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1[中]若$a,b$非零且互为相反数，$c,d$互为倒数，$m$的绝对值为2，则$m^2 - cd - \frac{a}{b} + \frac{a+b}{m}$的值为（
A.-4
B.0
C.2
D.4
D
）A.-4
B.0
C.2
D.4
答案
1.D 【解析】
$a,b$非零且互为相反数$\rightarrow\begin{cases}a+b=0,\\\frac{a}{b}=-1\end{cases}\rightarrow$原式$=4-1+1+0=4$
$c,d$互为倒数$\rightarrow cd=1$
$|m|=2\rightarrow m=\pm2\rightarrow m^2=4$
$a,b$非零且互为相反数$\rightarrow\begin{cases}a+b=0,\\\frac{a}{b}=-1\end{cases}\rightarrow$原式$=4-1+1+0=4$
$c,d$互为倒数$\rightarrow cd=1$
$|m|=2\rightarrow m=\pm2\rightarrow m^2=4$
2[中]一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是$-1\ °\mathrm{C}$，小莉此时在山脚测得温度是$6\ °\mathrm{C}$。已知该地区高度每增加100米，气温大约降低$0.8\ °\mathrm{C}$，则这个山峰的高度大约是（
A.750米
B.875米
C.925米
D.1 000米
B
）A.750米
B.875米
C.925米
D.1 000米
答案
2.B 【解析】根据题意得$[6-(-1)]÷0.8×100=875$(米),则这个山峰的高度大约是 875 米. 故选 B.
3 [较难] 计算 $( \frac{1}{2019} -1 ) × ( \frac{1}{2018} -1 ) × ( \frac{1}{2017} -1 ) × \dots × ( \frac{1}{1000} -1 )$ 的结果为
$\frac{333}{673}$
。答案
3.$\frac{333}{673}$ 【解析】$( \frac{1}{2019}-1 ) × ( \frac{1}{2018}-1 ) × ( \frac{1}{2017}-1 ) × \dots × ( \frac{1}{1000}-1 ) = ( -\frac{2018}{2019} ) × ( -\frac{2017}{2018} ) × ( -\frac{2016}{2017} ) × \dots × ( -\frac{999}{1000} ) = \frac{999}{2019}=\frac{333}{673}$.
4[中]计算:
(1) $-3^2 × \frac{1}{3} × [ (-5)^2 × (-\frac{3}{5}) - 256 ÷ (-4) × \frac{1}{4} ].$
(2) $( \frac{1}{2} - \frac{5}{9} + \frac{5}{6} ) ÷ ( -\frac{1}{36} ) - (1 - 9) ÷ | -4 |.$
(3) $-3 × ( -\frac{2}{3} )^2 -5 × (1 - \frac{2}{3}) -6 ÷ ( \frac{2}{3} )^2.$
(4) $[ \frac{5}{2} + ( \frac{3}{8} + \frac{1}{6} - \frac{3}{4} ) × 24 ] ÷ (-5) × (-1)^{2019}.$
(1) $-3^2 × \frac{1}{3} × [ (-5)^2 × (-\frac{3}{5}) - 256 ÷ (-4) × \frac{1}{4} ].$
(2) $( \frac{1}{2} - \frac{5}{9} + \frac{5}{6} ) ÷ ( -\frac{1}{36} ) - (1 - 9) ÷ | -4 |.$
(3) $-3 × ( -\frac{2}{3} )^2 -5 × (1 - \frac{2}{3}) -6 ÷ ( \frac{2}{3} )^2.$
(4) $[ \frac{5}{2} + ( \frac{3}{8} + \frac{1}{6} - \frac{3}{4} ) × 24 ] ÷ (-5) × (-1)^{2019}.$
答案
4.【解】(1)原式=$-9×\frac{1}{3}×[ 25×( -\frac{3}{5} ) +256×\frac{1}{4}×\frac{1}{4} ]=-3×(-15+16)=-3×1=-3$.
(2)原式=$( \frac{1}{2}-\frac{5}{9}+\frac{5}{6} ) ×(-36)-(-8)÷4=\frac{1}{2}×(-36)-\frac{5}{9}×(-36)+\frac{5}{6}×(-36)+2=-18+20-30+2=-26$.
(3)原式=$-3×\frac{4}{9}-5×\frac{1}{3}-6×\frac{9}{4}=-\frac{33}{2}$.
(4)原式=$( \frac{5}{2}+9+4-18 ) ÷(-5)×(-1)=( -\frac{5}{2} ) ×( -\frac{1}{5} ) ×(-1)=-\frac{1}{2}$.
(2)原式=$( \frac{1}{2}-\frac{5}{9}+\frac{5}{6} ) ×(-36)-(-8)÷4=\frac{1}{2}×(-36)-\frac{5}{9}×(-36)+\frac{5}{6}×(-36)+2=-18+20-30+2=-26$.
(3)原式=$-3×\frac{4}{9}-5×\frac{1}{3}-6×\frac{9}{4}=-\frac{33}{2}$.
(4)原式=$( \frac{5}{2}+9+4-18 ) ÷(-5)×(-1)=( -\frac{5}{2} ) ×( -\frac{1}{5} ) ×(-1)=-\frac{1}{2}$.
5 [2026 山东青岛期中,中]规定三角形框“
”表示$abc$，方框“$\begin{matrix} m & n \\ x & y \end{matrix}$”表示$x^m + y^n$.例如:算式
$=(-1)×19×3-(2^4 +3^1)= -57-(16+3)= -57-19=-76$.
已知:算式
,其中方框中缺少了一个数字,用“■”表示.
(1)若■表示3.
①求已知中的算式的值；
②直接写出
的值；
(2)如果已知中的算式的值为$-\frac{1}{15}$,直接写出■表示的数.
@刷素养 走向重高
”表示$abc$，方框“$\begin{matrix} m & n \\ x & y \end{matrix}$”表示$x^m + y^n$.例如:算式$=(-1)×19×3-(2^4 +3^1)= -57-(16+3)= -57-19=-76$.已知:算式
,其中方框中缺少了一个数字,用“■”表示.(1)若■表示3.
①求已知中的算式的值；
②直接写出
的值；(2)如果已知中的算式的值为$-\frac{1}{15}$,直接写出■表示的数.
@刷素养 走向重高
答案
5.【解】(1)①由题意得$2×(-3)×1÷(9^2+3^3)=-6÷(81+27)=-6÷108=-\frac{1}{18}$.
②由①得$(9^2+3^3)÷[2×(-3)×1]=-18$.
(2)■表示的数为 2. 设■为 $x$,则 $2×(-3)×1÷(9^2+3^x)=-\frac{1}{15}$,$9^2+3^x=90$,$3^x=9$,
所以 $x=2$. 即■表示的数为 2.
②由①得$(9^2+3^3)÷[2×(-3)×1]=-18$.
(2)■表示的数为 2. 设■为 $x$,则 $2×(-3)×1÷(9^2+3^x)=-\frac{1}{15}$,$9^2+3^x=90$,$3^x=9$,
所以 $x=2$. 即■表示的数为 2.
6 核心素养运算能力[较难]观察下列解题过程:
计算:$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$.
解:设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$,①
则$5S=5+5^2+5^3+\dots+5^{25}+5^{26}$.②
②-①得$4S=5^{26}-1$,则$S=\dfrac{5^{26}-1}{4}$.
通过阅读,你学会了一种解决问题的方法,请用你学到的方法计算:
(1)$1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$.
(2)$1+\dfrac{1}{5}+(\dfrac{1}{5})^2+(\dfrac{1}{5})^3+\dots+(\dfrac{1}{5})^9+(\dfrac{1}{5})^{10}$.
计算:$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$.
解:设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$,①
则$5S=5+5^2+5^3+\dots+5^{25}+5^{26}$.②
②-①得$4S=5^{26}-1$,则$S=\dfrac{5^{26}-1}{4}$.
通过阅读,你学会了一种解决问题的方法,请用你学到的方法计算:
(1)$1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$.
(2)$1+\dfrac{1}{5}+(\dfrac{1}{5})^2+(\dfrac{1}{5})^3+\dots+(\dfrac{1}{5})^9+(\dfrac{1}{5})^{10}$.
答案
6.【解】(1)设 $S=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$,①
则 $3S=3+3^2+3^3+\dots+3^{10}+3^{11}$.②
②-①得 $2S=3^{11}-1$,则 $S=\frac{3^{11}-1}{2}$,所以原式$=\frac{3^{11}-1}{2}$.
(2)设 $S=1+\frac{1}{5}+( \frac{1}{5} )^2+( \frac{1}{5} )^3+\dots+( \frac{1}{5} )^9+( \frac{1}{5} )^{10}$,① 则 $\frac{1}{5}S=\frac{1}{5}+( \frac{1}{5} )^2+( \frac{1}{5} )^3+\dots+( \frac{1}{5} )^{10}+( \frac{1}{5} )^{11}$.②
①-②得 $\frac{4}{5}S=1-( \frac{1}{5} )^{11}$,则 $S=[ 1-( \frac{1}{5} )^{11} ] ×\frac{5}{4}$,所以原式$=[ 1-( \frac{1}{5} )^{11} ] ×\frac{5}{4}$.
则 $3S=3+3^2+3^3+\dots+3^{10}+3^{11}$.②
②-①得 $2S=3^{11}-1$,则 $S=\frac{3^{11}-1}{2}$,所以原式$=\frac{3^{11}-1}{2}$.
(2)设 $S=1+\frac{1}{5}+( \frac{1}{5} )^2+( \frac{1}{5} )^3+\dots+( \frac{1}{5} )^9+( \frac{1}{5} )^{10}$,① 则 $\frac{1}{5}S=\frac{1}{5}+( \frac{1}{5} )^2+( \frac{1}{5} )^3+\dots+( \frac{1}{5} )^{10}+( \frac{1}{5} )^{11}$.②
①-②得 $\frac{4}{5}S=1-( \frac{1}{5} )^{11}$,则 $S=[ 1-( \frac{1}{5} )^{11} ] ×\frac{5}{4}$,所以原式$=[ 1-( \frac{1}{5} )^{11} ] ×\frac{5}{4}$.
