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一、填空题
1. 如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，AC交BD于点G.若$∠ COD=126°$，则$∠ AGB$的度数为
（第1题）
（第2题）
（第3题）
（第4题）
（第5题）
1. 如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，AC交BD于点G.若$∠ COD=126°$，则$∠ AGB$的度数为
108°
.（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）答案
1. 108°
2. 如图，A是$\odot O$上一点，BC是直径，AC=2，AB=4，点D在$\odot O$上且平分$\overset{\frown}{BC}$，则DC的长为
$\sqrt{10}$
。答案
2. $\sqrt{10}$
3. 如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上的两点，∠ADC = 106°，则∠CAB 的度数为
16°
.答案
3. 16°
4. 如图,在$\odot O$中,四边形OABC为菱形,点D在$\overset{\frown}{AmC}$上(不与点A,C重合),则$∠ ADC$的度数是
60°
.答案
4. 60°
5. [盐城中考]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ A=110°$,连接OB,OD,则$∠ BOD=$
140
°.答案
5. 140
二、解答题
6. [无锡中考]如图,AB是$\odot O$的直径,D是弦AC延长线上的一点,且$CD=CA$,DB的延长线交$\odot O$于点E.
(1) 求证:$AB=BD$;
(2) 若$AB=3,\cos ∠ ABE=\frac{1}{3}$,求AD的长.
6. [无锡中考]如图,AB是$\odot O$的直径,D是弦AC延长线上的一点,且$CD=CA$,DB的延长线交$\odot O$于点E.
(1) 求证:$AB=BD$;
(2) 若$AB=3,\cos ∠ ABE=\frac{1}{3}$,求AD的长.
答案
6. (1) 连接 BC. $\because$ AB 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$. $\therefore BC ⊥ AD$. $\because CD=CA,\therefore BC$ 垂直平分 AD. $\therefore AB=BD$
(2) 连接 AE. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ E = 90°$.
$\therefore \cos ∠ ABE = \frac{BE}{AB} = \frac{BE}{3} = \frac{1}{3}$. $\therefore BE=1$. $\therefore AE^2=AB^2-BE^2=8$. 由(1)知 $BD=AB=3,\therefore DE=BD+BE=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=2\sqrt{6}$
$\therefore ∠ ACB=90°$. $\therefore BC ⊥ AD$. $\because CD=CA,\therefore BC$ 垂直平分 AD. $\therefore AB=BD$
(2) 连接 AE. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ E = 90°$.
$\therefore \cos ∠ ABE = \frac{BE}{AB} = \frac{BE}{3} = \frac{1}{3}$. $\therefore BE=1$. $\therefore AE^2=AB^2-BE^2=8$. 由(1)知 $BD=AB=3,\therefore DE=BD+BE=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=2\sqrt{6}$
