4.如图,高速公路的同一侧有A,B两个城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC= 2km,BD= 4km,且CD= 8km.现要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两个城镇到P的距离之和最小,则这个最短距离为______.

10km [解析]如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B，交直线MN于点P，连接AP.

预备新初二数学(SK版)
易得此时AP + PB的值最小，过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E.
∵AC = 2km，BD = 4km，CD = 8km，
∴AE = 4 - 2 = 2(km)，AA' = 4km，
∴A'E = 6km，BE = CD = 8km.
在Rt△A'EB中，
$A'B=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(km)$，则AP + PB的最小值为10km，即最短距离为10km.

5. 2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州,给当地造成了巨大损失.如图,一棵垂直于地面并且高为9m的银杏树被台风折断,树顶A落在离树底部C的6m处,求这棵银杏树在离地面多高处折断.

解:设这棵银杏树在离地面m处折断，则BC = m，AB = (9 - )m.
∵∠ACB = 90°，
∴$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$6^{2}+$$^{2}=(9 - $$)^{2}$，
∴ = 2.5.
答:这棵银杏树在离地面m处折断.

解:设这棵银杏树在离地面xm处折断，则BC = xm，AB = (9 - x)m.
∵∠ACB = 90°，
∴$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$6^{2}+x^{2}=(9 - x)^{2}$，
∴x = 2.5.
答:这棵银杏树在离地面2.5m处折断.

提升关
6.(江苏无锡锡山区期末)如图,圆柱形玻璃杯的高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm、与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.

15 [解析]如图，沿过点A的圆柱的高剪开，得出长方形EFGH，
过点C作CQ⊥EF于点Q，作点A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于点P，连接AP，则AP + PC的值就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.

∵AE = A'E，
∴A'P = AP，
∴AP + PC = A'P + PC = A'C.
由题意，得$CQ=\frac{1}{2}×18 = 9(cm)$，A'Q = 12 - 4 + 4 = 12(cm).
在Rt△A'QC中，由勾股定理，得$A'C=\sqrt{12^{2}+9^{2}} = 15(cm)$.
[解题技巧]圆柱问题分为两类，一类是两个物体都在圆柱外壁；另一类是一个物体在内壁，一个物体在外壁(如此题)，此时需要先按照“将军饮马”模型的解题方法去作轴对称，再去找最短路线.

7.练思维·综合能力 “儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.如图,某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25m；③牵线放风筝的小明的身高为1.6m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)若小明想让风筝沿CD方向下降12m,则他应该往回收线多少米？

解:(1)由题意，得AB = DE = 1.6m.
在Rt△CDB中，由勾股定理，得$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=25^{2}-15^{2}=400$，
∴CD = 20m(负值舍去)，
∴CE = CD + DE = 20 + 1.6 = 21.6(m).
答:风筝的垂直高度CE为21.6m.
(2)如图.

由题意，得CM = 12m，∴DM = 20 - 12 = 8(m)，
∴$BM=\sqrt{DM^{2}+BD^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}} = 17(m)$，
∴BC - BM = 25 - 17 = 8(m)，
∴他应该往回收线8m.

8.(江苏南京)某个无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,则木筷露在杯子外面的部分至少有cm.

5 [解析]由题意，得杯子内的筷子的长度最长为$\sqrt{12^{2}+9^{2}} = 15(cm)$，
则木筷露在杯子外面的部分至少有20 - 15 = 5(cm).