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8. 已知关于$x$的方程$(x-3)(x-2)-p^2=0.$
（1）求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,求实数$p$的值.
（1）求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,求实数$p$的值.
答案
8. (1) 证明:原方程可化为$x^2-5x+(6-p^2)=0$,$\Delta=(-5)^2-4×(6-p^2)=1+4p^2$.$\because 4p^2≥0$,$\therefore 1+4p^2＞0$,即$\Delta＞0$,$\therefore$无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2) 由题意,得$\begin{cases}x_1+x_2=5,\\x_1x_2=6-p^2,\end{cases}$ $\because x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3x_1x_2$,$\therefore 25-5(6-p^2)=0$,$\therefore p_1=1$,$p_2=-1$. $\therefore$实数$p$的值为$1,-1$.
(2) 由题意,得$\begin{cases}x_1+x_2=5,\\x_1x_2=6-p^2,\end{cases}$ $\because x_1^2+x_2^2=3x_1x_2$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3x_1x_2$,$\therefore 25-5(6-p^2)=0$,$\therefore p_1=1$,$p_2=-1$. $\therefore$实数$p$的值为$1,-1$.
9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_1, x_2 $。
（1）求实数 $ k $ 的取值范围；
（2）若方程两个实数根 $ x_1, x_2 $ 满足 $ |x_1| + |x_2| = x_1x_2 $，求 $ k $ 的值。
（1）求实数 $ k $ 的取值范围；
（2）若方程两个实数根 $ x_1, x_2 $ 满足 $ |x_1| + |x_2| = x_1x_2 $，求 $ k $ 的值。
答案
9. (1) $\because$原方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3＞0$,解得$k＞\frac{3}{4}$.
(2) $\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore x_1+x_2=-(2k+1)＜0$.$\because x_1x_2=k^2+1＞0$,$\therefore x_1＜0$,$x_2＜0$,$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$.$\because |x_1|+|x_2|=x_1x_2$,$\therefore 2k+1=k^2+1$,$\therefore k=0$或$2$.$\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore k=2$.
(2) $\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore x_1+x_2=-(2k+1)＜0$.$\because x_1x_2=k^2+1＞0$,$\therefore x_1＜0$,$x_2＜0$,$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$.$\because |x_1|+|x_2|=x_1x_2$,$\therefore 2k+1=k^2+1$,$\therefore k=0$或$2$.$\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore k=2$.
