10. (2025·江苏镇江模拟)某地举办乒乓球比赛的费用$y$(元)包括两部分:一部分是租用比赛场地等固定不变的费用,用$b$(元)表示;另一部分与参加比赛的人数$x$成正比.当$x=20$时,$y=1\,600$;当$x=30$时,$y=2\,000$.若有50名运动员参加比赛,且全部费用由运动员平均分摊,则每名运动员需支付______元.

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11. * 已知 $ y = y_2 - y_1 $，其中 $ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x+2 $ 成正比例. 当 $ x=-1 $ 时，$ y=2 $；当 $ x=2 $ 时，$ y=10 $.
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
（2）当 $ x $ 取何值时，$ y $ 的值为 30？

解：​$(1)$​由题意，设​$y_{1} = k_{1}x，$​​$y_{2} = k_{2}(x + 2)$​又​$y = y_{2} - y_{1}，$​∴​$y = k_{2}(x + 2)-k_{1}x$​又当​$x = -1$​时，​$y = 2；$​当​$x = 2$​时，​$y = 10$​∴​$\begin {cases}k_{2} + k_{1} = 2 \\4k_{2} - 2k_{1} = 10 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k_{1} = -\frac 13}\\{k_{2}=\frac 73}\end {cases}$​∴​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y = \frac 73(x + 2)+\frac 13x=\frac 83x+\frac {14}3$​​$(2)$​由​$(1)$​得​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y = \frac 83x+\frac {14}3$​当​$y = 30$​时，​$\frac 83x+\frac {14}3=30，$​解得​$x=\frac {19}2$​则当​$x$​的值为​$\frac {19}2$​时，​$y$​的值为​$30$​

12. 如图是一个“函数求值机”的示意图，其中 y 是关于 x 的函数.表格中是通过该“函数求值机”得到的几组 x 与 y 的对应值.


根据以上信息,解答下列问题:
（1）当输入的 x 值为 1 时,输出的 y 值为________；
（2）求 k，b 的值；
（3）当输出的 y 值为 0 时,求输入的 x 值.

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; 解：​$(2)$​由表得当​$x = -4$​时，​$y = -2；$​当​$x = 0$​时，​$y = 6$​∴​$\begin {cases}-4k + b = -2 \\b = 6 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k = 2}\\{b=6}\end {cases}$​∴​$k$​的值为​$2，$​​$b$​的值为​$6$​​$(3)$​由​$(2)，$​得​$k = 2，$​​$b = 6$​∴​$y=\begin {cases}2x + 6(x＜1) \\8x(x\geq 1) \end {cases}$​当​$x<1$​时，令​$y = 0，$​得​$2x + 6 = 0，$​解得​$x = -3$​当​$x\geq 1$​时，令​$y = 0，$​得​$8x = 0，$​解得​$x = 0，$​舍去综上，输入的​$x$​的值为​$-3$​

13. 新素养 抽象能力 某工厂投入生产一种机器.当该机器生产数量不少于10台,但不超过70台时,每台机器的成本y(万元)与生产数量x(台)之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:

(1) 求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2) 市场调查发现,这种机器每月的销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足$z=-a+90$的函数关系.根据投入的总成本计算可得,每台这种机器的成本为40万元,该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,求该厂第一个月销售这种机器的利润.

解：​$(1)$​设​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y = kx + b$​由题意，得​$\begin {cases}10k + b = 60 \\20k + b = 55 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k = -\frac 12}\\{b = 65}\end {cases}$​∴​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y = -\frac 12x + 65(10\leq x\leq 70)$​​$(2)$​当乙​$ = 25$​时，​$25=-a + 90，$​解得​$a = 65$​又​$y = 40$​∴总利润为​$(65 - 40)×25 = 625($​万元​$)$​即该厂第一个月销售这种机器的利润为​$625$​万元