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1 分别以直线$ l $为对称轴，下列所作轴对称图形中，错误的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要判断两个图形是否关于直线$ l $成轴对称，需依据轴对称的定义：若两个图形沿直线$ l $折叠后能够完全重合，则这两个图形关于直线$ l $对称。解题时可逐一分析每个选项，将图形沿直线$ l $对折，观察两个图形是否重合，也可通过检查对应点的连线是否被直线$ l $垂直平分来判断，不符合要求的即为错误选项。
【解析】
根据轴对称的性质，关于直线$ l $对称的两个图形沿$ l $折叠后可完全重合：
A选项：沿竖直直线$ l $折叠后，两侧图形完全重合，画法正确；
B选项：沿竖直直线$ l $折叠后，两侧图形完全重合，画法正确；
C选项：沿水平直线$ l $折叠后，上下两个图形无法重合，对应点到直线$ l $的垂直距离不相等，画法错误；
D选项：沿竖直直线$ l $折叠后，两侧图形完全重合，画法正确。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的定义；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解轴对称的定义和性质，掌握“沿对称轴折叠后两个图形完全重合”这一判断要点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断两个图形是否关于直线$ l $成轴对称，需依据轴对称的定义：若两个图形沿直线$ l $折叠后能够完全重合，则这两个图形关于直线$ l $对称。解题时可逐一分析每个选项，将图形沿直线$ l $对折，观察两个图形是否重合，也可通过检查对应点的连线是否被直线$ l $垂直平分来判断，不符合要求的即为错误选项。
【解析】
根据轴对称的性质，关于直线$ l $对称的两个图形沿$ l $折叠后可完全重合：
A选项：沿竖直直线$ l $折叠后，两侧图形完全重合，画法正确；
B选项：沿竖直直线$ l $折叠后，两侧图形完全重合，画法正确；
C选项：沿水平直线$ l $折叠后，上下两个图形无法重合，对应点到直线$ l $的垂直距离不相等，画法错误；
D选项：沿竖直直线$ l $折叠后，两侧图形完全重合，画法正确。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的定义；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解轴对称的定义和性质，掌握“沿对称轴折叠后两个图形完全重合”这一判断要点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2 如图①②③，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的△A'B'C'.
答案
如图①，△A'B'C'即为所求；如图②，△A'B'C'即为所求；如图③，△A'B'C'即为所求
解析
【分析】
要画出△ABC关于直线l的对称三角形，核心是利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。解题思路为：首先确定原三角形的三个顶点，分别作出每个顶点关于直线l的对称点，若顶点在直线l上，其对称点为自身；若顶点不在直线l上，过顶点作直线l的垂线，在垂线另一侧截取与顶点到垂足距离相等的线段，端点即为对称点，最后顺次连接三个对称点即可得到所求的对称图形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 确定△ABC的三个顶点A、B、C；
2. 分别作三个顶点关于直线l的对称点：
① 过点A作直线l的垂线，垂足为点P，在直线l另一侧的垂线上截取PA'=PA，得到A的对称点A'，若点A在直线l上，则A'与A重合；
② 同理作出点B的对称点B'，点C的对称点C'；
3. 按A'→B'→C'→A'的顺序顺次连接三个对称点，得到的△A'B'C'就是与△ABC关于直线l对称的图形。
【答案】
如图①，△A'B'C'即为所求；如图②，△A'B'C'即为所求；如图③，△A'B'C'即为所求
【知识点】
轴对称的性质，画轴对称图形
【点评】
本题属于轴对称作图的基础题型，主要考查画轴对称图形的基本操作技能，熟练掌握找对称点的方法是解题的关键，这类作图是解决轴对称相关几何问题的基础。
【难度系数】
0.8
要画出△ABC关于直线l的对称三角形，核心是利用轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。解题思路为：首先确定原三角形的三个顶点，分别作出每个顶点关于直线l的对称点，若顶点在直线l上，其对称点为自身；若顶点不在直线l上，过顶点作直线l的垂线，在垂线另一侧截取与顶点到垂足距离相等的线段，端点即为对称点，最后顺次连接三个对称点即可得到所求的对称图形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 确定△ABC的三个顶点A、B、C；
2. 分别作三个顶点关于直线l的对称点：
① 过点A作直线l的垂线，垂足为点P，在直线l另一侧的垂线上截取PA'=PA，得到A的对称点A'，若点A在直线l上，则A'与A重合；
② 同理作出点B的对称点B'，点C的对称点C'；
3. 按A'→B'→C'→A'的顺序顺次连接三个对称点，得到的△A'B'C'就是与△ABC关于直线l对称的图形。
【答案】
如图①，△A'B'C'即为所求；如图②，△A'B'C'即为所求；如图③，△A'B'C'即为所求
【知识点】
轴对称的性质，画轴对称图形
【点评】
本题属于轴对称作图的基础题型，主要考查画轴对称图形的基本操作技能，熟练掌握找对称点的方法是解题的关键，这类作图是解决轴对称相关几何问题的基础。
【难度系数】
0.8
3 轴对称图形的一部分如图所示，请以直线l为对称轴，画出它们的另一部分。
答案
如图
解析
【分析】
要画出以直线$ l $为对称轴的轴对称图形的另一部分，需依据轴对称的性质解题：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直且平分。解题思路为：首先定位已知图形的关键顶点、端点等特殊点，再逐个作出这些关键点关于直线$ l $的对称点，最后按照原图形的连接顺序连接所有对称点，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
1. 找关键点：识别所给部分图形的全部关键点，如折线的端点、折点，多边形的顶点等；
2. 作对称点：针对每个关键点，过该点作直线$ l $的垂线，延长垂线到直线$ l $的另一侧，使延长后的线段长度等于原关键点到直线$ l $的距离，即可得到该点的对称点；
3. 连线成图：按照原图形中各关键点的连接顺序，依次连接所有对称点，就得到了图形关于直线$ l $对称的另一部分。
【答案】
如图
【知识点】
轴对称的性质；画轴对称图形；对称点作图
【点评】
本题是轴对称作图的基础题，重点考查对轴对称性质的应用和动手作图能力，找准关键点的对称点是解题的核心，掌握方法后很容易完成。
【难度系数】
0.9
要画出以直线$ l $为对称轴的轴对称图形的另一部分，需依据轴对称的性质解题：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直且平分。解题思路为：首先定位已知图形的关键顶点、端点等特殊点，再逐个作出这些关键点关于直线$ l $的对称点，最后按照原图形的连接顺序连接所有对称点，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
1. 找关键点：识别所给部分图形的全部关键点，如折线的端点、折点，多边形的顶点等；
2. 作对称点：针对每个关键点，过该点作直线$ l $的垂线，延长垂线到直线$ l $的另一侧，使延长后的线段长度等于原关键点到直线$ l $的距离，即可得到该点的对称点；
3. 连线成图：按照原图形中各关键点的连接顺序，依次连接所有对称点，就得到了图形关于直线$ l $对称的另一部分。
【答案】
如图
【知识点】
轴对称的性质；画轴对称图形；对称点作图
【点评】
本题是轴对称作图的基础题，重点考查对轴对称性质的应用和动手作图能力，找准关键点的对称点是解题的核心，掌握方法后很容易完成。
【难度系数】
0.9
4 将一张正方形纸片按如图①②所示的方式沿虚线对折两次，然后沿图③中平行于底边的虚线剪去一个角，则展开铺平后的图形是（
A
B
C D
A
）A
B
C D
答案
4.A
解析
【分析】
解决折叠剪纸类问题，核心是利用轴对称的性质，也可通过模拟折叠、剪裁、展开的步骤推导结果。两次对折相当于给正方形确定了两条互相垂直的对称轴，剪裁后的图形展开后必然关于这两条对称轴都对称；我们可以正向模拟操作过程：每一次对折是作轴对称变换，剪裁后展开时，每一步展开也相当于作当前图形关于折痕的轴对称图形，最终即可得到完整的展开图。
【解析】
我们分步模拟操作过程：
1. 正方形按图①②的方式对折两次后，得到大小为原正方形四分之一的小正方形，两条折痕互相垂直，是原正方形的两条对称轴；
2. 沿图③中平行于底边的虚线剪去一个角，此时小正方形被剪掉的是靠近折叠顶角的部分，剪裁线平行于小正方形的底边；
3. 先沿第二次对折的折痕展开，得到的图形关于这条折痕对称，出现两个对称的缺口；
4. 再沿第一次对折的折痕展开，得到的图形同时关于两条折痕对称，对比选项，只有A符合剪裁后的形状和对称特征。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，图形的折叠与剪裁
【点评】
本题考查轴对称性质的实际应用，既可以通过理论推导得出结果，也可以通过动手操作快速得到答案，是锻炼空间想象能力的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决折叠剪纸类问题，核心是利用轴对称的性质，也可通过模拟折叠、剪裁、展开的步骤推导结果。两次对折相当于给正方形确定了两条互相垂直的对称轴，剪裁后的图形展开后必然关于这两条对称轴都对称；我们可以正向模拟操作过程：每一次对折是作轴对称变换，剪裁后展开时，每一步展开也相当于作当前图形关于折痕的轴对称图形，最终即可得到完整的展开图。
【解析】
我们分步模拟操作过程：
1. 正方形按图①②的方式对折两次后，得到大小为原正方形四分之一的小正方形，两条折痕互相垂直，是原正方形的两条对称轴；
2. 沿图③中平行于底边的虚线剪去一个角，此时小正方形被剪掉的是靠近折叠顶角的部分，剪裁线平行于小正方形的底边；
3. 先沿第二次对折的折痕展开，得到的图形关于这条折痕对称，出现两个对称的缺口；
4. 再沿第一次对折的折痕展开，得到的图形同时关于两条折痕对称，对比选项，只有A符合剪裁后的形状和对称特征。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，图形的折叠与剪裁
【点评】
本题考查轴对称性质的实际应用，既可以通过理论推导得出结果，也可以通过动手操作快速得到答案，是锻炼空间想象能力的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5 将如图所示的一张左右对折后的长方形纸片按图中虚线剪下来，剪下来的部分铺开后的图案是汉字
王
。答案
5.王
解析
【分析】
本题是剪纸类轴对称问题，核心要利用“对折后裁剪得到的图形展开后是关于折痕对称的轴对称图形”这一特点解题。首先确定折痕为竖直对称轴，接下来观察对折状态下裁剪的虚线轮廓，再将轮廓沿竖直对称轴补全另一半，就能得到铺开后的完整图案。
【解析】
1. 明确剪纸规律：左右对折后裁剪的纸片，铺开后的图形是轴对称图形，对折线就是它的竖直对称轴。
2. 观察对折状态下的裁剪轮廓：可见三条水平的剪边，以及对应对称轴位置的竖直剪边部分。
3. 沿竖直对称轴补全图案的另一半，最终得到的完整图案为三条横边加中间一条竖边，对应汉字“王”。
【答案】
王
【知识点】
轴对称的性质；剪纸中的轴对称；轴对称图形
【点评】
本题结合生活中的剪纸场景考查轴对称的应用，解题关键是抓住对折后裁剪的图形关于折痕对称的特点，补全对称部分即可得到结果，题型灵活有趣，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是剪纸类轴对称问题，核心要利用“对折后裁剪得到的图形展开后是关于折痕对称的轴对称图形”这一特点解题。首先确定折痕为竖直对称轴，接下来观察对折状态下裁剪的虚线轮廓，再将轮廓沿竖直对称轴补全另一半，就能得到铺开后的完整图案。
【解析】
1. 明确剪纸规律：左右对折后裁剪的纸片，铺开后的图形是轴对称图形，对折线就是它的竖直对称轴。
2. 观察对折状态下的裁剪轮廓：可见三条水平的剪边，以及对应对称轴位置的竖直剪边部分。
3. 沿竖直对称轴补全图案的另一半，最终得到的完整图案为三条横边加中间一条竖边，对应汉字“王”。
【答案】
王
【知识点】
轴对称的性质；剪纸中的轴对称；轴对称图形
【点评】
本题结合生活中的剪纸场景考查轴对称的应用，解题关键是抓住对折后裁剪的图形关于折痕对称的特点，补全对称部分即可得到结果，题型灵活有趣，难度较低。
【难度系数】
0.9
6 如图,在$3×3$的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中$△ ABC$是一个格点三角形.
(1) 请在下面每一个图中作出一个与$△ ABC$成轴对称的格点三角形$A'B'C'$(不能重复);
(2) 在这张$3×3$的正方形格纸中,与$△ ABC$成轴对称的格点三角形最多有
(1) 请在下面每一个图中作出一个与$△ ABC$成轴对称的格点三角形$A'B'C'$(不能重复);
(2) 在这张$3×3$的正方形格纸中,与$△ ABC$成轴对称的格点三角形最多有
6
个.答案
(1) 如图所示(答案不唯一)
(2) 6
解析
【分析】
（1）作与△ABC成轴对称的格点三角形，核心依据是轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分。解题思路为：首先选定一条对称轴（可选择竖直、水平、斜向的格线或格点连线，三个图选择不同的对称轴即可保证作出的图形不重复）；再分别确定点A、B、C关于所选对称轴的对称点，需保证对称点均为格点；最后顺次连接三个对称点，即可得到符合要求的格点三角形。
（2）求最多的符合要求的三角形个数，只需有序枚举所有能使△ABC对称后仍为格点三角形的对称轴，每条对称轴对应1个唯一的对称三角形，统计符合条件的对称轴总数即可得到结果。
【解析】
（1）作图步骤：
① 选择对称轴：可根据需求选取不同方向的对称轴，例如第一个图选BC所在竖直直线为对称轴，第二个图选AB中点所在的竖直中线为对称轴，第三个图选B点右侧1格的竖直直线为对称轴；
② 找对称点：根据轴对称性质，确定A、B、C三点关于对称轴的对称点A'、B'、C'，确认三点均为格点；
③ 连结成图：顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到所求的格点三角形，作出的图形不重复、符合要求即可。
（2）对3×3方格中所有可能的对称轴进行有序枚举，筛选出能让△ABC对称后仍为格点三角形的对称轴，共可找到6条符合条件的对称轴，每条对应1个格点三角形，因此最多有6个符合要求的格点三角形。
【答案】
(1) 如图所示(答案不唯一)
(2) 6
【知识点】
轴对称的性质、画轴对称图形、格点图形认识
【点评】
本题结合格点背景考察轴对称相关知识，既锻炼了动手作图能力，也要求大家在计数时做到有序分类，避免遗漏或重复，有助于培养严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
（1）作与△ABC成轴对称的格点三角形，核心依据是轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分。解题思路为：首先选定一条对称轴（可选择竖直、水平、斜向的格线或格点连线，三个图选择不同的对称轴即可保证作出的图形不重复）；再分别确定点A、B、C关于所选对称轴的对称点，需保证对称点均为格点；最后顺次连接三个对称点，即可得到符合要求的格点三角形。
（2）求最多的符合要求的三角形个数，只需有序枚举所有能使△ABC对称后仍为格点三角形的对称轴，每条对称轴对应1个唯一的对称三角形，统计符合条件的对称轴总数即可得到结果。
【解析】
（1）作图步骤：
① 选择对称轴：可根据需求选取不同方向的对称轴，例如第一个图选BC所在竖直直线为对称轴，第二个图选AB中点所在的竖直中线为对称轴，第三个图选B点右侧1格的竖直直线为对称轴；
② 找对称点：根据轴对称性质，确定A、B、C三点关于对称轴的对称点A'、B'、C'，确认三点均为格点；
③ 连结成图：顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到所求的格点三角形，作出的图形不重复、符合要求即可。
（2）对3×3方格中所有可能的对称轴进行有序枚举，筛选出能让△ABC对称后仍为格点三角形的对称轴，共可找到6条符合条件的对称轴，每条对应1个格点三角形，因此最多有6个符合要求的格点三角形。
【答案】
(1) 如图所示(答案不唯一)
(2) 6
【知识点】
轴对称的性质、画轴对称图形、格点图形认识
【点评】
本题结合格点背景考察轴对称相关知识，既锻炼了动手作图能力，也要求大家在计数时做到有序分类，避免遗漏或重复，有助于培养严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
7 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，△A'B'C'与△A''B''C''关于直线EF对称.
（1）画出△ABC和直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若直线MN和EF相交于点O，直线MN，EF所夹的锐角设为α，猜想∠BOB''与α之间的数量关系，并说明理由.
（1）画出△ABC和直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若直线MN和EF相交于点O，直线MN，EF所夹的锐角设为α，猜想∠BOB''与α之间的数量关系，并说明理由.
答案
(1) 如图，△ABC 和直线 EF 即为所求
(2) $∠ BOB''=2α$
理由:如图,连接 $BO,B'O,B''O$. 由题意,得$∠ MOE=α$. $\because △ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线 $MN$ 对称, $\therefore ∠ BOM = ∠ B'OM$. 又$\because △ A'B'C'$和$△ A''B''C''$关于直线 $EF$ 对称, $\therefore ∠ B'OE = ∠ B''OE$. $\therefore ∠ BOB''=∠ BOM+∠ B'OM+∠ B'OE+∠ B''OE=2(∠ B'OM+∠ B'OE)=2∠ MOE=2α$,即$∠ BOB''=2α$.
解析
【分析】
（1）作图思路：根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分。要画△ABC，只需作出A'、B'、C'关于MN的对称点A、B、C，顺次连接三点即可；要画EF，只需连接△A'B'C'和△A''B''C''的两组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴EF。
（2）角的关系推导思路：要探究∠BOB''和α的关系，先连接BO、B'O、B''O，利用轴对称中对应点与对称轴的夹角相等的性质，得到相等的角，再通过角的和差运算即可推导两者的数量关系。
【解析】
（1）①作点A'、B'、C'关于直线MN的对称点A、B、C，顺次连接AB、BC、CA，得到△ABC；②连接B'B''、C'C''，分别作这两条线段的垂直平分线，得到的直线即为EF，保留作图痕迹即可。
（2）数量关系推导：
连接$BO,B'O,B''O$，由题意得直线MN、EF的夹角$∠ MOE=α$。
∵$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线MN对称，根据轴对称的性质，对应点与对称轴的夹角相等，
∴$∠ BOM = ∠ B'OM$。
又
∵$△ A'B'C'$和$△ A''B''C''$关于直线EF对称，同理可得$∠ B'OE = ∠ B''OE$。
∴$∠ BOB''=∠ BOM+∠ B'OM+∠ B'OE+∠ B''OE=2(∠ B'OM+∠ B'OE)=2∠ MOE=2α$。
【答案】
(1) 如图，△ABC 和直线 EF 即为所求
(2) $∠ BOB''=2α$
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，角的和差计算
【点评】
本题将作图实践与几何推导结合，考查轴对称的核心应用，既考查学生的动手作图能力，也考查学生利用性质推导角的数量关系的逻辑思维能力，掌握轴对称的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分。要画△ABC，只需作出A'、B'、C'关于MN的对称点A、B、C，顺次连接三点即可；要画EF，只需连接△A'B'C'和△A''B''C''的两组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴EF。
（2）角的关系推导思路：要探究∠BOB''和α的关系，先连接BO、B'O、B''O，利用轴对称中对应点与对称轴的夹角相等的性质，得到相等的角，再通过角的和差运算即可推导两者的数量关系。
【解析】
（1）①作点A'、B'、C'关于直线MN的对称点A、B、C，顺次连接AB、BC、CA，得到△ABC；②连接B'B''、C'C''，分别作这两条线段的垂直平分线，得到的直线即为EF，保留作图痕迹即可。
（2）数量关系推导：
连接$BO,B'O,B''O$，由题意得直线MN、EF的夹角$∠ MOE=α$。
∵$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线MN对称，根据轴对称的性质，对应点与对称轴的夹角相等，
∴$∠ BOM = ∠ B'OM$。
又
∵$△ A'B'C'$和$△ A''B''C''$关于直线EF对称，同理可得$∠ B'OE = ∠ B''OE$。
∴$∠ BOB''=∠ BOM+∠ B'OM+∠ B'OE+∠ B''OE=2(∠ B'OM+∠ B'OE)=2∠ MOE=2α$。
【答案】
(1) 如图，△ABC 和直线 EF 即为所求
(2) $∠ BOB''=2α$
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，角的和差计算
【点评】
本题将作图实践与几何推导结合，考查轴对称的核心应用，既考查学生的动手作图能力，也考查学生利用性质推导角的数量关系的逻辑思维能力，掌握轴对称的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
