0①, \\4x+3y-3=0②,\end{cases}$
②-①,得x+y+5=0,所以x+y=-5.
(2)因为x和y互为相反数,所以y=-x,
把y=-x代入方程组,
得$\begin{cases}3x-2x-8=0, \\2x-3x+ax-3=0,\end{cases}$整理,得$\begin{cases}x-8=0, \\ax-x-3=0,\end{cases}$
解方程x-8=0,得x=8,所以8a-8-3=0,
解得$a=\dfrac{11}{8}$.
(3)$\begin{cases}x=0, \\y=1.\end{cases}$
②-①,得x+y+5=0,所以x+y=-5.
(2)因为x和y互为相反数,所以y=-x,
把y=-x代入方程组,
得$\begin{cases}3x-2x-8=0, \\2x-3x+ax-3=0,\end{cases}$整理,得$\begin{cases}x-8=0, \\ax-x-3=0,\end{cases}$
解方程x-8=0,得x=8,所以8a-8-3=0,
解得$a=\dfrac{11}{8}$.
(3)$\begin{cases}x=0, \\y=1.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 当a=2时，先整理第二个方程，观察两个方程的系数特征，无需分别求解x、y，直接将两个方程作差，即可整体得到x+y的表达式，快速算出结果。
(2) 已知x和y互为相反数，根据相反数性质可得y=-x，将其代入第一个方程先求出x的值，再代入第二个方程即可求出a的取值。
(3) 要找无论a取何值方程都成立的恒定解，需消除参数a的影响，只需令含a项的系数为0，先确定x的取值，再代入方程求对应y的值即可。
【解析】
(1) 当a=2时，方程组整理得$\begin{cases}3x+2y-8=0①, \\4x+3y-3=0②,\end{cases}$
用②-①得：$(4x+3y-3)-(3x+2y-8)=0$，化简得$x+y+5=0$，因此$x+y=-5$。
(2) 因为x和y互为相反数，所以$y=-x$，
将$y=-x$代入原方程组，得$\begin{cases}3x-2x-8=0, \\2x-3x+ax-3=0,\end{cases}$
整理得$\begin{cases}x-8=0, \\(a-1)x-3=0,\end{cases}$
解方程$x-8=0$得$x=8$，把$x=8$代入$(a-1)x-3=0$，得$8(a-1)-3=0$，解得$a=\dfrac{11}{8}$。
(3) 要使$2x+3y+ax-3=0$无论a取何值都成立，需让含a的项系数为0，即$x=0$，
把$x=0$代入方程得$3y-3=0$，解得$y=1$，因此恒定解为$\begin{cases}x=0, \\y=1.\end{cases}$
【答案】
(1) $x+y=-5$；(2) $a=\dfrac{11}{8}$；(3) $\begin{cases}x=0, \\y=1.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，相反数的性质，含参方程恒解
【点评】
本题设置了三层递进的问题，既考查了加减消元、代入消元等二元一次方程组的基础解法，也渗透了整体计算、特殊条件转化的解题技巧，第三小问需要学生抓住“参数不影响结果”的核心分析问题，对思维灵活性有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
(1) 当a=2时，先整理第二个方程，观察两个方程的系数特征，无需分别求解x、y，直接将两个方程作差，即可整体得到x+y的表达式，快速算出结果。
(2) 已知x和y互为相反数，根据相反数性质可得y=-x，将其代入第一个方程先求出x的值，再代入第二个方程即可求出a的取值。
(3) 要找无论a取何值方程都成立的恒定解，需消除参数a的影响，只需令含a项的系数为0，先确定x的取值，再代入方程求对应y的值即可。
【解析】
(1) 当a=2时，方程组整理得$\begin{cases}3x+2y-8=0①, \\4x+3y-3=0②,\end{cases}$
用②-①得：$(4x+3y-3)-(3x+2y-8)=0$，化简得$x+y+5=0$，因此$x+y=-5$。
(2) 因为x和y互为相反数，所以$y=-x$，
将$y=-x$代入原方程组，得$\begin{cases}3x-2x-8=0, \\2x-3x+ax-3=0,\end{cases}$
整理得$\begin{cases}x-8=0, \\(a-1)x-3=0,\end{cases}$
解方程$x-8=0$得$x=8$，把$x=8$代入$(a-1)x-3=0$，得$8(a-1)-3=0$，解得$a=\dfrac{11}{8}$。
(3) 要使$2x+3y+ax-3=0$无论a取何值都成立，需让含a的项系数为0，即$x=0$，
把$x=0$代入方程得$3y-3=0$，解得$y=1$，因此恒定解为$\begin{cases}x=0, \\y=1.\end{cases}$
【答案】
(1) $x+y=-5$；(2) $a=\dfrac{11}{8}$；(3) $\begin{cases}x=0, \\y=1.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，相反数的性质，含参方程恒解
【点评】
本题设置了三层递进的问题，既考查了加减消元、代入消元等二元一次方程组的基础解法，也渗透了整体计算、特殊条件转化的解题技巧，第三小问需要学生抓住“参数不影响结果”的核心分析问题，对思维灵活性有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
10.「2025安徽芜湖期末，★★」对于有理数$x$，规定$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如：$[1.9]=1$，$[2]=2$，$[-3.5]=-4$，若$\begin{cases}2[x]-y=-2, \\3[x-2]+y=6,\end{cases}$求$[x+y]$的值.
答案
$\begin{cases}2[x]-y=-2①, \\3[x-2]+y=6②,\end{cases}$
①+②,得$2[x]+3[x-2]=4③$,
设$[x]=t$,因为$[x]$表示不大于x的最大整数,所以$x=t+a$(a为大于或等于0且小于1的数),所以$x-2=t-2+a$,所以$[x-2]=t-2$,代入③,得$2t+3(t-2)=4$,解得t=2,则$[x]=2$,$x=2+a$.将$[x]=2$代入①,得4-y=-2,所以y=6,所以x+y=2+a+6=8+a,因为a为大于或等于0且小于1的数,所以$[x+y]=[8+a]=8$.
①+②,得$2[x]+3[x-2]=4③$,
设$[x]=t$,因为$[x]$表示不大于x的最大整数,所以$x=t+a$(a为大于或等于0且小于1的数),所以$x-2=t-2+a$,所以$[x-2]=t-2$,代入③,得$2t+3(t-2)=4$,解得t=2,则$[x]=2$,$x=2+a$.将$[x]=2$代入①,得4-y=-2,所以y=6,所以x+y=2+a+6=8+a,因为a为大于或等于0且小于1的数,所以$[x+y]=[8+a]=8$.
解析
【分析】首先观察方程组的结构，两个方程中y的系数互为相反数，可先用加减消元法消去y，得到仅含[x]和[x-2]的方程；再根据取整符号[x]的定义，推出[x-2]=[x]-2，设[x]=t将方程转化为关于t的一元一次方程，求出t即[x]的值；随后将[x]代回原方程求出y的值，最后根据x的取值范围确定x+y的范围，即可求出[x+y]的值。
【解析】
$\begin{cases}2[x]-y=-2①, \\3[x-2]+y=6②,\end{cases}$
①+②，消去$y$得：$2[x]+3[x-2]=4$③，
设$[x]=t$，根据$[x]$表示不大于$x$的最大整数，可知$x=t+a$（$a$满足$0≤ a＜1$），则$x-2=t-2+a$，因此$[x-2]=t-2$，
将$[x]=t$、$[x-2]=t-2$代入③得：
$2t+3(t-2)=4$，
解得$t=2$，即$[x]=2$，
把$[x]=2$代入①得：$4-y=-2$，解得$y=6$，
由$[x]=2$得$x=2+a$（$0≤ a＜1$），因此$x+y=8+a$，
因为$0≤ a＜1$，所以$8≤ 8+a＜9$，故$[x+y]=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；新定义运算；取整函数性质
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的应用，解题核心是正确理解取整的定义，通过消元、换元将陌生的取整方程转化为熟悉的一元一次方程求解，最后要结合取整的规则确定取值范围，才能得到正确的取整结果。
【难度系数】
0.6
【解析】
$\begin{cases}2[x]-y=-2①, \\3[x-2]+y=6②,\end{cases}$
①+②，消去$y$得：$2[x]+3[x-2]=4$③，
设$[x]=t$，根据$[x]$表示不大于$x$的最大整数，可知$x=t+a$（$a$满足$0≤ a＜1$），则$x-2=t-2+a$，因此$[x-2]=t-2$，
将$[x]=t$、$[x-2]=t-2$代入③得：
$2t+3(t-2)=4$，
解得$t=2$，即$[x]=2$，
把$[x]=2$代入①得：$4-y=-2$，解得$y=6$，
由$[x]=2$得$x=2+a$（$0≤ a＜1$），因此$x+y=8+a$，
因为$0≤ a＜1$，所以$8≤ 8+a＜9$，故$[x+y]=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；新定义运算；取整函数性质
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的应用，解题核心是正确理解取整的定义，通过消元、换元将陌生的取整方程转化为熟悉的一元一次方程求解，最后要结合取整的规则确定取值范围，才能得到正确的取整结果。
【难度系数】
0.6
11. 核心素养 运算能力 「2026安徽合肥蜀山月考」阅读下面解方程组的方法,并解答下列问题.
解方程组: $\begin{cases}21x + 22y = 23①, \\24x + 25y = 26②.\end{cases}$
解:②-①,得$3x + 3y = 3$,
所以$x + y = 1③$,
③×21,得$21x + 21y = 21④$,
①-④,得$y = 2$,
把$y = 2$代入③,得$x = -1$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$
(1) 请你用上述方法解方程组 $\begin{cases}2032x + 2030y = 2028①, \\2026x + 2024y = 2022②.\end{cases}$
(2) 猜想关于$x, y$的方程组 $\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2, \\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}(m ≠ n)$的解,并说明理由.
解方程组: $\begin{cases}21x + 22y = 23①, \\24x + 25y = 26②.\end{cases}$
解:②-①,得$3x + 3y = 3$,
所以$x + y = 1③$,
③×21,得$21x + 21y = 21④$,
①-④,得$y = 2$,
把$y = 2$代入③,得$x = -1$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$
(1) 请你用上述方法解方程组 $\begin{cases}2032x + 2030y = 2028①, \\2026x + 2024y = 2022②.\end{cases}$
(2) 猜想关于$x, y$的方程组 $\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2, \\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}(m ≠ n)$的解,并说明理由.
答案
(1)$\begin{cases}2032x+2030y=2028①, \\2026x+2024y=2022②,\end{cases}$
①-②,得6x+6y=6,所以x+y=1③,
③×2026,得2026x+2026y=2026④,
④-②,得2y=4,解得y=2,
把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2)猜想关于x,y的方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
理由:$\begin{cases}mx+(m+1)y=m+2①, \\nx+(n+1)y=n+2②,\end{cases}$
①-②,得$(m-n)x+(m-n)y=m-n$,
所以x+y=1③,
③×m,得mx+my=m④,①-④,得y=2,
把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
①-②,得6x+6y=6,所以x+y=1③,
③×2026,得2026x+2026y=2026④,
④-②,得2y=4,解得y=2,
把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2)猜想关于x,y的方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
理由:$\begin{cases}mx+(m+1)y=m+2①, \\nx+(n+1)y=n+2②,\end{cases}$
①-②,得$(m-n)x+(m-n)y=m-n$,
所以x+y=1③,
③×m,得mx+my=m④,①-④,得y=2,
把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
解析
【分析】
本题属于阅读类解二元一次方程组的题目，解题时先读懂示例的简便解法：当二元一次方程组中两个方程的x系数差、y系数差、常数项差相等时，先将两式作差，化简得到x+y=1的形式，再通过乘系数消元分别求解x、y的值。（1）问直接模仿示例方法，先计算①-②，化简得x+y=1，再结合原方程消元求解；（2）问把m、n当作常数，同样用两式作差的方法，结合m≠n的条件化简得到x+y=1，再消元验证猜想即可。
【解析】
(1) 解方程组 $\begin{cases}2032x + 2030y = 2028①, \\2026x + 2024y = 2022②,\end{cases}$
①-②，得$6x + 6y = 6$，化简得$x + y = 1$ ③，
③×2026，得$2026x + 2026y = 2026$ ④，
④-②，得$2y = 4$，解得$y = 2$，
把$y = 2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$。
(2) 猜想方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
理由如下：对于方程组 $\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2①, \\nx + (n + 1)y = n + 2②,\end{cases}$（$m≠n$）
①-②，得$(m-n)x + (m-n)y = m-n$，
因为$m≠n$，即$m-n≠0$，等式两边同时除以$m-n$，得$x + y = 1$ ③，
③×$m$，得$mx + my = m$ ④，
①-④，得$y = 2$，
把$y = 2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2) 解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$，理由见解析。
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解，类比推理
【点评】
本题是阅读类运算题，核心是掌握题目给出的特殊加减消元技巧，避免直接消元的复杂计算，既考查对加减消元法的灵活运用，也考查类比迁移的能力，熟练掌握该技巧可以大幅提升同类型方程组的解题速度。
【难度系数】
0.7
本题属于阅读类解二元一次方程组的题目，解题时先读懂示例的简便解法：当二元一次方程组中两个方程的x系数差、y系数差、常数项差相等时，先将两式作差，化简得到x+y=1的形式，再通过乘系数消元分别求解x、y的值。（1）问直接模仿示例方法，先计算①-②，化简得x+y=1，再结合原方程消元求解；（2）问把m、n当作常数，同样用两式作差的方法，结合m≠n的条件化简得到x+y=1，再消元验证猜想即可。
【解析】
(1) 解方程组 $\begin{cases}2032x + 2030y = 2028①, \\2026x + 2024y = 2022②,\end{cases}$
①-②，得$6x + 6y = 6$，化简得$x + y = 1$ ③，
③×2026，得$2026x + 2026y = 2026$ ④，
④-②，得$2y = 4$，解得$y = 2$，
把$y = 2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$。
(2) 猜想方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
理由如下：对于方程组 $\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2①, \\nx + (n + 1)y = n + 2②,\end{cases}$（$m≠n$）
①-②，得$(m-n)x + (m-n)y = m-n$，
因为$m≠n$，即$m-n≠0$，等式两边同时除以$m-n$，得$x + y = 1$ ③，
③×$m$，得$mx + my = m$ ④，
①-④，得$y = 2$，
把$y = 2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2) 解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$，理由见解析。
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解，类比推理
【点评】
本题是阅读类运算题，核心是掌握题目给出的特殊加减消元技巧，避免直接消元的复杂计算，既考查对加减消元法的灵活运用，也考查类比迁移的能力，熟练掌握该技巧可以大幅提升同类型方程组的解题速度。
【难度系数】
0.7
