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1[2026山西大同质检,中]如图,两条抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$,$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$与分别经过点$(-2,0)$,$(2,0)$且平行于$y$轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 (
A.10
B.8
C.6
D.4
(第1题图) (第3题图)
B
)A.10
B.8
C.6
D.4
(第1题图) (第3题图)
答案
1.B 【解析】如图,作直线$y=-1$ 分别交直线$x=-2$和直线$x=2$ 于点 A,B,作直线$y=-3$ 分别交直线$x=-2$ 和直线$x=2$ 于点 D,C. 因为两条抛物线的二次项系数相同,所以两条抛物线的形状相同,所以抛物线$y_1$ 与直线$y=-1$ 围成的区域面积等于抛物线$y_2$ 与直线$y=-3$ 围成的区域面积,所以阴影部分的面积等于矩形 ABCD 的面积,所以阴影部分的面积为 4×2=8. 故选 B.
解析
【分析】
首先观察两条抛物线的解析式，二者二次项系数相同，说明形状完全相同，仅为上下平移的关系。阴影部分是两条平行于y轴的直线与两条抛物线围成的不规则图形，我们可以利用割补的转化思想：因为两条抛物线形状相同，所以对应部分的面积可以等价替换，进而将不规则阴影的面积转化为规则矩形的面积计算，降低求解难度。
【解析】
如图，作直线$y=-1$ 分别交直线$x=-2$和直线$x=2$ 于点 A,B，作直线$y=-3$ 分别交直线$x=-2$ 和直线$x=2$ 于点 D,C。
∵ 两条抛物线的二次项系数相同，
∴ 两条抛物线的形状相同，
∴ 抛物线$y_1$ 与直线$y=-1$ 围成的区域面积等于抛物线$y_2$ 与直线$y=-3$ 围成的区域面积，
∴ 阴影部分的面积等于矩形 ABCD 的面积。
∵ 矩形ABCD的长为$2-(-2)=4$，宽为$(-1)-(-3)=2$，
∴ 阴影部分的面积为 $4 × 2 = 8$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数的平移，割补法求面积
【点评】
本题将二次函数性质与面积计算结合，核心是利用二次项系数相同则抛物线形状相同的特点，将不规则阴影面积转化为规则矩形面积求解，充分考查了转化思想的应用，是二次函数面积类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先观察两条抛物线的解析式，二者二次项系数相同，说明形状完全相同，仅为上下平移的关系。阴影部分是两条平行于y轴的直线与两条抛物线围成的不规则图形，我们可以利用割补的转化思想：因为两条抛物线形状相同，所以对应部分的面积可以等价替换，进而将不规则阴影的面积转化为规则矩形的面积计算，降低求解难度。
【解析】
如图，作直线$y=-1$ 分别交直线$x=-2$和直线$x=2$ 于点 A,B，作直线$y=-3$ 分别交直线$x=-2$ 和直线$x=2$ 于点 D,C。
∵ 两条抛物线的二次项系数相同，
∴ 两条抛物线的形状相同，
∴ 抛物线$y_1$ 与直线$y=-1$ 围成的区域面积等于抛物线$y_2$ 与直线$y=-3$ 围成的区域面积，
∴ 阴影部分的面积等于矩形 ABCD 的面积。
∵ 矩形ABCD的长为$2-(-2)=4$，宽为$(-1)-(-3)=2$，
∴ 阴影部分的面积为 $4 × 2 = 8$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数的平移，割补法求面积
【点评】
本题将二次函数性质与面积计算结合，核心是利用二次项系数相同则抛物线形状相同的特点，将不规则阴影面积转化为规则矩形面积求解，充分考查了转化思想的应用，是二次函数面积类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
2[2026广东广州期中,中]已知点$A(m,y_1)$，$B(-m-1,y_2)$是抛物线$y=x^2-1$上的两点，其中$|m|＞1$，下列判断正确的是（
A.$m(y_1-y_2)＞0$
B.$m(y_1-y_2)＜0$
C.$y_1-y_2＞0$
D.$y_1-y_2＜0$
B
）A.$m(y_1-y_2)＞0$
B.$m(y_1-y_2)＜0$
C.$y_1-y_2＞0$
D.$y_1-y_2＜0$
答案
2.B 【解析】
∵ $y=x^2 -1,1＞0,∴$ 抛物线的开口向上,对称轴为 y 轴,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,纵坐标越大.
∵ $|m|＞1,∴ m＞1$ 或 $m＜-1$. 当 $m＜-1$时,$-m-1＞0,|m-0|=-m＞|-m-1-0|=-m-1$,$∴ y_1＞y_2,∴ y_1 - y_2＞0,∴ m(y_1 - y_2)＜0$; 当 $m＞1$ 时,$-m-1＜-2,|m-0|=m＜|-m-1-0|=m+1,∴ y_1＜y_2$,$∴ y_1 - y_2＜0,∴ m(y_1 - y_2)＜0$. 综上,$m(y_1 - y_2)＜0$,故选 B.
∵ $y=x^2 -1,1＞0,∴$ 抛物线的开口向上,对称轴为 y 轴,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,纵坐标越大.
∵ $|m|＞1,∴ m＞1$ 或 $m＜-1$. 当 $m＜-1$时,$-m-1＞0,|m-0|=-m＞|-m-1-0|=-m-1$,$∴ y_1＞y_2,∴ y_1 - y_2＞0,∴ m(y_1 - y_2)＜0$; 当 $m＞1$ 时,$-m-1＜-2,|m-0|=m＜|-m-1-0|=m+1,∴ y_1＜y_2$,$∴ y_1 - y_2＜0,∴ m(y_1 - y_2)＜0$. 综上,$m(y_1 - y_2)＜0$,故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的基本性质：抛物线$y=x^2-1$开口向上，对称轴为y轴，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$|m|＞1$，因此m分为$m＞1$和$m＜-1$两种情况，分别计算A、B两点横坐标到y轴的距离，比较$y_1$和$y_2$的大小，再结合m的符号判断$m(y_1-y_2)$的正负，最终汇总两种情况的结论即可得到答案。
【解析】
∵ 抛物线解析式为$y=x^2-1$，$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），抛物线上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越大。
∵ $|m|＞1$，
∴ $m＞1$或$m＜-1$，分两种情况讨论：
① 当$m＜-1$时，$-m-1＞0$，
点A到y轴的距离为$|m|=-m$，点B到y轴的距离为$|-m-1|=-m-1$，
∵ $-m ＞ -m-1$，
∴ $y_1＞y_2$，即$y_1-y_2＞0$，
此时$m＜0$，因此$m(y_1-y_2)＜0$；
② 当$m＞1$时，$-m-1＜-2$，
点A到y轴的距离为$|m|=m$，点B到y轴的距离为$|-m-1|=m+1$，
∵ $m ＜ m+1$，
∴ $y_1＜y_2$，即$y_1-y_2＜0$，
此时$m＞0$，因此$m(y_1-y_2)＜0$。
综上，两种情况下都有$m(y_1-y_2)＜0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+c$的性质 2.函数值大小比较 3.分类讨论
【点评】
本题重点考查二次函数的图象性质，解题的核心是掌握开口向上的二次函数的函数值随点到对称轴距离的变化规律，需要结合分类讨论思想分析m的正负两种情况，避免因漏判m的符号导致错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的基本性质：抛物线$y=x^2-1$开口向上，对称轴为y轴，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$|m|＞1$，因此m分为$m＞1$和$m＜-1$两种情况，分别计算A、B两点横坐标到y轴的距离，比较$y_1$和$y_2$的大小，再结合m的符号判断$m(y_1-y_2)$的正负，最终汇总两种情况的结论即可得到答案。
【解析】
∵ 抛物线解析式为$y=x^2-1$，$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），抛物线上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越大。
∵ $|m|＞1$，
∴ $m＞1$或$m＜-1$，分两种情况讨论：
① 当$m＜-1$时，$-m-1＞0$，
点A到y轴的距离为$|m|=-m$，点B到y轴的距离为$|-m-1|=-m-1$，
∵ $-m ＞ -m-1$，
∴ $y_1＞y_2$，即$y_1-y_2＞0$，
此时$m＜0$，因此$m(y_1-y_2)＜0$；
② 当$m＞1$时，$-m-1＜-2$，
点A到y轴的距离为$|m|=m$，点B到y轴的距离为$|-m-1|=m+1$，
∵ $m ＜ m+1$，
∴ $y_1＜y_2$，即$y_1-y_2＜0$，
此时$m＞0$，因此$m(y_1-y_2)＜0$。
综上，两种情况下都有$m(y_1-y_2)＜0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+c$的性质 2.函数值大小比较 3.分类讨论
【点评】
本题重点考查二次函数的图象性质，解题的核心是掌握开口向上的二次函数的函数值随点到对称轴距离的变化规律，需要结合分类讨论思想分析m的正负两种情况，避免因漏判m的符号导致错误。
【难度系数】
0.6
3[2026 山东济南期末,中]如图,在平面直角坐标系中,$A(1,2)$,$B(1,-1)$,$C(2,2)$,若抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过$△ ABC$区域(包括边界),则$a$的取值范围是 (
A.$a≤-1$或$a≥2$
B.$-1≤a＜0$或$0＜a≤2$
C.$-1≤a＜0$或$\frac{1}{2}＜a≤1$
D.$\frac{1}{2}≤a≤2$
B
)A.$a≤-1$或$a≥2$
B.$-1≤a＜0$或$0＜a≤2$
C.$-1≤a＜0$或$\frac{1}{2}＜a≤1$
D.$\frac{1}{2}≤a≤2$
答案
3.B 【解析】若抛物线开口向上,即 a＞0,当抛物线$y=ax^2(a≠0)$过 A 点时,a 的值最大,把 A( 1,2 )代入$y=ax^2$ 得 a=2,
∴ 0＜a≤2. 若抛物线开口向下,即a＜0,当抛物线$y=ax^2(a≠0)$过 B 点时,a 的值最小,把 B( 1,-1 )代入$y=ax^2$ 得 a=-1,
∴ -1≤a＜0.综上所述,a 的取值范围为$-1≤a＜0$ 或 $0＜a≤2$. 故选 B.
∴ 0＜a≤2. 若抛物线开口向下,即a＜0,当抛物线$y=ax^2(a≠0)$过 B 点时,a 的值最小,把 B( 1,-1 )代入$y=ax^2$ 得 a=-1,
∴ -1≤a＜0.综上所述,a 的取值范围为$-1≤a＜0$ 或 $0＜a≤2$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：$a$的正负决定开口方向，$|a|$越大抛物线开口越小。题目要求抛物线经过$△ ABC$区域（含边界），因此分两种情况讨论：①当$a＞0$（开口向上）时，抛物线开口不能过小（即$a$不能太大），临界情况是经过区域内最上方的边界点$A(1,2)$，此时$a$取最大值；②当$a＜0$（开口向下）时，抛物线开口不能过小（即$a$不能太小，$a$为负数时$|a|$越大$a$越小），临界情况是经过区域内最下方的边界点$B(1,-1)$，此时$a$取最小值。结合$a\ne0$的前提，即可推导得出$a$的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当抛物线开口向上，即$a＞0$时：
若抛物线刚好经过$△ ABC$的边界点$A(1,2)$，此时$a$取最大值。将$A(1,2)$代入$y=ax^2$得：$2=a×1^2$，解得$a=2$，结合开口向上的条件，可得$0＜a≤2$。
2. 当抛物线开口向下，即$a＜0$时：
若抛物线刚好经过$△ ABC$的边界点$B(1,-1)$，此时$a$取最小值。将$B(1,-1)$代入$y=ax^2$得：$-1=a×1^2$，解得$a=-1$，结合开口向下的条件，可得$-1≤a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-1≤a＜0$或$0＜a≤2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，解题核心是掌握$a$对抛物线$y=ax^2$开口方向、开口大小的影响，找到抛物线经过三角形区域的临界边界点即可求解，解题时注意不要遗漏二次项系数$a\ne0$的前提。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：$a$的正负决定开口方向，$|a|$越大抛物线开口越小。题目要求抛物线经过$△ ABC$区域（含边界），因此分两种情况讨论：①当$a＞0$（开口向上）时，抛物线开口不能过小（即$a$不能太大），临界情况是经过区域内最上方的边界点$A(1,2)$，此时$a$取最大值；②当$a＜0$（开口向下）时，抛物线开口不能过小（即$a$不能太小，$a$为负数时$|a|$越大$a$越小），临界情况是经过区域内最下方的边界点$B(1,-1)$，此时$a$取最小值。结合$a\ne0$的前提，即可推导得出$a$的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当抛物线开口向上，即$a＞0$时：
若抛物线刚好经过$△ ABC$的边界点$A(1,2)$，此时$a$取最大值。将$A(1,2)$代入$y=ax^2$得：$2=a×1^2$，解得$a=2$，结合开口向上的条件，可得$0＜a≤2$。
2. 当抛物线开口向下，即$a＜0$时：
若抛物线刚好经过$△ ABC$的边界点$B(1,-1)$，此时$a$取最小值。将$B(1,-1)$代入$y=ax^2$得：$-1=a×1^2$，解得$a=-1$，结合开口向下的条件，可得$-1≤a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-1≤a＜0$或$0＜a≤2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，解题核心是掌握$a$对抛物线$y=ax^2$开口方向、开口大小的影响，找到抛物线经过三角形区域的临界边界点即可求解，解题时注意不要遗漏二次项系数$a\ne0$的前提。
【难度系数】
0.6
4[2026福建厦门期中,中]对于二次函数$y=ax^2$和$y=bx^2$,其自变量和函数值的两组对应值如表所示,根据二次函数的相关性质,可求出$d-c=$
4
。答案
4.4 【解析】由二次函数的性质可得抛物线$y=ax^2$ 的对称轴为 y 轴,结合表中数据可得$\frac{m-1}{2}=0,∴ m=1$.对于函数$y=bx^2$,当 x=-1 时,$y=c+4$,即$c+4=b×(-1)^2 =b$;当$x=m=1$ 时,$y=d$,即$d=b×1^2 =b,∴ d=b=c+4,∴ d-c=4$,故答案为 4.
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴。若抛物线上两个点的函数值相等，则这两个点关于对称轴对称，横坐标互为相反数，据此可先求出$m$的值；再将$x=-1$和$x=m$分别代入$y=bx^2$，找到$d$与$c$的数量关系，即可求出$d-c$的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴，且当$x=-1$和$x=m$时对应的函数值均为$c$，
∴ 点$(-1,c)$和点$(m,c)$关于y轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{-1+m}{2}=0$，解得$m=1$。
对于二次函数$y=bx^2$：
当$x=-1$时，$y=c+4$，代入得$c+4 = b×(-1)^2 = b$，即$b=c+4$；
当$x=m=1$时，$y=d$，代入得$d = b×1^2 = b$。
∴ $d=b=c+4$，因此$d-c=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查二次函数对称性的应用，解题的关键是利用函数值相等的点关于对称轴对称求出$m$的值，再结合二次函数图象上点的坐标满足函数解析式推导$d$和$c$的关系，属于基础类的性质应用题。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴。若抛物线上两个点的函数值相等，则这两个点关于对称轴对称，横坐标互为相反数，据此可先求出$m$的值；再将$x=-1$和$x=m$分别代入$y=bx^2$，找到$d$与$c$的数量关系，即可求出$d-c$的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴，且当$x=-1$和$x=m$时对应的函数值均为$c$，
∴ 点$(-1,c)$和点$(m,c)$关于y轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{-1+m}{2}=0$，解得$m=1$。
对于二次函数$y=bx^2$：
当$x=-1$时，$y=c+4$，代入得$c+4 = b×(-1)^2 = b$，即$b=c+4$；
当$x=m=1$时，$y=d$，代入得$d = b×1^2 = b$。
∴ $d=b=c+4$，因此$d-c=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查二次函数对称性的应用，解题的关键是利用函数值相等的点关于对称轴对称求出$m$的值，再结合二次函数图象上点的坐标满足函数解析式推导$d$和$c$的关系，属于基础类的性质应用题。
【难度系数】
0.7
5[2026北京密云区期末，中]如图为抛物线$y=-x^2+2$.将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作$C_1$,将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作$C_2$,$C_1$和$C_2$构成的图形记作$C_3$.关于图形$C_3$,给出如下四个结论:①图形$C_3$关于y轴成轴对称;②图形$C_3$有最低点,且最低点的纵坐标为0;③当$x＞0$时,对于图形$C_3$,y随着x的增大而增大;④当$-2≤x≤2$时,图形$C_3$恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点).以上四个结论中,所有正确结论的序号是
刷素养 走向重高
①②④
.刷素养 走向重高
答案
5.①②④ 【解析】画出图形$C_3$ 如图所示. ①由图形可知,图形$C_3$ 关于 y 轴成轴对称,故正确; ②图形$C_3$ 有最低点,且最低点的纵坐标为 0,故正确; ③当x＞0 时,对于图形$C_3$,y 先随着 x 的增大而减小,再随着 x 的增大而增大,故错误; ④当$-2≤x≤2$ 时,图形$C_3$ 恰好经过 (-2,2),(-1,1),(0,2),(1,1),(2,2),共 5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点),故正确,所以正确的结论有①②④. 故答案为 ①②④.
解析
【分析】
解决本题首先要明确图形$C_3$的构成：原抛物线$y=-x^2+2$在x轴及上方的部分$C_1$，加上x轴下方部分沿x轴翻折得到的$C_2$。解题时先结合翻折的性质画出$C_3$的图象，再从对称性、最值、增减性、整点四个角度逐一判断结论：
1. 对称性：原抛物线本身关于y轴对称，沿x轴翻折不改变左右对称的特征，可直接判断①；
2. 最低点：翻折后x轴下方的部分都翻到x轴上方，因此图象最低点就在x轴上，可判断②；
3. 增减性：分区间讨论x＞0时图象的变化趋势，即可判断③；
4. 整点：列举$-2≤x≤2$范围内的整数x，计算对应y值，统计横纵坐标均为整数的点即可判断④。
【解析】
首先画出图形$C_3$如图所示：
对四个结论逐一分析：
① 原抛物线$y=-x^2+2$的图象关于y轴对称，将x轴下方部分沿x轴翻折后，得到的$C_2$也关于y轴对称，因此整体图形$C_3$关于y轴成轴对称，故①正确；
② 翻折后原x轴下方的部分全部位于x轴上方，因此图形$C_3$的最低点是抛物线与x轴的交点，纵坐标为0，故②正确；
③ 当$x＞0$时，$0＜x＜\sqrt{2}$区间内属于$C_1$部分，y随x的增大而减小；$x＞\sqrt{2}$区间内属于翻折后的$C_2$部分，y随x的增大而增大，因此y先减小后增大，故③错误；
④ 当$-2≤x≤2$时，取整数x为-2、-1、0、1、2：
x=±2时，原抛物线y=-4+2=-2，翻折后y=2，对应整点$(-2,2)$、$(2,2)$；
x=±1时，原抛物线y=-1+2=1，在x轴上方，对应整点$(-1,1)$、$(1,1)$；
x=0时，原抛物线y=2，对应整点$(0,2)$；
共5个整点，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象性质，翻折变换的性质，函数的增减性
【点评】
本题是二次函数与图形变换结合的新定义题型，需要学生准确理解翻折后图形的特征，结合数形结合思想逐一验证结论，能很好地考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确图形$C_3$的构成：原抛物线$y=-x^2+2$在x轴及上方的部分$C_1$，加上x轴下方部分沿x轴翻折得到的$C_2$。解题时先结合翻折的性质画出$C_3$的图象，再从对称性、最值、增减性、整点四个角度逐一判断结论：
1. 对称性：原抛物线本身关于y轴对称，沿x轴翻折不改变左右对称的特征，可直接判断①；
2. 最低点：翻折后x轴下方的部分都翻到x轴上方，因此图象最低点就在x轴上，可判断②；
3. 增减性：分区间讨论x＞0时图象的变化趋势，即可判断③；
4. 整点：列举$-2≤x≤2$范围内的整数x，计算对应y值，统计横纵坐标均为整数的点即可判断④。
【解析】
首先画出图形$C_3$如图所示：
对四个结论逐一分析：
① 原抛物线$y=-x^2+2$的图象关于y轴对称，将x轴下方部分沿x轴翻折后，得到的$C_2$也关于y轴对称，因此整体图形$C_3$关于y轴成轴对称，故①正确；
② 翻折后原x轴下方的部分全部位于x轴上方，因此图形$C_3$的最低点是抛物线与x轴的交点，纵坐标为0，故②正确；
③ 当$x＞0$时，$0＜x＜\sqrt{2}$区间内属于$C_1$部分，y随x的增大而减小；$x＞\sqrt{2}$区间内属于翻折后的$C_2$部分，y随x的增大而增大，因此y先减小后增大，故③错误；
④ 当$-2≤x≤2$时，取整数x为-2、-1、0、1、2：
x=±2时，原抛物线y=-4+2=-2，翻折后y=2，对应整点$(-2,2)$、$(2,2)$；
x=±1时，原抛物线y=-1+2=1，在x轴上方，对应整点$(-1,1)$、$(1,1)$；
x=0时，原抛物线y=2，对应整点$(0,2)$；
共5个整点，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象性质，翻折变换的性质，函数的增减性
【点评】
本题是二次函数与图形变换结合的新定义题型，需要学生准确理解翻折后图形的特征，结合数形结合思想逐一验证结论，能很好地考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6 核心素养 推理能力 [2026 江苏泰州期末,难]如图,点A,C为抛物线$y=ax^2+4$(a为常数,且a＜0)上两定点,点B为点A,C之间的抛物线上一动点(不与点A,C重合),过点B作x轴的垂线,交直线AC于点E,分别过点A,C作直线BE的垂线,垂足分别为F,D.
(1)若$a=-1$,点A,B,C的横坐标分别为-3,$m,1(-3＜m＜1)$.
①求直线AC的函数表达式;
②$BE=$
③试猜想BE,AF,CD之间的数量关系并证明.
(2)若(1)中a的值改为-2,其余条件不变,请直接写出BE,AF,CD之间的数量关系.
(3)当a的值确定,点B在点A,C之间的抛物线上运动时,BE,AF,CD之间的数量关系是
(1)若$a=-1$,点A,B,C的横坐标分别为-3,$m,1(-3＜m＜1)$.
①求直线AC的函数表达式;
②$BE=$
$-m^2-2m+3$
;(用含m的代数式表示)③试猜想BE,AF,CD之间的数量关系并证明.
(2)若(1)中a的值改为-2,其余条件不变,请直接写出BE,AF,CD之间的数量关系.
(3)当a的值确定,点B在点A,C之间的抛物线上运动时,BE,AF,CD之间的数量关系是
$BE=-a·AF·CD$
.(用含a的代数式表示)答案
6.【解】(1)若 a=-1,则抛物线的表达式为$y=-x^2 +4$,当 x=-3 时,$y=-(-3)^2 +4=-5$,当 x=m 时,$y=-m^2 +4$,当 x=1 时,$y=-1^2 +4=3$,
∴ A(-3,-5),$B(m,-m^2 +4),C(1,3)$.
①设直线 AC 的表达式为 y=kx+b,将 A(-3,-5),C(1,3)代入得$\begin{cases}-3k+b=-5,\\k+b=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$
∴ 直线 AC 的表达式为 y=2x+1.
②对于直线 AC:y=2x+1,当 x=m 时,y=2x+1=2m+1,
∴ E(m,2m+1),
∴ $BE=-m^2 +4-2m-1=-m^2 -2m+3$,故答案为$-m^2 -2m+3$.
③$BE=AF·CD$. 证明如下:
∵ A(-3,-5),C(1,3),$B(m,-m^2 +4),E(m,2m+1)$,$BE=-m^2 -2m+3$,
∴ AF=m+3,CD=1-m,
∴ $AF·CD=(m+3)(1-m)=-m^2 -2m+3,∴ BE=AF·CD$.
(2)$BE=2AF·CD$. 当 a=-2 时,抛物线的表达式为$y=-2x^2 +4$,
∴ A(-3,-14),$B(m,-2m^2 +4),C(1,2)$,同理可得直线 AC 的表达式为 y=4x-2,
∴ E(m,4m-2),
∴ $BE=-2m^2 +4-(4m-2)=-2m^2 -4m+6=2(-m^2 -2m+3)$.
∵ CD=1-m,AF=m+3,
∴ AF·CD=(m+3)(1-m)=-m^2 -2m+3,
∴ $BE=2AF·CD$.
(3)设点$A(t,at^2 +4)$,点$C(n,an^2 +4)$,由点 A,C 的坐标得直线 AC 的表达式为$y=a(t+n)x-atn+4$. 设点$B(p,ap^2 +4)$,则点$E(p,a(t+n)p-atn+4)$,
∴ $AF=p-t,CD=n-p,BE=-a(-p^2 +tp+np-tn)$,
∴ $AF·CD=(p-t)(n-p)=-p^2 +tp+np-tn,∴ BE=-a·AF·CD$,故答案为$BE=-a·AF·CD$.
∴ A(-3,-5),$B(m,-m^2 +4),C(1,3)$.
①设直线 AC 的表达式为 y=kx+b,将 A(-3,-5),C(1,3)代入得$\begin{cases}-3k+b=-5,\\k+b=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$
∴ 直线 AC 的表达式为 y=2x+1.
②对于直线 AC:y=2x+1,当 x=m 时,y=2x+1=2m+1,
∴ E(m,2m+1),
∴ $BE=-m^2 +4-2m-1=-m^2 -2m+3$,故答案为$-m^2 -2m+3$.
③$BE=AF·CD$. 证明如下:
∵ A(-3,-5),C(1,3),$B(m,-m^2 +4),E(m,2m+1)$,$BE=-m^2 -2m+3$,
∴ AF=m+3,CD=1-m,
∴ $AF·CD=(m+3)(1-m)=-m^2 -2m+3,∴ BE=AF·CD$.
(2)$BE=2AF·CD$. 当 a=-2 时,抛物线的表达式为$y=-2x^2 +4$,
∴ A(-3,-14),$B(m,-2m^2 +4),C(1,2)$,同理可得直线 AC 的表达式为 y=4x-2,
∴ E(m,4m-2),
∴ $BE=-2m^2 +4-(4m-2)=-2m^2 -4m+6=2(-m^2 -2m+3)$.
∵ CD=1-m,AF=m+3,
∴ AF·CD=(m+3)(1-m)=-m^2 -2m+3,
∴ $BE=2AF·CD$.
(3)设点$A(t,at^2 +4)$,点$C(n,an^2 +4)$,由点 A,C 的坐标得直线 AC 的表达式为$y=a(t+n)x-atn+4$. 设点$B(p,ap^2 +4)$,则点$E(p,a(t+n)p-atn+4)$,
∴ $AF=p-t,CD=n-p,BE=-a(-p^2 +tp+np-tn)$,
∴ $AF·CD=(p-t)(n-p)=-p^2 +tp+np-tn,∴ BE=-a·AF·CD$,故答案为$BE=-a·AF·CD$.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问①：先将a=-1代入抛物线解析式，分别代入A、C的横坐标求出两点纵坐标，得到A、C的坐标，再用待定系数法将两点坐标代入一次函数一般式，解方程组即可得到直线AC的解析式。
2. 第(1)问②：E点横坐标和B点相同均为m，将x=m代入直线AC解析式得到E点纵坐标，BE的长度为B点纵坐标减去E点纵坐标（B在E上方），化简即可得到含m的代数式。
3. 第(1)问③：AF、CD均为水平线段，分别表示出二者长度，计算AF·CD的结果，和BE的代数式对比即可得到数量关系。
4. 第(2)问：类比第(1)问的推导方法，将a替换为-2，分别求出BE、AF·CD的表达式，对比得到二者关系。
5. 第(3)问：将A、C的横坐标设为参数，推导直线AC的一般解析式，分别表示出BE、AF·CD的表达式，整理得到含a的通用数量关系。
【解析】
(1) 当a=-1时，抛物线解析式为$y=-x^2+4$：
① 当x=-3时，$y=-(-3)^2+4=-5$，即A(-3,-5)；当x=1时，$y=-1^2+4=3$，即C(1,3)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，代入A、C坐标得：
$\begin{cases}-3k+b=-5\\k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$，即直线AC的表达式为$y=2x+1$。
② B点横坐标为m，代入抛物线得$B(m,-m^2+4)$；E点横坐标为m，代入直线AC得$E(m,2m+1)$，则$BE=(-m^2+4)-(2m+1)=-m^2-2m+3$。
③ 猜想$BE=AF·CD$，证明如下：
AF为水平线段，长度为$m-(-3)=m+3$；CD为水平线段，长度为$1-m$，则$AF·CD=(m+3)(1-m)=-m^2-2m+3$，和BE的表达式一致，故$BE=AF·CD$。
(2) 当a=-2时，抛物线解析式为$y=-2x^2+4$，则A(-3,-14)、C(1,2)，同理求得直线AC解析式为$y=4x-2$。
$B(m,-2m^2+4)$，$E(m,4m-2)$，则$BE=(-2m^2+4)-(4m-2)=-2m^2-4m+6=2(-m^2-2m+3)$，又$AF·CD=-m^2-2m+3$，故$BE=2AF·CD$。
(3) 设A横坐标为t，C横坐标为n，B横坐标为p，则$A(t,at^2+4)$，$C(n,an^2+4)$，$B(p,ap^2+4)$。
求得直线AC解析式为$y=a(t+n)x-atn+4$，则$E(p,a(t+n)p-atn+4)$，
$BE=ap^2-a(t+n)p+atn=-a(-p^2+tp+np-tn)$，
又$AF·CD=(p-t)(n-p)=-p^2+tp+np-tn$，故$BE=-a·AF·CD$。
【答案】
(1)①$y=2x+1$；②$\boldsymbol{-m^2-2m+3}$；③$\boldsymbol{BE=AF·CD}$；
(2)$\boldsymbol{BE=2AF·CD}$；
(3)$\boldsymbol{BE=-a·AF·CD}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，代数式化简
【点评】
本题以二次函数为背景，结合一次函数相关知识，通过从特殊到一般的探究过程，考察坐标与线段长度的转化、代数运算推理能力，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：
1. 第(1)问①：先将a=-1代入抛物线解析式，分别代入A、C的横坐标求出两点纵坐标，得到A、C的坐标，再用待定系数法将两点坐标代入一次函数一般式，解方程组即可得到直线AC的解析式。
2. 第(1)问②：E点横坐标和B点相同均为m，将x=m代入直线AC解析式得到E点纵坐标，BE的长度为B点纵坐标减去E点纵坐标（B在E上方），化简即可得到含m的代数式。
3. 第(1)问③：AF、CD均为水平线段，分别表示出二者长度，计算AF·CD的结果，和BE的代数式对比即可得到数量关系。
4. 第(2)问：类比第(1)问的推导方法，将a替换为-2，分别求出BE、AF·CD的表达式，对比得到二者关系。
5. 第(3)问：将A、C的横坐标设为参数，推导直线AC的一般解析式，分别表示出BE、AF·CD的表达式，整理得到含a的通用数量关系。
【解析】
(1) 当a=-1时，抛物线解析式为$y=-x^2+4$：
① 当x=-3时，$y=-(-3)^2+4=-5$，即A(-3,-5)；当x=1时，$y=-1^2+4=3$，即C(1,3)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，代入A、C坐标得：
$\begin{cases}-3k+b=-5\\k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$，即直线AC的表达式为$y=2x+1$。
② B点横坐标为m，代入抛物线得$B(m,-m^2+4)$；E点横坐标为m，代入直线AC得$E(m,2m+1)$，则$BE=(-m^2+4)-(2m+1)=-m^2-2m+3$。
③ 猜想$BE=AF·CD$，证明如下：
AF为水平线段，长度为$m-(-3)=m+3$；CD为水平线段，长度为$1-m$，则$AF·CD=(m+3)(1-m)=-m^2-2m+3$，和BE的表达式一致，故$BE=AF·CD$。
(2) 当a=-2时，抛物线解析式为$y=-2x^2+4$，则A(-3,-14)、C(1,2)，同理求得直线AC解析式为$y=4x-2$。
$B(m,-2m^2+4)$，$E(m,4m-2)$，则$BE=(-2m^2+4)-(4m-2)=-2m^2-4m+6=2(-m^2-2m+3)$，又$AF·CD=-m^2-2m+3$，故$BE=2AF·CD$。
(3) 设A横坐标为t，C横坐标为n，B横坐标为p，则$A(t,at^2+4)$，$C(n,an^2+4)$，$B(p,ap^2+4)$。
求得直线AC解析式为$y=a(t+n)x-atn+4$，则$E(p,a(t+n)p-atn+4)$，
$BE=ap^2-a(t+n)p+atn=-a(-p^2+tp+np-tn)$，
又$AF·CD=(p-t)(n-p)=-p^2+tp+np-tn$，故$BE=-a·AF·CD$。
【答案】
(1)①$y=2x+1$；②$\boldsymbol{-m^2-2m+3}$；③$\boldsymbol{BE=AF·CD}$；
(2)$\boldsymbol{BE=2AF·CD}$；
(3)$\boldsymbol{BE=-a·AF·CD}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，代数式化简
【点评】
本题以二次函数为背景，结合一次函数相关知识，通过从特殊到一般的探究过程，考察坐标与线段长度的转化、代数运算推理能力，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键。
【难度系数】
0.3
