1 下列几何体中，由四个面围成的几何体是（）

C 【解析】选项 A 中的几何体有五个面;选项 B中的几何体有三个面;选项 C 中的几何体有四个面;选项 D 中的几何体有三个面. 故选 C.

2 下列说法正确的是 （）

A.若$AB=BC$,则点$B$为线段$AC$的中点
B.射线$AB$和射线$BA$是同一条射线
C.两点之间的线段就是两点之间的距离
D.两点确定一条直线

D 【解析】若点 $B$ 在线段 $AC$ 外,也可以得到$AB=BC$,故 A 不正确;射线 $AB$ 和射线 $BA$ 的端点不相同,方向不相同,所以不是同一条射线,故 B 不正确;两点之间的线段长度是两点之间的距离,故 C 不正确;两点确定一条直线,故 D正确,故选 D.

3 如果$90°＜∠α＜180°$，那么$∠α$ （）

A.只有余角，没有补角
B.只有补角，没有余角
C.既有余角，又有补角
D.既没有余角，也没有补角

B 【解析】因为 $90°＜∠α＜180°$,所以不存在一个角与 $∠α$ 相加等于 $90°$,但是存在一个角与$∠α$ 相加等于 $180°$,所以 $∠α$ 只有补角,没有余角. 故选 B.

4[2025山东临沂期末]如图,已知线段$AB=a$,延长$AB$至点$C$,使$BC=2AB$,$D$为线段$AC$的中点,若$BD=2$,则$a$的值为 ()


A.6
B.5
C.4
D.3

C 【解析】因为 $AB=a,BC=2AB$,所以 $BC=2a$,所以 $AC=AB+BC=a+2a=3a$. 因为 $D$ 为线段 $AC$的中点,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}a$. 因为 $BD=AD-AB,BD=2$,所以 $2=\frac{3}{2}a-a$,解得 $a=4$,故选 C.

5 如图,有一种电子游戏,电子屏幕上有一条直线l,在直线上有A,B,C,D四点(AB≠BC≠CD).点P沿直线l从右向左移动,当出现点P到A,B,C,D四点中的至少两个点距离相等时,就会发出警报,则直线l上会发出警报的点P最多有 ()


A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

C 【解析】由题意知,当点 $P$ 经过任意一条线段中点时都会发出警报. 因为题图中有线段$DC,DB,DA,CB,CA,BA$,且 $AB≠BC≠CD$,所以直线 $l$ 上会发出警报的点 $P$ 最多有 6 个. 故选 C.

6[2025山东聊城期末]如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE=60°，∠BOE=$\frac{1}{3}$∠EOC，
则下列四个结论:①∠BOD=30°;②射线OE平分∠AOC;③图中与∠BOE互余的角有2个;④图中互补的角有6对.其中,正确的个数是 ()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D 【解析】因为 $OD$ 平分 $∠AOB$,所以 $∠AOD=∠BOD$. 因为 $∠BOE=\frac{1}{3}∠EOC$,所以设 $∠BOE=x$,则 $∠COE=3x$. 因为 $∠DOE=60°$,所以 $∠BOD=∠AOD=60°-x$,所以 $2(60°-x)+x+3x=180°$,解得$x=30°$,所以 $∠AOD=∠BOD=30°$,故①正确. 因为$∠BOD = ∠AOD = 30°$, $∠DOE = 60°$, 所以$∠AOD+∠DOE=90°$,则 $∠EOC=∠AOE=90°$,所以射线 $OE$ 平分 $∠AOC$,故②正确. 因为 $∠BOE=30°$,所以 $∠AOB+∠BOE=90°,∠BOE+∠DOE=90°$,所以题图中与 $∠BOE$ 互余的角有 2 个,故③正确. 因为 $∠EOC=90°,∠DOB=∠BOE=∠AOD=30°$,所以 $∠COD+∠AOD=180°,∠COD+∠BOD=180°,∠COD+∠BOE=180°,∠COB+∠AOB=180°,∠COB+∠DOE=180°$. 又因为 $∠AOE+∠EOC=180°$,所以题图中互补的角有 6 对,故④正确. 综上,正确的有 4 个,故选 D.

二、填空题(每小题5分,共25分)
7 把弯曲的河道改直可以缩短航程,能正确解释这一现象的数学知识是.

两点之间,线段最短 【解析】把弯曲的河道改直,能够缩短航程,理由是两点之间,线段最短.

8 [2025 山东菏泽期末] (1) 比较大小：
20.24° 20°24'.（填“＞”“＜”或“=”）
(2) 钟表显示8:20时，时针与分针的夹角（小于180°）是 °.

(1)＜ (2)130 【解析】(1) $24'=(\frac{24}{60})°=0.4°$,所以 $20°24'=20.4°$. 因为 $20.24°＜20.4°$,所以 $20.24°＜20°24'$,故答案为 ＜.
(2) 因为表盘被平均分为 12 份,则每一份为$\frac{360°}{12}=30°$,$8:20$ 时,时针与分针之间有 $4+\frac{20}{60}=\frac{13}{3}$(份),所以此时时针与分针的夹角是 $30°×\frac{13}{3}=130°$,故答案为 130.

9 如图,记以点A为端点的射线条数为x,以点D为其中一个端点的线段的条数为y,则y-x的值为.

(第9题图)
(第10题图)

2 【解析】因为以点 $A$ 为端点的射线有射线$AC$,射线 $AB$,所以 $x=2$. 因为以点 $D$ 为其中一个端点的线段有 $DA,DO,DB,DC$,所以 $y=4$,所以$y-x=4-2=2$,故答案为 2.

10 如图,将一副三角尺的直角顶点O重合在一起.若∠COB与∠DOA的度数比是2:7,OP平分∠DOA,则∠POC=度.

20 【解析】根据题意得 $∠COB+∠DOA=∠COB+∠COA+∠COB+∠DOB = ∠AOB +∠COD=180°$. 又因为 $∠COB$ 与 $∠DOA$ 的度数比是 $2:7$,所以 $∠DOA=180°×\frac{7}{2+7}=140°$. 因为$OP$ 平分 $∠DOA$,所以 $∠DOP=70°$,所以 $∠POC=90°-∠DOP=20°$. 故答案为 20.

11 已知线段$AB=a$，延长$BA$至点$C$，使$CB=\frac{4}{3}AB$，点$D$，$E$为线段$BA$延长线上的两点，且$BD=3AE$，$M$，$N$分别是线段$DE$，$AB$的中点。当点$C$是线段$BD$的三等分点时，$MN$的长为。（用含有$a$的式子表示）

$\frac{4}{3}a$或$\frac{8}{3}a$ 【解析】因为 $AB=a$, 延长 $BA$ 至点$C$,使 $CB=\frac{4}{3}AB$,所以 $CB=\frac{4}{3}a$.
①当 $CD=\frac{1}{3}BD$ 时,如图(1).

因为 $BC=\frac{4}{3}a$,所以 $CD=\frac{1}{2}BC=\frac{2}{3}a$,$BD=2a$.
因为 $BD=3AE$,所以 $AE=\frac{1}{3}BD=\frac{2}{3}a$,所以$DE=BD-AB-AE=\frac{1}{3}a$. 因为 $M,N$ 分别是线段$DE,AB$ 的中点,所以 $DM=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{6}a,BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$,所以 $MN=BD-DM-BN=2a-\frac{1}{6}a-\frac{1}{2}a=\frac{4}{3}a$.
②当 $BC=\frac{1}{3}BD$ 时,如图(2).

因为 $BC=\frac{4}{3}a$,所以 $CD=2BC=\frac{8}{3}a$,$BD=4a$,所以 $AE=\frac{1}{3}BD=\frac{4}{3}a$,所以 $CE=AE+AB-BC=a$,所以 $DE=CD-CE=\frac{5}{3}a$. 因为 $M,N$ 分别是线段$DE,AB$ 的中点,所以 $DM=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{6}a,BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$,所以 $MN=BD-DM-BN=4a-\frac{5}{6}a-\frac{1}{2}a=\frac{8}{3}a$.
综上,$MN$ 的长为 $\frac{4}{3}a$ 或 $\frac{8}{3}a$. 故答案为 $\frac{4}{3}a$ 或 $\frac{8}{3}a$.