1.下列根式中,不属于最简二次根式的是().
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{6}$
C. $\sqrt{8}$
D. $\sqrt{21}$

C

2.若$x = \sqrt{2}+1$,则$x^2 - 2x + 1$的值是 .

【解析】：本题可先对$x^2 - 2x + 1$进行因式分解，再将$x = \sqrt{2}+1$代入求值。
- **步骤一：对$x^2 - 2x + 1$进行因式分解**
根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，在$x^2 - 2x + 1$中，$a = x$，$b = 1$，所以$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$。
- **步骤二：将$x = \sqrt{2}+1$代入$(x - 1)^2$求值**
把$x = \sqrt{2}+1$代入$(x - 1)^2$可得$(\sqrt{2}+1 - 1)^2$，先计算括号内的值$\sqrt{2}+1 - 1=\sqrt{2}$，则$(\sqrt{2}+1 - 1)^2=(\sqrt{2})^2 = 2$。
【答案】：$2$

3.若式子$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$有意义,则$x$的取值范围是 .

【解析】：要使式子$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$有意义，则被开方数须大于等于$0$，同时分母不能为$0$。
对于二次根式$\sqrt{x + 2}$，被开方数$x + 2\geqslant0$，解得$x\geqslant - 2$。
对于分式$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$，分母$x - 1\neq0$，解得$x\neq1$。
综合以上两个条件，$x$的取值范围是$x\geqslant - 2$且$x\neq1$。
【答案】：$x\geqslant - 2$且$x\neq1$

4.若二次根式$\sqrt{3a + 5}$是最简二次根式,则最小的正整数$a= $ .

【解析】：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。要使二次根式$\sqrt{3a + 5}$是最简二次根式，且$a$为正整数。
当$a = 1$时，$3a + 5 = 3\times1 + 5 = 8$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
当$a = 2$时，$3a + 5 = 3\times2 + 5 = 11$，$\sqrt{11}$是最简二次根式。所以最小的正整数$a = 2$。
【答案】：$2$

5.已知$\sqrt{5}的整数部分是x$,小数部分是$y$,则$x - y= $ .

【解析】：
因为$4\lt5\lt9$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$。
所以$\sqrt{5}$的整数部分$x = 2$，小数部分$y=\sqrt{5}-2$。
则$x - y = 2-(\sqrt{5}-2)=2 - \sqrt{5}+2 = 4 - \sqrt{5}$。
【答案】：$4 - \sqrt{5}$

6.计算.
(1)$(-2)^2 - \sqrt{25} + \sqrt{3^2}$ (2)$\sqrt{27} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{2} + \sqrt{(-4)^2}$
(3)$(2\sqrt{3} - 2)(2 + 2\sqrt{3}) - (3\sqrt{3} - 1)^2$ (4)$\sqrt{1\frac{3}{5}} × 2\sqrt{3} × (-\frac{1}{2}\sqrt{10})$

【解析】：
(1)
先分别计算各项：
根据乘方运算，$(-2)^2 = (-2)\times(-2)=4$；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{25} = 5$，$\sqrt{3^2}=3$。
再进行加减运算：$(-2)^2 - \sqrt{25} + \sqrt{3^2}=4 - 5+3 = 2$。
(2)
分别化简各项：
化简$\sqrt{27}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$；
根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，$\sqrt{24}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$。
然后进行计算：$\sqrt{27}-\sqrt{24}\div\sqrt{2}+\sqrt{(-4)^2}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4=\sqrt{3}+4$。
(3)
利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$计算$(2\sqrt{3}-2)(2 + 2\sqrt{3})$：
这里$a = 2\sqrt{3}$，$b = 2$，则$(2\sqrt{3}-2)(2 + 2\sqrt{3})=(2\sqrt{3})^2-2^2=12 - 4 = 8$。
利用完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$计算$(3\sqrt{3}-1)^2$：
这里$a = 3\sqrt{3}$，$b = 1$，则$(3\sqrt{3}-1)^2=(3\sqrt{3})^2-2\times3\sqrt{3}\times1 + 1^2=27-6\sqrt{3}+1=28 - 6\sqrt{3}$。
最后进行减法运算：$(2\sqrt{3}-2)(2 + 2\sqrt{3})-(3\sqrt{3}-1)^2=8-(28 - 6\sqrt{3})=8 - 28+6\sqrt{3}=6\sqrt{3}-20$。
(4)
先将带分数化为假分数，$1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$。
然后根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$进行计算：
$\sqrt{1\frac{3}{5}}\times2\sqrt{3}\times(-\frac{1}{2}\sqrt{10})=\sqrt{\frac{8}{5}}\times2\sqrt{3}\times(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$
$=\left[1\times2\times(-\frac{1}{2})\right]\times\sqrt{\frac{8}{5}\times3\times10}$
$=-1\times\sqrt{48}$
$=-4\sqrt{3}$。
【答案】：
(1) $2$；
(2) $4+\sqrt{3}$；
(3) $6\sqrt{3}-20$；
(4) $-4\sqrt{3}$。

7.已知$a = 1 + \sqrt{2}$,$b = \sqrt{3}$,求$a^2 + b^2 - 2a + 1$的值.

【解析】：
本题可先对$a^2 + b^2 - 2a + 1$进行变形，然后将$a = 1 + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3}$代入求值。
- **步骤一：对$a^2 + b^2 - 2a + 1$进行变形**
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对$a^2 + b^2 - 2a + 1$进行变形可得：
$a^2 + b^2 - 2a + 1=(a^2 - 2a + 1)+b^2=(a - 1)^2 + b^2$
- **步骤二：将$a = 1 + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3}$代入变形后的式子求值**
把$a = 1 + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3}$代入$(a - 1)^2 + b^2$可得：
$(1 + \sqrt{2} - 1)^2 + (\sqrt{3})^2$
$=(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2$
根据根式的运算法则$(\sqrt{m})^2=m$（$m\geq0$），对上式进一步计算：
$=2 + 3$
$= 5$
【答案】：$5$