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9(2026·淮安涟水一模)若10个数据$x_1,x_2,x_3,\dots,x_{10}$的方差为3，则数据$x_1+1,x_2+1,x_3+1,\dots,x_{10}+1$的方差为
3
。答案
9.3
10 国庆节10月1日至4日期间，某景区每天的游客人数如下表所示：
根据组内离差平方和最小的原则，将这4天的数据分为两组应该如何分？
根据组内离差平方和最小的原则，将这4天的数据分为两组应该如何分？答案
10.将数据从小到大排列为 3,4,4,5,
则 $\overline{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=4$.
若分为 {3},{4,4,5},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{4+4+5}{3}=\frac{13}{3}$,
$S_1^2=0,S_2^2=(4-\frac{13}{3})^2+(4-\frac{13}{3})^2+(5-\frac{13}{3})^2=\frac{2}{3}$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}$;
若分为 {3,4},{4,5},则 $\overline{x}_1=\frac{7}{2},\overline{x}_2=\frac{9}{2}$,
$S_1^2=(3-\frac{7}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$,
$S_2^2=(4-\frac{9}{2})^2+(5-\frac{9}{2})^2=\frac{1}{2}$,
$S_1^2+S_2^2=1$;
若分为 {3,4,4},{5},则 $\overline{x}_1=\frac{11}{3},\overline{x}_2=5$,
$S_1^2=(3-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2=\frac{2}{3},S_2^2=0$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3},\frac{2}{3}＜1$.
综上,若按组内离差平方和最小原则,则分为{3},{4,4,5}或{3,4,4},{5}.
则 $\overline{x}=\frac{3+4+4+5}{4}=4$.
若分为 {3},{4,4,5},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{4+4+5}{3}=\frac{13}{3}$,
$S_1^2=0,S_2^2=(4-\frac{13}{3})^2+(4-\frac{13}{3})^2+(5-\frac{13}{3})^2=\frac{2}{3}$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}$;
若分为 {3,4},{4,5},则 $\overline{x}_1=\frac{7}{2},\overline{x}_2=\frac{9}{2}$,
$S_1^2=(3-\frac{7}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$,
$S_2^2=(4-\frac{9}{2})^2+(5-\frac{9}{2})^2=\frac{1}{2}$,
$S_1^2+S_2^2=1$;
若分为 {3,4,4},{5},则 $\overline{x}_1=\frac{11}{3},\overline{x}_2=5$,
$S_1^2=(3-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2=\frac{2}{3},S_2^2=0$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3},\frac{2}{3}＜1$.
综上,若按组内离差平方和最小原则,则分为{3},{4,4,5}或{3,4,4},{5}.
11 如果把数据9,6,3,5,12分成三组,根据组内离差平方和最小的原则,应该如何分?
答案
11.将数据从小到大排列为 3,5,6,9,12,
则 $\overline{x}=\frac{3+5+6+9+12}{5}=7$.
若分为{3},{5},{6,9,12},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=5,\overline{x}_3=9$,
$S_1^2=0,S_2^2=0,S_3^2=18,S_1^2+S_2^2+S_3^2=18$;
若分为{3},{5,6},{9,12},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{11}{2},\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{1}{2},S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=5$;
若分为{3},{5,6,9},{12},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{20}{3},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{26}{3},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{26}{3}$;
若分为{3,5},{6},{9,12},则 $\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=6,\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=2,S_2^2=0,S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5},{6,9},{12},则 $\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=\frac{15}{2},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=2,S_2^2=\frac{9}{2},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5,6},{9},{12},则 $\overline{x}_1=\frac{14}{3},\overline{x}_2=9,\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=\frac{14}{3},S_2^2=0,S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{14}{3}$.
$\because \frac{14}{3}＜5＜\frac{13}{2}＜\frac{26}{3}＜18$,
故按组内离差平方和最小原则,应分为{3,5,6},{9},{12}.
则 $\overline{x}=\frac{3+5+6+9+12}{5}=7$.
若分为{3},{5},{6,9,12},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=5,\overline{x}_3=9$,
$S_1^2=0,S_2^2=0,S_3^2=18,S_1^2+S_2^2+S_3^2=18$;
若分为{3},{5,6},{9,12},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{11}{2},\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{1}{2},S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=5$;
若分为{3},{5,6,9},{12},则 $\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{20}{3},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{26}{3},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{26}{3}$;
若分为{3,5},{6},{9,12},则 $\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=6,\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=2,S_2^2=0,S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5},{6,9},{12},则 $\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=\frac{15}{2},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=2,S_2^2=\frac{9}{2},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5,6},{9},{12},则 $\overline{x}_1=\frac{14}{3},\overline{x}_2=9,\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=\frac{14}{3},S_2^2=0,S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{14}{3}$.
$\because \frac{14}{3}＜5＜\frac{13}{2}＜\frac{26}{3}＜18$,
故按组内离差平方和最小原则,应分为{3,5,6},{9},{12}.
12 新情境 数学与生活融合 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:
七年级:86,94,79,84,71,90,76,83,90,87;
八年级:88,76,90,78,87,93,75,87,87,79.
整理如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a=
A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平.”由此可判断他是
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好?请给出一条理由.
视频学重难
七年级:86,94,79,84,71,90,76,83,90,87;
八年级:88,76,90,78,87,93,75,87,87,79.
整理如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a=
85
,b=87
.A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平.”由此可判断他是
七
年级的学生.(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好?请给出一条理由.
视频学重难
答案
12.(1)85 87 七
(2)$\frac{5}{10}×200+\frac{6}{10}×200=220$(人).
故该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为 220.
(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.理由如下:
因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.
(2)$\frac{5}{10}×200+\frac{6}{10}×200=220$(人).
故该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为 220.
(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.理由如下:
因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.
