1[中]若一个单项式同时满足条件:①只含有三个字母,分别为x,y,z;②系数为-3;③次数为5,则这样的单项式共有 ()

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

1.B 【解析】同时满足条件:①只含有三个字母,分别为$x,y,z$;②系数为-3;③次数为5的单项式有$-3x^3yz,-3xy^3z,-3xyz^3,-3x^2y^2z,-3x^2yz^2,-3xy^2z^2$,共有6个. 故选 B.

2[中]已知多项式$(n-3)x^{|n+2|}-(m-2)x^3+6x^2-(n+1)x+\frac{1}{2}$是关于$x$的五次多项式，且三次项的系数为3，则$m-n$的值为（）

A.2或12
B.-4或6
C.6
D.2

2.C 【解析】因为多项式$(n-3)x^{|n+2|}-(m-2)x^3+6x^2-(n+1)x+\dfrac{1}{2}$是关于$x$的五次多项式,所以$|n+2|=5,n-3≠0$,所以$n=-7$. 因为三次项的系数为3,所以$-(m-2)=3$,所以$m=-1$,所以$m-n=-1-(-7)=6$.

3 [新考法][2026山东淄博质检,中]已知整式$M$: $a_5x^5 + a_4x^4 + \dots + a_0$,其中$a_5$是正整数,$a_4,a_3,a_2,a_1,a_0$是自然数,若$a_5 + a_0 = p$, $a_4 + a_3 + a_2 + a_1 = q$,则下列说法:①若$p=1,q=0$,则满足条件的整式$M$有且仅有1个;②若$p=q=2$,则满足条件的整式$M$中有6个五次四项式;③若$p=3,q=1$,则满足条件的整式$M$共有12个.其中正确的个数是 ()

A.0
B.1
C.2
D.3

3.D 【解析】因为$a_5$是正整数,$a_4,a_3,a_2,a_1,a_0$是自然数,$p=1$,所以$a_5+a_0=p=1$,所以$a_5=1,a_0=0$. 因为$a_4+a_3+a_2+a_1=q=0$,所以$a_4=a_3=a_2=a_1=0$,所以$M$只有1个,为$x^5$,故①正确. 因为$p=q=2$,所以$a_5+a_0=p=2$,$a_4+a_3+a_2+a_1=q=2$. 因为要满足五次四项式,所以$a_5=a_0=1$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有两个为1,其余为0,所以$M=x^5+x^4+x^2+1$或$M=x^5+x^4+x^3+1$或$M=x^5+x^3+x+1$或$M=x^5+x^4+x+1$或$M=x^5+x^3+x^2+1$或$M=x^5+x^2+x+1$,共6个,故②正确. 因为$a_5+a_0=p=3$,$a_4+a_3+a_2+a_1=q=1$,所以当$a_5=3,a_0=0$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个;当$a_5=2,a_0=1$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个;当$a_5=1,a_0=2$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个,所以满足条件的整式$M$共有12个,故③正确. 综上可知,正确的个数是3,故选 D.

4[2026河南周口期末,中]若一个多项式每项的次数都相等,则称该多项式为齐次多项式.例如$3x^4 - 2x^2y^2 + y^4$是齐次多项式.若$x^2y^m - 3x^ny^3 + 2x^4y - y^5$是齐次多项式,则$m^n$的值为.

4.9 【解析】因为$x^2y^m-3x^ny^3+2x^4y-y^5$是齐次多项式,所以$n+3=m+2=5$,解得$n=2,m=3$,所以$m^n=3^2=9$. 故答案为9.

5[2026四川绵阳期末,中]如图是一所住宅的建筑平面图(单位:m),请回答下列问题.
(1)用含$x$的式子表示这所住宅的建筑面积(结果化成最简形式).
(2)(1)中的结果是多项式吗?如果是,它是几次几项式?它的二次项系数、一次项分别是什么?
(3)当$x=3$时,求这所住宅的建筑面积.

6[中]已知关于$x$的整式$(|k|-3)x^3 + (k-3)x^2 -k$.
(1)若此整式是单项式,求$k$的值.
(2)若此整式是二次多项式,求$k$的值.
(3)若此整式是二项式,求$k$的值.
刷素养 走向重高

5.【解】(1)由题图得,这所住宅的建筑面积为$x^2+2x+4×3+3×2=x^2+2x+18$.
(2)$x^2+2x+18$是多项式,它是二次三项式,二次项系数是1,一次项是$2x$.
(3)当$x=3$时,$x^2+2x+18=3^2+2×3+18=9+6+18=33$.
故当$x=3$时,这所住宅的建筑面积是$33\ \mathrm{m}^2$.
6.【解】(1)因为关于$x$的整式是单项式,所以$|k|-3=0$且$k-3=0$,所以$k=3$,所以$k$的值是3.
(2)因为关于$x$的整式是二次多项式,所以$|k|-3=0$且$k-3≠0$,所以$k=-3$,所以$k$的值是-3.
(3)因为关于$x$的整式是二项式,所以①$|k|-3=0$且$k-3≠0$,所以$k=-3$;②$k=0$. 综上,$k$的值是-3或0.

7 核心素养推理能力[较难]定义:$f(a,b)$是关于$a,b$的多项式,如果$f(a,b)=f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”.例如,如果$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$,则$f(b,a)=b^2+b+a+a^2$,显然$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)$是“对称多项式”.
(1)$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”,试说明理由.
(2)请写一个“对称多项式”:$f(a,b)=$(不多于四项).
(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗?如果一定,请说明理由;如果不一定,请举例说明.

7.(1)【解】因为$f(b,a)=b^2-2ab+a^2$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)$a+b$(答案不唯一)
(3)【解】不一定. 若$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$,则$f_1(a,b)$,$f_2(a,b)$都是对称多项式,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,0是单项式,不是多项式.