8. 已知 P 是线段 AB 上一点，M，N 分别是线段 AP，PB 的中点.
（1）如图①，若 P 是线段 AB 的中点，且 MP＝5 cm，则线段 AB 的长为cm，线段 MN 的长为cm.
（2）如图②，若 P 是线段 AB 上的任意一点，且 AB＝12 cm，求线段 MN 的长.
（3）若 P 是直线 AB 上的任意一点，且 AB＝a，直接写出线段 MN 的长.

8. （1）20;10. （2）因为 M,N 分别是线段 AP,PB 的中点,所以 $MP=\frac{1}{2}AP$,$NP=\frac{1}{2}BP$. 所以 $MN=MP+NP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$(cm). （3）因为 P 是直线 AB 上的任意一点,所以有以下三种情况. ① 当点 P 在线段 AB 上时,由(2),可知 $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$. ② 当点 P 在线段 AB 的延长线上时,如图①. 因为 M,N 分别是线段 AP,PB 的中点,所以 $PM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(AB+BP)$,$PN=\frac{1}{2}BP$. 所以 $MN=PM-PN=\frac{1}{2}(AB+BP)-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$. ③ 当点 P 在线段 BA 的延长线上时,如图②. 因为 M,N 分别是线段 AP,PB 的中点,所以 $PM=\frac{1}{2}AP$,$PN=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AB+AP)$. 所以 $MN=PN-PM=\frac{1}{2}(AB+AP)-\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$. 综上所述,线段 MN 的长为 $\frac{1}{2}a$.

9.已知线段AB，点C，D在直线AB上，且$CD=8$，$AC:CB=1:2$，$BD:AB=2:3$，则$AB=$

9. 6或3 分三种情况讨论:① 如图①,当点 C 在线段 AB 上时,因为 $AC:CB=1:2$,所以 $BC=\frac{2}{3}AB$. 因为 $BD:AB=2:3$,所以 $BD=\frac{2}{3}AB$. 所以易得点 D 在线段 AB 的延长线上,$CD=BC+BD=\frac{4}{3}AB=8$. 所以 AB=6. ② 如图②,当点 C 在线段 AB 的反向延长线上,点 D 在线段 AB 上时,因为 $BD:AB=2:3$,所以 AB=3AD. 因为 $AC:CB=1:2$,所以 AC=AB=3AD. 所以 CD=AC+AD=4AD=8. 所以 AD=2. 所以 AB=6. ③ 如图③,当点 C 在线段 AB 的反向延长线上,点 D 在线段 AB 的延长线上时,因为 $AC:CB=1:2$,所以 AC=AB. 因为 $BD:AB=2:3$,所以 $BD=\frac{2}{3}AB$. 所以 $CD=AC+AB+BD=\frac{8}{3}AB=8$. 所以 AB=3. 综上所述,AB=6 或 3.

10. 若C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，D为直线AB上一点，M，N分别是AB，CD的中点。
若MN=10，则线段AD的长为。

10. 24或16 因为 C 为线段 AB 上一点,AB=12,AC=8,所以 BC=AB-AC=4. 因为 M 是 AB 的中点,所以 $AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$. 所以 MC=AC-AM=2. ① 如图①,当点 D 在 AB 的延长线上时,因为 MN=10,所以 BN=MN-BM=4. 又因为 N 是 CD 的中点,所以 DN=CN=BC+BN=8. 所以 AD=AC+CN+ND=8+8+8=24. ② 如图②,当点 D 在线段 BA 的延长线上时,因为 MN=10,所以 AN=MN-AM=4. 又因为 N 是 CD 的中点,所以 DN=CN=AN+AC=4+8=12. 所以 AD=ND+AN=12+4=16. 综上所述,AD 的长为 24 或 16.

11. 如图,点 C 在线段 AB 上,AC=6 cm,CB=4 cm,点 M 以 1 cm/s 的速度从点 A 沿线段 AC 向点 C 运动;同时点 N 以 2 cm/s 的速度从点 C 出发,在线段 CB 上做来回往返运动(即沿点 C→B→C→B→…运动),当点 M 运动到点 C 时,点 M,N 都停止运动,设点 M 运动的时间为 t s.
(1) 当 t=1 时,求 MN 的长.
(2) 当 t 为何值时,C 为线段 MN 的中点?
(3) 若 P 是线段 CN 的中点,在整个运动过程中,是否存在某个时间段,使 PM 的长保持不变?如果存在,求出 PM 的长;如果不存在,请说明理由.

11. (1) 当 t=1 时,AM=1 cm,CN=2 cm,所以 MC=AC-AM=6-1=5(cm). 所以 MN=MC+CN=5+2=7(cm). (2) 由题意,得 AM=t cm,MC=(6-t)cm. 因为当点 M 运动到点 C 时,点 M,N 都停止运动,所以 0≤t≤6. ① 当 0≤t≤2 时,点 N 从点 C 向点 B 运动,CN=2t cm. 因为 C 为线段 MN 的中点,所以 MC=CN,即 6-t=2t,解得 t=2. ② 当 2＜t≤4 时,点 N 从点 B 向点 C 运动,CN=(8-2t)cm. 因为 C 为线段 MN 的中点,所以 MC=CN,即 6-t=8-2t,解得 t=2(舍去). ③ 当 4＜t≤6 时,点 N 从点 C 向点 B 运动,CN=(2t-8)cm. 因为 C 为线段 MN 的中点,所以 MC=CN,即 6-t=2t-8,解得 $t=\frac{14}{3}$. 综上所述,当 t=2 或 $\frac{14}{3}$ 时,C 为线段 MN 的中点. (3) 存在. ① 当 0＜t≤2 时,点 N 从点 C 向点 B 运动,CN=2t cm. 因为 P 是线段 CN 的中点,所以 $CP=\frac{1}{2}CN=t$ cm. 所以 PM=MC+CP=6-t+t=6(cm). 此时,PM 的长保持不变. ② 当 2＜t＜4 时,点 N 从点 B 向点 C 运动,CN=(8-2t)cm. 因为 P 是线段 CN 的中点,所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(8-2t)=(4-t)$ cm. 所以 PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)cm. 此时,PM 的长会变化. ③ 当 4＜t≤6 时,点 N 从点 C 向点 B 运动,CN=(2t-8)cm. 因为 P 是线段 CN 的中点,所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(2t-8)=(t-4)$ cm. 所以 PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2(cm). 此时,PM 的长保持不变. 综上所述,当 0＜t≤2 或 4＜t≤6 时,PM 的长保持不变,PM 的长分别为 6 cm 或 2 cm.