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7. (绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米,顶端距离地面 2.4 米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,则小巷的宽度为()
A. 0.7 米
B. 1.5 米
C. 2.2 米
D. 2.4 米
A. 0.7 米
B. 1.5 米
C. 2.2 米
D. 2.4 米
答案
C 解析:在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB²=0.7²+2.4²=6.25=A'B².在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD²+A'D²=A'B²,∴BD²+2²=6.25,∴BD²=2.25.∵BD＞0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C.
8. 如图是一种饮料的包装盒,长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、12 cm,现有一长为 16 cm 的吸管插入到盒的底部,则吸管露在盒外的部分 h 的取值范围是()
A. 3 cm ＜ h ＜ 4 cm
B. 3 cm ≤ h ≤ 4 cm
C. 2 cm ≤ h ≤ 4 cm
D. h = 4 cm
A. 3 cm ＜ h ＜ 4 cm
B. 3 cm ≤ h ≤ 4 cm
C. 2 cm ≤ h ≤ 4 cm
D. h = 4 cm
答案
B 解析:①当吸管放进盒里垂直于底面时，露在盒外的长度最长，最长为16−12=4(cm);②露出部分最短时吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形,底面对角线为5cm,高为12cm,由勾股定理易得盒里面吸管长为13cm,则露在盒外的长度为16−13=3(cm),则可得吸管露在盒外的部分h的取值范围是3cm≤h≤4cm.故选B.
9. 新情境 (2025·昭通期末)足球是世界上最受欢迎的运动项目之一,如图,球员 A 向边线 CD 传球,传球落点在边线 CD 上任何位置都能被边线球员接住球,而边线球员不运球直接传给球员 B,图中四边形 ABCD 为直角梯形,AD= 5,AB= BC= 10,∠B= 60°,则两次传球中足球飞过的最短路径为()
A. 15
B. 10√3
C. 20
D. 20√3
A. 15
B. 10√3
C. 20
D. 20√3
答案
B 解析:如图,作点A关于CD的对称点E,连接BE交CD于点O,连接AO,过点A作AF⊥BE于点F,∴DE=AD=5,AO=EO,∴AE=AD+DE=10=AB,AO+BO=EO+BO=BE,∴∠E=∠ABE,两次传球中足球飞过的最短路径长等于BE，依题意得AD//BC,∴∠E=∠CBE,∴∠E=∠CBE=∠ABE.∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=60°,∴∠ABE=30°.又AF⊥BE,∴AF=$\frac{1}{2}$AB=5,∴BF=$\sqrt{AB²−AF²}$=5√3.又AE=AB,∴BE=2BF=10√3,即两次传球中足球飞过的最短路径为10√3.故选B.
10. (2025·盐城期中)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载：今有开门去阃(读 kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何? 题目大意是：如图①、②(图②为图①的平面示意图),推开双门,双门间隙 CD 的距离为 2 寸,点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为 1 尺(1 尺 = 10 寸),则 AB 的长是______寸.
答案
101 解析:如图,设DE⊥AB于点E.由题意,得OA=OB=AD=BC.设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,DE=10寸,OE=$\frac{1}{2}$CD=1寸,AE=(r−1)寸,在Rt△ADE中,AE²+DE²=AD²,即(r−1)²+10²=r²,解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸.
11. 如图,铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交会,公路 PQ 上点 A 距离点 O 是 270 m,与 MN 这条铁路的距离是 200 m.如果火车行驶时,周围 250 m 以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 20 m/s 的速度行驶时,点 A 处受噪音影响的时间是______.
答案
15s解析:如图,过点A作AC⊥ON,设火车行驶到点B处时,A点处开始受噪音影响，火车行驶到点D处时，A点处开始不受噪音影响,则AB=AD=250m.∵公路PQ上点A距离点O是270m,与MN这条铁路的距离是200m,∴AC=200m.∵AB=AD=250m,∴由勾股定理得BC²=AB²−AC²=150²,∴BC=150m.又CD²=AD²−AC²=150²,∴CD=150m,∴BD=BC+CD=300(m),∴A处受噪音影响的时间为300÷20=15(s).
12. 教材变式 如图所示,直角三角形 ABC 的两条直角边长为 a,b,斜边上的高 CD 的长为 h,斜边长为 c.求证：$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}= \frac{1}{h^{2}}$.
答案
∵ab=ch,∴h=$\frac{ab}{c}$，∴$\frac{1}{a²}$+$\frac{1}{b²}$=$\frac{a²+b²}{a²b²}$=$\frac{c²}{a²b²}$=($\frac{c}{ab}$)²=($\frac{1}{h}$)²=$\frac{1}{h²}$.
