【变式】某车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量$x$(辆)与创造的价值$y$(元)之间满足二次函数关系.已知当产量为0时,创造的价值也为0;当产量为55辆时,创造的价值达到最大6050元.若这家车辆制造厂希望利用这条流水线达到创造的价值为6000元及以上的目标,则它应该生产的摩托车数量至少是____辆.

50 由题意，得摩托车数量 $x$ 与创造的价值 $y$ 之间满足二次函数 $y=a(x-55)^{2}+6050(a＜0)$。∵当 $x=0$ 时，$y=0$，$\therefore a=-2$，$\therefore y=-2x^{2}+220x$。
由题意，得 $-2x^{2}+220x≥6000$，解得 $50≤x≤60$，
∴它应该生产的摩托车数量至少是 50 辆。

1.不等式$\frac { 3 - x } { 2 x + 1 } \geq 1$的解集为 ()
A.$\left\{ x | - \frac { 1 } { 2 } ＜ x \leq 3 \right\}$
B.$\left\{ x | - \frac { 1 } { 2 } ＜ x \leq \frac { 2 } { 3 } \right\}$
C.$\left\{ x | - \frac { 1 } { 2 } ＜ x ＜ 3 \right\}$
D.$\left\{ x | x \leq \frac { 2 } { 3 } \right\}$

B $\frac {3-x}{2x+1}≥1\Leftrightarrow \frac {3-x}{2x+1}-1≥0\Leftrightarrow \frac {2-3x}{2x+1}≥0\Leftrightarrow \frac {3x-2}{2x+1}≤0\Leftrightarrow$
$(3x-2)(2x+1)≤0$，且 $2x+1≠0$，解得 $-\frac {1}{2}＜x≤\frac {2}{3}$，所以原不等式的解集为 $\{ x|-\frac {1}{2}＜x≤\frac {2}{3}\} $。

2.(多选)某商场若将进价为每件8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件.现准备采用提高单价的方式来增加利润.已知这种商品的单价每提高1元,销售量就减少10件.若要保证每天销售该种商品获得的利润在320元以上,则单价可定为 ()
A.12元
B.13元
C.15元
D.16元

BC 设单价定为 $x$ 元，利润为 $y$ 元，则 $y=(x-8)[100-$
$10(x-10)]$。
由题意，得 $(x-8)[100-10(x-10)]＞320$，即 $x^{2}-28x+$
$192＜0$，解得 $12＜x＜16$，所以单价在 12~16 元之间。

3.求下列不等式的解集:
(1)$x ^ { 2 } - 6 a x + 5 a ^ { 2 } ＜ 0$;
(2)$\frac { x + 1 } { 2 x - 3 } \leq 1$.

解：(1)由 $x^{2}-6ax+5a^{2}＜0$，得 $(x-a)(x-5a)＜0$。当 $a＞$
0 时，$5a＞a$，解得 $a＜x＜5a$；当 $a=0$ 时，$5a=a=0$，此时 $x$
不存在；当 $a＜0$ 时，$5a＜a$，解得 $5a＜x＜a$。
综上，当 $a＞0$ 时，原不等式的解集为 $\{ x|a＜x＜5a\} $；
当 $a=0$ 时，原不等式的解集为 $\varnothing$；
当 $a＜0$ 时，原不等式的解集为 $\{ x|5a＜x＜a\} $。
(2) $\frac {x+1}{2x-3}≤1\Leftrightarrow \frac {x+1}{2x-3}-1≤0\Leftrightarrow \frac {4-x}{2x-3}≤0\Leftrightarrow \frac {x-4}{2x-3}≥0\Leftrightarrow$
$(x-4)(2x-3)≥0$，且 $2x-3≠0$，解得 $x≥4$ 或 $x＜\frac {3}{2}$，
故原不等式的解集为 $\{ x|x≥4$ 或 $x＜\frac {3}{2}\} $。

4.(教材改编题)已知集合$A = \left\{ x | \frac { x - 3 } { x + 2 } ＜ 0 \right\}$,$B = \{ x | | x - 1 | ＞ 2 \}$,$C = \{ x | x ^ { 2 } - 4 a x + 3 a ^ { 2 } ＜ 0 \}$.
(1)求$A \cup B$;
(2)若$a ＜ 0$,且$( A \cap B ) \subseteq C$,求实数$a$的取值范围.

解：(1)∵集合 $A=\{ x|\frac {x-3}{x+2}＜0\} =\{ x|-2＜x＜3\} $，$B=$
$\{ x||x-1|＞2\} =\{ x|x＞3$ 或 $x＜-1\} $，$\therefore A\cup B=\{ x|x≠$
$3\} $。
(2)由(1)可得，$A\cap B=\{ x|-2＜x＜-1\} $。
$\because a＜0$，$\therefore C=\{ x|x^{2}-4ax+3a^{2}＜0\} =\{ x|(x-a)(x-$
$3a)＜0\} =\{ x|3a＜x＜a\} $。
由 $(A\cap B)\subseteq C$，可得 $\left\{\begin{array}{l} 3a≤-2,\\ a≥-1,\end{array}\right. $ 解得 $-1≤a≤-\frac {2}{3}$，故实数 $a$ 的取值范围为 $\{ a|-1≤a≤-\frac {2}{3}\} $。

5.已知$p : \frac { 1 } { x } \leq 1$,$q : x ^ { 2 } - 2 x \geq 0$,则$p是q$的 ()
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

D $p:\frac {1}{x}≤1\Leftrightarrow \frac {1-x}{x}≤0\Leftrightarrow x(1-x)≤0$，且 $x≠0$，解得 $x≥$
1 或 $x＜0$。$q:x^{2}-2x≥0$，解得 $x≥2$ 或 $x≤0$。因为 $p\nsubseteq q$，且 $q\nsubseteq p$，所以 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件。

6.若不等式$( m x - 1 ) ( x + 2 ) ＜ 0的解集为\left\{ x | x ＞ \frac { 1 } { m } \text { 或 } x ＜ - 2 \right\}$,则实数$m$的取值范围是____.
(提示:根据不等式$( m x - 1 ) ( x + 2 ) ＜ 0的解集为\left\{ x | x ＞ \frac { 1 } { m } \text { 或 } x ＜ - 2 \right\}$,并结合对应二次函数的草图列出关于$m$的不等式,注意验证等号是否成立)

$\{ m|m≤-\frac {1}{2}\} $ 因为不等式 $(mx-1)(x+2)＜0$ 的解集为 $\{ x|x＞\frac {1}{m}$ 或 $x＜-2\} $，所以 $\left\{\begin{array}{l} m＜0,\\ \frac {1}{m}≥-2,\end{array}\right. $（当 $\frac {1}{m}=-2$时，原不等式的解集为 $\{ x|x≠-2\} $，符合题意）即 $\left\{\begin{array}{l} m＜0,\\ \frac {1}{m}+2=\frac {1+2m}{m}≥0,\end{array}\right. $ 所以 $\left\{\begin{array}{l} m＜0,\\ m(1+2m)≥0,\end{array}\right. $ 解得 $m≤$
$-\frac {1}{2}$，所以实数 $m$ 的取值范围是 $\{ m|m≤-\frac {1}{2}\} $。