【例3】如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,D,E分别是边AB,AC上的点,将△ABC沿DE折叠,使点A的对称点A'恰好落在BC的中点处.若AB= 10,BC= 6,则AE的长为______.

【解析】：∵在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 6$，∴$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = 8$。∵$A'$为$BC$的中点，∴$A'C = 3$。设$AE = A'E = x$，则$CE = 8 - x$。在$Rt\triangle A'CE$中，$CE^{2}+A'C^{2}=A'E^{2}$，∴$(8 - x)^{2}+3^{2}=x^{2}$，展开得$64 - 16x + x^{2}+9 = x^{2}$，移项化简得$16x = 73$，解得$x=\frac{73}{16}$。
【答案】：$\frac{73}{16}$

【练3】如图,F是矩形ABCD的边CD上的一点,将矩形沿AF折叠,点D恰好落在边BC上的点E处.若AB= 6,BC= 10,则EF的长为()
A.2
B.3
C.$\frac{10}{3}$
D.4

C [解析]∵四边形ABCD为矩形，
∴AD = BC = 10，DC = AB = 6，∠B = ∠C = 90°.
由折叠的性质，得AE = AD = 10，EF = DF.
∵$BE^{2}=AE^{2}-AB^{2}$，
∴$BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=8$，
∴CE = 2.
设EF = x，则CF = 6 - x.
在Rt△EFC中，$EF^{2}=CE^{2}+CF^{2}$，
∴$x^{2}=2^{2}+(6 - x)^{2}$，
解得$x=\frac{10}{3}$，
即EF的长为$\frac{10}{3}$.

基础关
1.如图,将一根长为24cm的筷子置于底面直径为15cm、高为8cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是( )


A.h≤17
B.7≤h≤16
C.15≤h≤16
D.h≥8

B [解析]根据题意，当筷子直立在水杯中时，h = 24 - 8 = 16(cm)；
当筷子斜放在水杯中时，如图所示，AB = 15cm，BC = 8cm，且∠B = 90°，
∴$AC=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17(cm)$，
∴h = 24 - 17 = 7，
∴h的取值范围为7 ≤ h ≤ 16.

[解题技巧]根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，h = 24 - 8 = 16；当筷子斜放在水杯中时，如图所示，运用勾股定理可得h = 7，由此即可求解.

2.如图,一圆柱高8cm,底面半径是2cm,一只蚂蚁绕着圆柱外壁从点A爬到点B处,圆周率π取近似值3,则蚂蚁爬行路线的最短路程为______.

10cm [解析]圆柱的侧面展开图的一半如图所示，

易得AC = πr = 3×2 = 6(cm).
由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10(cm)$.
[易错警示]一定要注意画出的平面展开图中有一边的长度为圆周长的一半，而不是圆的周长.

3.淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”,要在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯,台阶的剖面如图,则地毯的长度至少为______m.

17 [解析]如图，利用平移线段，把台阶的横、竖面向上、向左平移，构成一个长方形，
则长方形的长为$\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12(m)$，
∴地毯的长度至少为12 + 5 = 17(m).