1[中]如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$CA=4$,点$D$为$AC$中点,点$E$在$AB$上,当$AE$为时,$△ ABC$与以点$A,D,E$为顶点的三角形相似.

(第1题图)
(第2题图)

1. $3 或\frac{4}{3}$
【解析】$\because D$ 为 $AC$ 中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=2$.
当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时,$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ AED∽ △ ABC,\therefore AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{6× 2}{4}=3$; 当$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$时,$\because ∠ A=∠ A$,$\therefore △ ADE∽ △ ABC,\therefore AE=\frac{AC· AD}{AB}=\frac{4× 2}{6}=\frac{4}{3}$. 综上,$AE=3$ 或 $\frac{4}{3}$. 故答案为 $3$ 或 $\frac{4}{3}$.

【分析】
本题中△ABC与△ADE有公共角∠A，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，结合题目未明确相似三角形的对应顶点顺序，需分两种情况讨论对应边的比例关系。解题时先根据中点性质求出AD的长度，再分别代入两种比例式计算AE的长度即可。
【解析】
解：
∵D为AC中点，$AC=4$，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=2$。
∵∠A是△ABC和△ADE的公共角，分两种情况讨论：
① 当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，△AED∽△ABC，
代入$AB=6,AD=2,AC=4$，得：
$AE=\frac{AB·AD}{AC}=\frac{6×2}{4}=3$；
② 当$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$时，△ADE∽△ABC，
代入$AB=6,AD=2,AC=4$，得：
$AE=\frac{AC·AD}{AB}=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$。
综上，$AE$的长为$3$或$\frac{4}{3}$。
【答案】
$3$或$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，解题的关键是明确未给出对应顶点顺序的相似问题，需要结合公共角分类讨论对应边的比例关系，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

2[2025山东德州质检,中]如图,将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合,点A,D,B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知DE//AC,EF//AB,AC=6,下列结论不正确的是 ()

A.$AF=4$
B.$CF=2.4$
C.$DE=3.6$
D.$EF=4$

2. A
【解析】由题意得 $AD=4,BD=6,AB=10. \because DE// AC,EF// AB,\therefore$ 四边形 $ADEF$ 为平行四边形,$\therefore AF=DE,EF=AD=4. \because EF// AB,\therefore$ 易得 $△ CEF∽ △ CBA$,$\therefore \frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB},\therefore \frac{CF}{6}=\frac{4}{10},\therefore CF=2.4,\therefore AF=AC-CF=6-2.4=3.6,\therefore DE=3.6$. 故 A 选项符合题意. 故选 A.

【分析】
解题时首先从刻度尺读取各点对应的刻度，得到AB、AD、BD的长度；再结合两组对边分别平行的条件，判定四边形ADEF是平行四边形，得到对边相等的关系；接着利用EF平行AB推出△CEF与△CBA相似，根据相似三角形对应边成比例计算CF的长度，进而求出AF、DE的长度，最后逐一验证四个选项，选出错误结论即可。
【解析】
由刻度尺读数可得：点A对应刻度0，点D对应刻度4，点B对应刻度10，因此$AD=4$，$BD=10-4=6$，$AB=10$。
$\because DE// AC$，$EF// AB$，$\therefore$ 四边形$ADEF$是平行四边形，
$\therefore EF=AD=4$，$DE=AF$，故D选项结论正确，不符合题意。
$\because EF// AB$，$\therefore △ CEF ∽ △ CBA$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB}$，将$AC=6$，$EF=4$，$AB=10$代入得：
$\frac{CF}{6}=\frac{4}{10}$，解得$CF=2.4$，故B选项结论正确，不符合题意。
$\therefore AF=AC-CF=6-2.4=3.6$，$\therefore DE=AF=3.6$，故C选项结论正确，不符合题意，A选项$AF=4$的结论错误，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段长度计算
【点评】
本题结合长度测量，综合考查了平行四边形、相似三角形的相关性质，解题时需要先准确提取图中线段长度的信息，再依次利用平行和相似的性质推导各线段长度，是相似章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7

3[中]如图,在边长为$\sqrt{3}$的菱形$ABCD$中,$∠ B = 30°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,现将$△ ABE$沿直线$AE$翻折至$△ AFE$的位置,$AF$与$CD$交于点$G$,则$CG$等于.

(第3题图)
(第4题图)

3. $\sqrt{3}-1$
【解析】在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, $∠ B=30°,AB=\sqrt{3}$,$\therefore AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore$ 由勾股定理得, $BE=\frac{3}{2}$. 根据翻折性质可得 $BF=2BE=3$,$\therefore CF=3-\sqrt{3}. \because AD// CF,\therefore$ 易证 $△ ADG∽ △ FCG,\therefore \frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}$. 设 $CG=x$, 则 $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$, 解得 $x=\sqrt{3}-1$, 故答案为 $\sqrt{3}-1$.

【分析】
解题可按三步逐步推导：第一步，先在$\mathrm{Rt}△ABE$中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出$BE$的长度；第二步，根据翻折前后对应边相等的性质，算出$BF$的长度，再结合菱形边长求出$CF$的长度；第三步，由菱形对边平行的性质得到$AD// CF$，证明$△ADG$和$△FCG$相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，设$CG$为未知数列方程求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ B=30°$，$AB=\sqrt{3}$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由勾股定理得$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{3}{2}$。
根据翻折的性质可得$EF=BE=\frac{3}{2}$，
$\therefore BF=BE+EF=2×\frac{3}{2}=3$。
∵四边形$ABCD$是边长为$\sqrt{3}$的菱形，
$\therefore BC=AD=CD=\sqrt{3}$，$AD// BC$，
$\therefore CF=BF-BC=3-\sqrt{3}$，$AD// CF$，
$\therefore ∠ D=∠ GCF$，$∠ DAG=∠ F$，可证$△ADG∽△FCG$，
$\therefore \frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}$。
设$CG=x$，则$DG=CD-CG=\sqrt{3}-x$，代入比例式得：
$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$，
解得$x=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
菱形的性质；翻折的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，融合了菱形、图形翻折、相似三角形三类知识点，解题核心是先通过直角三角形性质和翻折特点求出$CF$的长度，再借助相似三角形的比例关系建立方程求解，需要熟练掌握方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

4[2025上海宝山区校级期中,中]如图,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,BE与CD交于点O.若∠ACO=∠EBC,则CD:BC的值是.

4. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【解析】如图所示,连接 $DE$. $\because$ 点 $D,E$ 分别是 $AB,AC$ 的中点, $\therefore DE$ 为 $△ ABC$ 的中位线, $\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,$\therefore$ 易得 $△ DOE∽ △ COB$,$\therefore \frac{DO}{OC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$. 设 $DO=k$, 则 $OC=2k$,$\therefore CD=3k. \because DE// BC$,$\therefore ∠ EBC=∠ DEB$. 又 $\because ∠ ACO=∠ EBC$,$\therefore ∠ DEB=∠ ACO$. 又 $\because ∠ EDO=∠ CDE$,$\therefore △ DEO∽ △ DCE$,$\therefore \frac{DE}{DC}=\frac{DO}{DE}$,$\therefore DE^2=DC· DO$, 即 $DE^2=3k× k=3k^2$,$\therefore DE=\sqrt{3}k$,$\therefore BC=2\sqrt{3}k$,$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【分析】
看到题目中D、E是AB、AC的中点，首先考虑构造三角形中位线，因此连接DE。第一步利用三角形中位线定理得到DE与BC的平行关系和长度比，进而得到△DOE∽△COB，求出DO与OC的比例；再结合已知∠ACO=∠EBC，利用平行线的内错角相等进行角的转化，得到△DEO∽△DCE，借助相似的等积式求出DE的长度（设参数简化计算），最后推导BC和CD的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
解：连接$DE$，
∵点$D,E$分别是$AB,AC$的中点，
∴$DE$为$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore △ DOE ∽ △ COB$，
$\therefore \frac{DO}{OC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
设$DO=k$，则$OC=2k$，$CD=DO+OC=3k$。
∵$DE// BC$，
∴$∠EBC=∠DEB$，
又
∵$∠ACO=∠EBC$，
∴$∠DEB=∠ACO$，
又
∵$∠EDO=∠CDE$（公共角），
$\therefore △ DEO ∽ △ DCE$，
$\therefore \frac{DE}{DC}=\frac{DO}{DE}$，即$DE^2=DC· DO$，
代入$DC=3k$，$DO=k$可得：$DE^2=3k· k=3k^2$，
解得$DE=\sqrt{3}k$（线段长度为正数），
$\therefore BC=2DE=2\sqrt{3}k$，
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{3k}{2\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形判定、相似三角形性质
【点评】
本题是三角形中位线与相似三角形结合的常考题型，解题关键是合理添加辅助线构造中位线，通过两次相似三角形的判定与性质建立线段的比例关系，设参数的方法可有效简化比值计算，熟练掌握相似的常见模型能提升解题效率。
【难度系数】
0.6

5[较难]如图,在$Rt△ AOB$和$Rt△ COD$中,$∠ AOB=∠ COD=90°,∠ ABO=∠ CDO$,E为OA的中点,$OA=4,OB=6$.将$△ COD$绕点O旋转,直线AC,BD交于点F,连接EF,则EF的最小值是.

(第5题图)
(第6题图)

5. $\sqrt{13}-3$
【解析】如图,取 $AB$ 的中点 $S$, 连接 $ES,FS$, 则 $FS-ES≤ FE≤ ES+FS$. $\because ∠ AOB=90°,OA=4,OB=6$,$\therefore AB=2\sqrt{13}. \because ∠ AOB=∠ COD=90°,∠ ABO=∠ CDO$,$\therefore △ AOB∽ △ COD$,$\therefore OB:OD=OA:OC. \because ∠ AOB=∠ COD$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$,$\therefore △ DOB∽ △ COA$,$\therefore ∠ OBD=∠ OAC. \because ∠ OBD+∠ FBO=180°$,$\therefore ∠ OAC+∠ FBO=180°$,$\therefore ∠ AOB+∠ AFB=180°$,$\therefore ∠ AFB=∠ AOB=90°$. 又$\because S$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore FS=\frac{1}{2}AB=\sqrt{13}. \because E$ 为 $OA$ 的中点, $S$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore ES=\frac{1}{2}OB=3$,$\therefore EF$ 的最小值为 $\sqrt{13}-3$. 故答案为 $\sqrt{13}-3$.

【分析】
要求EF的最小值，可结合旋转性质与三角形三边关系求解：首先根据已知角相等证明△AOB∽△COD，进一步推导得到△DOB∽△COA，推出∠AFB=90°，可知点F在以AB为直径的圆上运动；其次取AB的中点S（即该圆的圆心），连接ES、FS，根据三角形三边关系，当E、S、F三点共线且E在S、F之间时，EF取得最小值，为FS-ES，最后分别计算FS、ES的长度即可。
【解析】
如图，取$AB$的中点$S$，连接$ES,FS$，根据三角形三边关系可得$FS-ES≤ FE≤ ES+FS$，当且仅当$E、S、F$三点共线时取等号。
$\because ∠ AOB=90°,OA=4,OB=6$，
$\therefore$由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
$\because ∠ AOB=∠ COD=90°,∠ ABO=∠ CDO$，
$\therefore △ AOB∽ △ COD$，
$\therefore OB:OD=OA:OC$。
$\because ∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore ∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$，
$\therefore △ DOB∽ △ COA$，
$\therefore ∠ OBD=∠ OAC$。
$\because ∠ OBD+∠ FBO=180°$，
$\therefore ∠ OAC+∠ FBO=180°$，
在四边形$AFBO$中，内角和为$360°$，
$\therefore ∠ AOB+∠ AFB=180°$，
$\therefore ∠ AFB=∠ AOB=90°$。
又$\because S$ 为 $AB$ 的中点，在$Rt△AFB$中，斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore FS=\frac{1}{2}AB=\sqrt{13}$。
$\because E$ 为 $OA$ 的中点， $S$ 为 $AB$ 的中点，
$\therefore ES$是$△AOB$的中位线，
$\therefore ES=\frac{1}{2}OB=3$，
$\therefore EF$的最小值为 $\sqrt{13}-3$。
【答案】
$\sqrt{13}-3$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合最值类题目，融合了旋转、相似三角形、直角三角形性质、三角形中位线等多个知识点，解题核心是通过证明直角确定动点的轨迹为圆，再利用点到圆的最短距离规律求解，对几何知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3

6[较难]如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O. 将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O'BC'，当O'，C'，D三点共线时，O'A的长为.

6. $\sqrt{3}-1$ 或 $\sqrt{3}+1$
【解析】①当 $O'C'$ 在 $BD$ 的上方时,
$\because △ O'C'B,△ ABD$ 是等腰直角三角形,$\therefore O'B:BC'=AB:BD=1:\sqrt{2}. \because ∠ ABO'+∠ ABC'=∠ DBC'+∠ ABC'=45°$,$\therefore ∠ ABO'=∠ DBC'$,$\therefore △ ABO'∽ △ DBC',\therefore AO':DC'=AB:BD. \because BC'=BC=2$,$\therefore O'C'=BO'=\frac{\sqrt{2}}{2}BC'=\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}. \because DO'^2=BD^2-BO'^2$,$\therefore DO'^2=(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2$,$\therefore DO'=\sqrt{6}$,$\therefore DC'=\sqrt{6}-\sqrt{2}$,$\therefore AO':(\sqrt{6}-\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$,$\therefore AO'=\sqrt{3}-1$.
②当 $O'C'$ 在 $BD$ 的下方时,如图所示. 同理可证 $△ ABO'∽ △ DBC'$,$\therefore AO':DC'=AB:BD=1:\sqrt{2}$.
$\because BC'=BC=2$,$\therefore O'C'=BO'=\frac{\sqrt{2}}{2}BC'=\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$.
$\because DO'^2=BD^2-BO'^2$,$\therefore DO'^2=(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2$,$\therefore DO'=\sqrt{6}$,$\therefore DC'=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,$\therefore AO':(\sqrt{6}+\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$,$\therefore AO'=\sqrt{3}+1$. 综上所述,$AO'$ 的长为 $\sqrt{3}-1$ 或 $\sqrt{3}+1$.

【分析】
本题是正方形背景下的旋转类几何计算问题，解题思路如下：
1. 首先明确O'、C'、D三点共线存在两种位置情况：O'C'在BD上方、O'C'在BD下方，需分类讨论避免漏解；
2. 根据旋转性质可知旋转后$△ O'BC'$与$△ OBC$全等，均为等腰直角三角形，结合正方形对角线的特征，可通过“两边成比例且夹角相等”证明$△ ABO' ∽ △ DBC'$，得到$O'A$与$DC'$的比例关系；
3. 先利用勾股定理计算$DO'$的长度，结合$O'C'$的长度得到$DC'$的长，最终根据相似比求出$O'A$的长度。
【解析】
①当 $O'C'$ 在 $BD$ 的上方时，
$\because △ O'C'B$、$△ ABD$ 是等腰直角三角形，
$\therefore O'B:BC'=AB:BD=1:\sqrt{2}$。
$\because ∠ ABO'+∠ ABC'=∠ DBC'+∠ ABC'=45°$，
$\therefore ∠ ABO'=∠ DBC'$，
$\therefore △ ABO' ∽ △ DBC'$，
$\therefore AO':DC'=AB:BD$。
$\because BC'=BC=2$，
$\therefore O'C'=BO'=\frac{\sqrt{2}}{2}BC'=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$。
$\because DO'^2=BD^2-BO'^2$，
$\therefore DO'^2=(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2$，解得$DO'=\sqrt{6}$，
$\therefore DC'=DO'-O'C'=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
代入比例式得 $AO':(\sqrt{6}-\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$，解得 $AO'=\sqrt{3}-1$。
②当 $O'C'$ 在 $BD$ 的下方时，如图所示，
同理可证 $△ ABO' ∽ △ DBC'$，
$\therefore AO':DC'=AB:BD=1:\sqrt{2}$。
$\because BC'=BC=2$，
$\therefore O'C'=BO'=\frac{\sqrt{2}}{2}BC'=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$。
$\because DO'^2=BD^2-BO'^2$，
$\therefore DO'^2=(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2$，解得$DO'=\sqrt{6}$，
$\therefore DC'=DO'+O'C'=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
代入比例式得 $AO':(\sqrt{6}+\sqrt{2})=1:\sqrt{2}$，解得 $AO'=\sqrt{3}+1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$ 或 $\sqrt{3}+1$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转、正方形性质与相似三角形的知识结合考查，解题时需注意分类讨论三点共线的两种位置情况，避免漏解，对几何推理和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

7[中]如图,正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上的动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设BM=x.
(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)当M点运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN?求此时x的值.

7.(1)【证明】在正方形 $ABCD$ 中, $∠ B=∠ C=90°$.
$\because AM⊥ MN,\therefore ∠ AMN=90°,\therefore ∠ CMN+∠ AMB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中, $∠ MAB+∠ AMB=90°,\therefore ∠ CMN=∠ MAB,\therefore \mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ MCN$.
(2)【解】$\because ∠ B=∠ AMN=90°$,$\therefore$ 要使 $\mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ AMN$, 必须有 $\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BM}$.
由(1)知 $\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{MC}$,$\therefore BM=MC$,$\therefore$ 当点 $M$ 运动到 $BC$ 的中点时,$\mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ AMN$, 此时 $x=2$.

【分析】
(1)要证明两个直角三角形相似，已知已有一组直角相等，只需再证明一组锐角相等即可。利用同角的余角相等，可推导得到两个三角形的另一组锐角相等，满足相似三角形的判定条件。
(2)要使Rt△ABM∽Rt△AMN，已知两个三角形的直角相等，需夹直角的两组边对应成比例，结合第(1)问得到的相似三角形的边的比例关系，即可推导出BM和MC的关系，进而确定M的位置和x的值。
【解析】
(1)证明：在正方形$ABCD$中，$∠ B=∠ C=90°$。
$\because AM⊥ MN,\therefore ∠ AMN=90°,\therefore ∠ CMN+∠ AMB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中, $∠ MAB+∠ AMB=90°,\therefore ∠ CMN=∠ MAB,\therefore \mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ MCN$。
(2)解：$\because ∠ B=∠ AMN=90°$,$\therefore$ 要使 $\mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ AMN$, 必须有 $\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BM}$。
由(1)知 $\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{MC}$,$\therefore BM=MC$，即M为BC的中点。
正方形边长为4，因此$x=BM=\frac{1}{2}BC=2$。
【答案】
(1) 已证$\mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ MCN$；
(2) 当点M运动到BC的中点时，$\mathrm{Rt}△ ABM∽ \mathrm{Rt}△ AMN$，此时$x=2$。
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的常见题型，涉及“一线三等角”的相似模型，解题时要灵活运用已证的相似结论，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键。
【难度系数】
0.65