【典例1】对于任意的$x∈R$,若不等式$ax^{2}＜1-2ax$恒成立,求实数$a$的取值范围。

解题指导 第1步：移项化简,把不等号右边化为零。
第2步：针对二次项系数进行分类讨论。
第3步：根据恒成立并结合二次函数图象的性质,列出不等式(组)求解。
答案 解：由题意可得,$ax^{2}+2ax-1＜0$恒成立。
当$a= 0$时,$-1＜0$恒成立,符合题意；
当$a≠0$时,则$\left\{\begin{array}{l} a＜0,\\ \Delta =4a^{2}+4a＜0,\end{array}\right. $
解得$-1＜a＜0$。
综上,实数$a的取值范围是\{ a|-1＜a≤0\} $。

【变式1】若$\forall x∈R$,$ax^{2}-3x+a≥0$恒成立,求实数$a$的取值范围。

解:当$a=0$时,得$-3x≥0$,不等式不恒成立,不符合题意;当$a≠0$时,要使不等式恒成立,只需$\left\{\begin{array}{l} a＞0,\\ \Delta =9-4a^{2}≤0,\end{array}\right. $解得$a≥\frac {3}{2}$.
综上所述,实数$a$的取值范围是$\{ a|a≥\frac {3}{2}\} $.

【典例2】(一题多解)对于任意的$1≤x≤3$,若不等式$mx^{2}-mx+m-6＜0$恒成立,求实数$m$的取值范围。

解题指导 方法1：本题等价于函数$y= mx^{2}-mx+m-6在1≤x≤3$上的最大值小于0。故对$m$进行分类讨论,求得每种情况下函数的最大值,进而列出不等式求解。
方法2：分离参数$m$,将本题转化为$m＜\frac {6}{x^{2}-x+1}$恒成立,即$m＜\frac {6}{x^{2}-x+1}在1≤x≤3$上恒成立。
答案 (一题多解)解：方法1：令$y= mx^{2}-mx+m-6$,$1≤x≤3$。
当$m= 0$时,$y= -6＜0$恒成立,符合题意；
当$m＜0$时,二次函数$y= mx^{2}-mx+m-6$的图象开口向下,对称轴为$x= \frac {1}{2}$,所以当$x= 1$时,$y$取得最大值,即$y_{max}= m-m+m-6= m-6$。令$y_{max}= m-6＜0$,解得$m＜6$,所以$m＜0$；
当$m＞0$时,二次函数$y= mx^{2}-mx+m-6$的图象开口向上,对称轴为$x= \frac {1}{2}$,所以当$x= 3$时,$y$取得最大值,即$y_{max}= 9m-3m+m-6= 7m-6$。令$y_{max}= 7m-6＜0$,解得$m＜\frac {6}{7}$,所以$0＜m＜\frac {6}{7}$。
综上所述,实数$m的取值范围为\{ m|m＜\frac {6}{7}\} $。
方法2：$mx^{2}-mx+m-6＜0$,即$m(x^{2}-x+1)＜6$。因为$x^{2}-x+1= (x-\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}＞0$恒成立,所以本题转化为$m＜\frac {6}{x^{2}-x+1}在1≤x≤3$上恒成立,所以当$x= 3$时,$x^{2}-x+1$的值最大,所以$m＜\frac {6}{3^{2}-3+1}= \frac {6}{7}$,
所以实数$m的取值范围为\{ m|m＜\frac {6}{7}\} $。