1. 我们认识了图形的三种基本变换：平移、轴对称和旋转，利用图形的这三种基本变换，可以设计出各种各样的漂亮图案. 现有如图①所示的瓷砖若干块.
(1)请用 4 块如图①所示的瓷砖，在图②所示方格纸上设计出一个美丽的图案；
(2)利用你在(1)中设计的图案，通过平移、轴对称或旋转，在图③所示方格纸上设计出更大、更美丽的图案.

解：(1)如答图①所示. (答案不唯一)
　　　　　　
(2)如答图②所示. (答案不唯一)

2. 利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为 1 的正方形组成的网格中，有如图所示的四边形(顶点都在格点上).
(1)作出该四边形关于直线 $ l $ 成轴对称的图形；
(2)作出你所作图形(连同原四边形)绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 后的图形；
(3)完成上述设计后，求整个图案的面积.

解：(1)如答图所示.
(2)如答图所示.
(3)整个图案的面积为 $ 4 × \frac{1}{2} × 2 × 5 = 20 $.
　　　　　　

3. 探索新知：
如图①，射线 $ OC $ 在 $ ∠ AOB $ 的内部，图中共有 3 个角：$ ∠ AOB $，$ ∠ AOC $ 和 $ ∠ BOC $，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $ OC $ 是 $ ∠ AOB $ 的“巧分线”.
(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”)
(2)如图②，若 $ ∠ MPN = α $，且射线 $ PQ $ 是 $ ∠ MPN $ 的“巧分线”，则 $ ∠ MPQ = $；(用含 $ α $的代数式表示出所有可能的结果)
深入研究：
如图②，若 $ ∠ MPN = 60^{\circ} $，且射线 $ PQ $ 绕点 $ P $ 从 $ PN $ 位置开始，以每秒 $ 10^{\circ} $ 的速度逆时针旋转，当 $ PQ $ 与 $ PN $ 成 $ 180^{\circ} $ 时停止旋转，旋转的时间为 $ t $ 秒.
(3)当 $ t $ 为何值时，射线 $ PM $ 是 $ ∠ QPN $ 的“巧分线”；
(4)若射线 $ PM $ 同时绕点 $ P $ 以每秒 $ 5^{\circ} $ 的速度逆时针旋转，并与 $ PQ $ 同时停止，请直接写出当射线 $ PQ $ 是 $ ∠ MPN $ 的“巧分线”时 $ t $ 的值.

(1)是
(2) $ \frac{1}{2} α $ 或 $ \frac{1}{3} α $ 或 $ \frac{2}{3} α $
(3)解：根据题意，得
① $ 10 t = 60 + \frac{1}{2} × 60 $，解得 $ t = 9 $；
② $ 10 t = 2 × 60 $，解得 $ t = 12 $；
③ $ 10 t = 60 + 2 × 60 $，解得 $ t = 18 $.
故当 $ t $ 的值为 9 或 12 或 18 时，射线 $ PM $ 是 $ ∠ QPN $ 的“巧分线”.
(4)解：根据题意，得
① $ 10 t = \frac{1}{3} (5 t + 60) $，解得 $ t = 2.4 $；
② $ 10 t = \frac{1}{2} (5 t + 60) $，解得 $ t = 4 $；
③ $ 10 t = \frac{2}{3} (5 t + 60) $，解得 $ t = 6 $.
故当 $ t $ 的值为 2.4 或 4 或 6 时，射线 $ PQ $ 是 $ ∠ MPN $ 的“巧分线”.