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1. [2026安庆期中]一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示，当x=9 min时，y= (
A.36 L
B.38 L
C.40 L
D.42 L
B
)A.36 L
B.38 L
C.40 L
D.42 L
答案
设当5≤x≤15时,直线对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0).因为直线经过点(5,30),(15,50),所以$\begin{cases}5k+b=30,\\15k+b=50,\end{cases}$所以$\begin{cases}k=2,\\b=20,\end{cases}$所以直线对应的函数表达式为y=2x+20(5≤x≤15).令x=9,则y=2×9+20=38.
解析
【分析】
首先判断x=9min所在的时间区间是5~15min，该区间内水量y与时间x满足一次函数关系，因此可通过待定系数法求出该区间的函数解析式，再代入x=9即可求出对应的y值。解题时先从图像中提取5~15min区间的两个已知点坐标，代入一次函数一般式列方程组求解系数，最后代入x=9计算即可。
【解析】
解：当$5≤ x≤ 15$时，设该段对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由图像可知函数过点$(5,30)$和$(15,50)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases}5k+b=30\\15k+b=50\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=20$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$5k+b=30$，得$10+b=30$，解得$b=20$。
因此该段函数表达式为$y=2x+20\quad(5≤ x≤15)$。
当$x=9$时，代入得$y=2×9+20=38$。
【答案】
B.38 L
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分段函数
【点评】
本题结合容器进出水的实际场景考查分段函数的应用，解题关键是准确定位自变量所属的函数区间，利用待定系数法求出对应区间的解析式后代入求值，侧重对一次函数基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先判断x=9min所在的时间区间是5~15min，该区间内水量y与时间x满足一次函数关系，因此可通过待定系数法求出该区间的函数解析式，再代入x=9即可求出对应的y值。解题时先从图像中提取5~15min区间的两个已知点坐标，代入一次函数一般式列方程组求解系数，最后代入x=9计算即可。
【解析】
解：当$5≤ x≤ 15$时，设该段对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由图像可知函数过点$(5,30)$和$(15,50)$，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases}5k+b=30\\15k+b=50\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=20$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$5k+b=30$，得$10+b=30$，解得$b=20$。
因此该段函数表达式为$y=2x+20\quad(5≤ x≤15)$。
当$x=9$时，代入得$y=2×9+20=38$。
【答案】
B.38 L
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分段函数
【点评】
本题结合容器进出水的实际场景考查分段函数的应用，解题关键是准确定位自变量所属的函数区间，利用待定系数法求出对应区间的解析式后代入求值，侧重对一次函数基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2. [2026宿州段考]在探究小球速度随时间变化规律的实验中,小球由静止开始沿斜面向下滚动,到达斜面底端后,在水平面上继续滚动直至停止,如图1所示.小球滚动过程中的速度y(单位:m/s)与时间x(单位:s)之间的关系如图2所示.
(1)求AB所在直线的函数表达式.
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长.
(1)求AB所在直线的函数表达式.
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长.
答案
(1)设OA所在直线的函数表达式为y=kx(k≠0),将(1,2)代入,得k=2,所以OA所在直线的函数表达式为y=2x.令x=2,得y=4,所以点A的坐标为(2,4).设AB所在直线的函数表达式为y=mx+b(m≠0),将(2,4)和(3.5,2)代入,得$\begin{cases}4=2m+b,\\2=3.5m+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{20}{3},\end{cases}$所以AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$.
(2)对于$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$,令y=0,则$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$,解得x=5.又5-2=3,所以该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s.
(2)对于$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$,令y=0,则$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$,解得x=5.又5-2=3,所以该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s.
解析
【分析】
(1) 要求AB所在直线的函数表达式，需先确定AB上两个点的坐标：已知(3.5,2)在AB上，还需先求点A的坐标。OA是过原点的直线，且(1,2)在OA上，可先用待定系数法求出OA的解析式，再将x=2代入OA的解析式得到A点的纵坐标，即可得到A点坐标，最后将A和(3.5,2)代入一次函数一般式，解方程组即可求出AB的解析式。
(2) 小球到达斜面底端时速度最大，对应图像中A点，对应的时刻为x=2s；小球停止时速度为0，只需将y=0代入AB的解析式求出对应的x值，再减去2s即可得到从斜面底端至停止的时长。
【解析】
(1) 设OA所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，将$(1,2)$代入得：$2=k×1$，解得$k=2$，因此OA的解析式为$y=2x$。
令$x=2$，得$y=2×2=4$，因此点A的坐标为$(2,4)$。
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+b(m≠0)$，将$(2,4)$和$(3.5,2)$代入得：
$\begin{cases}4=2m+b\\2=3.5m+b\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2=-1.5m$，解得$m=-\dfrac{4}{3}$，将$m=-\dfrac{4}{3}$代入$4=2m+b$得：$4=2×(-\dfrac{4}{3})+b$，解得$b=\dfrac{20}{3}$。
因此AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$。
(2) 小球停止时速度$y=0$，将$y=0$代入$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$得：
$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$，解得$x=5$。
小球到达斜面底端的时刻为$x=2\ \mathrm{s}$，因此从斜面底端至停止的时长为$5-2=3(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$
(2) $3\ \mathrm{s}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图像的应用
【点评】
本题结合小球运动的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂速度-时间图像的含义，准确提取图像中的点坐标信息，结合待定系数法和一次函数的性质求解，注意所求时长为两个时刻的差值，避免直接将y=0对应的x值当作最终结果。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AB所在直线的函数表达式，需先确定AB上两个点的坐标：已知(3.5,2)在AB上，还需先求点A的坐标。OA是过原点的直线，且(1,2)在OA上，可先用待定系数法求出OA的解析式，再将x=2代入OA的解析式得到A点的纵坐标，即可得到A点坐标，最后将A和(3.5,2)代入一次函数一般式，解方程组即可求出AB的解析式。
(2) 小球到达斜面底端时速度最大，对应图像中A点，对应的时刻为x=2s；小球停止时速度为0，只需将y=0代入AB的解析式求出对应的x值，再减去2s即可得到从斜面底端至停止的时长。
【解析】
(1) 设OA所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，将$(1,2)$代入得：$2=k×1$，解得$k=2$，因此OA的解析式为$y=2x$。
令$x=2$，得$y=2×2=4$，因此点A的坐标为$(2,4)$。
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+b(m≠0)$，将$(2,4)$和$(3.5,2)$代入得：
$\begin{cases}4=2m+b\\2=3.5m+b\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2=-1.5m$，解得$m=-\dfrac{4}{3}$，将$m=-\dfrac{4}{3}$代入$4=2m+b$得：$4=2×(-\dfrac{4}{3})+b$，解得$b=\dfrac{20}{3}$。
因此AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$。
(2) 小球停止时速度$y=0$，将$y=0$代入$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$得：
$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$，解得$x=5$。
小球到达斜面底端的时刻为$x=2\ \mathrm{s}$，因此从斜面底端至停止的时长为$5-2=3(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$
(2) $3\ \mathrm{s}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图像的应用
【点评】
本题结合小球运动的实际场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂速度-时间图像的含义，准确提取图像中的点坐标信息，结合待定系数法和一次函数的性质求解，注意所求时长为两个时刻的差值，避免直接将y=0对应的x值当作最终结果。
【难度系数】
0.7
3. 某水果超市欲购买某种水果进行销售.若一次性购买不超过40千克,则每千克该种水果的价格为30元;若一次性购买超过40千克,则超过的部分,每千克水果打八折.设水果超市购买该种水果x千克,付款y元.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)若一次性购买该种水果100千克,需要付款多少元?
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)若一次性购买该种水果100千克,需要付款多少元?
答案
(1)由题意,得$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤40),\\40×30+30×0.8×(x-40)(x＞40),\end{cases}$即$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤40),\\24x+240(x＞40).\end{cases}$
(2)当x=100时,y=24×100+240=2640.答:需要付款2640元.
(2)当x=100时,y=24×100+240=2640.答:需要付款2640元.
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：(1) 首先根据题干的计价规则分两种情况讨论：①当购买量x不超过40千克时，单价统一为30元/千克，直接根据“总价=单价×数量”列函数式；②当购买量x超过40千克时，总付款由两部分组成：前40千克按原价30元/千克计算，超出40千克的部分(x-40)按原价的八折计算，将两部分费用相加后化简即可得到对应区间的函数式，最终组合成分段函数。(2) 计算购买100千克的付款时，先判断100＞40，属于第二个分段的取值范围，代入对应函数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤40$时，每千克价格为30元，因此$y=30x$；
② 当$x＞40$时，前40千克费用为$40×30$元，超出部分$(x-40)$千克的单价为$30×0.8=24$元/千克，因此总费用：
$y=40×30 + 30×0.8(x-40)=1200 + 24(x-40)=24x + 240$
综上，y关于x的函数表达式为：
$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤40)\\24x+240&(x＞40)\end{cases}$
(2) 因为$100＞40$，所以将$x=100$代入$y=24x+240$得：
$y=24×100 + 240=2400+240=2640$
答：一次性购买100千克该种水果需要付款2640元。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤40)\\24x+240(x＞40)\end{cases}$
(2)2640元
【知识点】
分段函数，一次函数的实际应用，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的购物计价场景考查分段函数的相关知识，解题的核心是准确区分不同自变量取值范围对应的计价规则，分别列出对应区间的函数关系式，代入求值时要先判断自变量所属的分段，再选择对应的解析式计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：(1) 首先根据题干的计价规则分两种情况讨论：①当购买量x不超过40千克时，单价统一为30元/千克，直接根据“总价=单价×数量”列函数式；②当购买量x超过40千克时，总付款由两部分组成：前40千克按原价30元/千克计算，超出40千克的部分(x-40)按原价的八折计算，将两部分费用相加后化简即可得到对应区间的函数式，最终组合成分段函数。(2) 计算购买100千克的付款时，先判断100＞40，属于第二个分段的取值范围，代入对应函数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤40$时，每千克价格为30元，因此$y=30x$；
② 当$x＞40$时，前40千克费用为$40×30$元，超出部分$(x-40)$千克的单价为$30×0.8=24$元/千克，因此总费用：
$y=40×30 + 30×0.8(x-40)=1200 + 24(x-40)=24x + 240$
综上，y关于x的函数表达式为：
$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤40)\\24x+240&(x＞40)\end{cases}$
(2) 因为$100＞40$，所以将$x=100$代入$y=24x+240$得：
$y=24×100 + 240=2400+240=2640$
答：一次性购买100千克该种水果需要付款2640元。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤40)\\24x+240(x＞40)\end{cases}$
(2)2640元
【知识点】
分段函数，一次函数的实际应用，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的购物计价场景考查分段函数的相关知识，解题的核心是准确区分不同自变量取值范围对应的计价规则，分别列出对应区间的函数关系式，代入求值时要先判断自变量所属的分段，再选择对应的解析式计算，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
4. 新情境 [2025长春中考]随着我国人工智能技术的快速发展,智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作,它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作,甲机器人工作一段时间后,停工保养,保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(单位:件)与乙机器人的工作时间x(单位:分)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为
(2)求AB所在直线对应的函数表达式.
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器人当天的工作时间为
(1)甲机器人停工保养的时间为
20
分钟,m=3800
.(2)求AB所在直线对应的函数表达式.
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器人当天的工作时间为
110
分钟.答案
(1)20 3 800
由题中图象可知,从40分钟到60分钟的这段工作时间内,只有乙机器人工作,所以甲机器人停工保养的时间为60-40=20(分),甲、乙两台机器人每分钟分拣快递的总件数为2 200÷40=55(件),所以m=2 700+55×(80-60)=3 800.
(2)设AB所在直线对应的函数表达式为y=kx+b,把A(60,2 700)和B(80,3 800)的坐标代入,得$\begin{cases}60k+b=2\ 700,\\80k+b=3\ 800,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=55,\\b=-600,\end{cases}$所以AB所在直线对应的函数表达式为y=55x-600.
(3)110
对于y=55x-600,令y=5 450,得5 450=55x-600,解得x=110,故乙机器人当天的工作时间为110分钟.
由题中图象可知,从40分钟到60分钟的这段工作时间内,只有乙机器人工作,所以甲机器人停工保养的时间为60-40=20(分),甲、乙两台机器人每分钟分拣快递的总件数为2 200÷40=55(件),所以m=2 700+55×(80-60)=3 800.
(2)设AB所在直线对应的函数表达式为y=kx+b,把A(60,2 700)和B(80,3 800)的坐标代入,得$\begin{cases}60k+b=2\ 700,\\80k+b=3\ 800,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=55,\\b=-600,\end{cases}$所以AB所在直线对应的函数表达式为y=55x-600.
(3)110
对于y=55x-600,令y=5 450,得5 450=55x-600,解得x=110,故乙机器人当天的工作时间为110分钟.
解析
【分析】
(1) 先分析函数图像各段的实际意义：0~40分钟甲、乙同时工作，40分钟时总分拣量为2200件，可先算出甲乙合作的工作效率；40~60分钟总分拣量增速降低，说明此阶段只有乙工作，因此甲停工保养的时间为两段时间的差；60分钟后甲乙恢复同时工作，80分钟时的总件数m等于60分钟的总件数加上甲乙合作20分钟的工作量，即可求出m。
(2) AB段为一次函数图像，求函数表达式使用待定系数法，设解析式为y=kx+b，将A、B两点坐标代入得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可。
(3) 总分拣量5450件大于2700件，说明处于AB段对应工作时段，将y=5450代入AB段的函数表达式，求解x的值即为乙的工作时间。
【解析】
(1) 由图像可知，40分钟到60分钟仅乙工作，因此甲停工保养的时间为：$60-40=20$（分钟）；
甲乙合作的工作效率为：$2200÷40=55$（件/分），
80分钟时总件数$m=2700 + 55×(80-60)=2700+1100=3800$。
(2) 设AB所在直线的函数表达式为$y=kx+b$，
将$A(60,2700)$、$B(80,3800)$代入得：
$\begin{cases}60k+b=2700\\80k+b=3800\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$20k=1100$，解得$k=55$，
将$k=55$代入$60k+b=2700$，得：$60×55 + b=2700$，解得$b=-600$，
因此AB段函数表达式为$y=55x-600$。
(3) 当总分拣量$y=5450$时，代入$y=55x-600$得：
$5450=55x-600$
$55x=6050$
解得$x=110$，即乙的工作时间为110分钟。
【答案】
(1)$20$，$3800$；(2)$y=55x-600$；(3)$110$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，分段函数
【点评】
本题结合智能机器人分拣快递的实际情境，考查一次函数的实际应用，解题的核心是读懂分段函数图像每一段对应的实际意义，结合工作效率相关知识求解，侧重考查学生的读图分析能力和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先分析函数图像各段的实际意义：0~40分钟甲、乙同时工作，40分钟时总分拣量为2200件，可先算出甲乙合作的工作效率；40~60分钟总分拣量增速降低，说明此阶段只有乙工作，因此甲停工保养的时间为两段时间的差；60分钟后甲乙恢复同时工作，80分钟时的总件数m等于60分钟的总件数加上甲乙合作20分钟的工作量，即可求出m。
(2) AB段为一次函数图像，求函数表达式使用待定系数法，设解析式为y=kx+b，将A、B两点坐标代入得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可。
(3) 总分拣量5450件大于2700件，说明处于AB段对应工作时段，将y=5450代入AB段的函数表达式，求解x的值即为乙的工作时间。
【解析】
(1) 由图像可知，40分钟到60分钟仅乙工作，因此甲停工保养的时间为：$60-40=20$（分钟）；
甲乙合作的工作效率为：$2200÷40=55$（件/分），
80分钟时总件数$m=2700 + 55×(80-60)=2700+1100=3800$。
(2) 设AB所在直线的函数表达式为$y=kx+b$，
将$A(60,2700)$、$B(80,3800)$代入得：
$\begin{cases}60k+b=2700\\80k+b=3800\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$20k=1100$，解得$k=55$，
将$k=55$代入$60k+b=2700$，得：$60×55 + b=2700$，解得$b=-600$，
因此AB段函数表达式为$y=55x-600$。
(3) 当总分拣量$y=5450$时，代入$y=55x-600$得：
$5450=55x-600$
$55x=6050$
解得$x=110$，即乙的工作时间为110分钟。
【答案】
(1)$20$，$3800$；(2)$y=55x-600$；(3)$110$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，分段函数
【点评】
本题结合智能机器人分拣快递的实际情境，考查一次函数的实际应用，解题的核心是读懂分段函数图像每一段对应的实际意义，结合工作效率相关知识求解，侧重考查学生的读图分析能力和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
