1. [2026揭阳期末]【模型启迪】
（1）如图1，在$△ ABC$中，点D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使$DH=AD$，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为。
【模型探索】
（2）如图1，若$AB=9$，$AC=5$，则线段AD长的取值范围为。
【模型迁移】
（3）如图2，在$△ ABC$中，点D为BC边的中点，连接AD，点E在AC上，连接BE交AD于点F，$BF=AC$，求证：$AE=EF$。

1 (1)解:$AC = BH \quad AC// BH$
∵ 点 D 为 BC 边的中点,$\therefore BD = CD$. 在 $△ ACD$ 和 $△ HBD$ 中,
$CD = BD, ∠ ADC = ∠ HDB, AD = HD, \therefore △ ACD ≌ △ HBD$(SAS),$\therefore AC = BH, ∠ ACD = ∠ HBD, \therefore AC// BH$.
(2)解:$2 ＜ AD ＜ 7$
∵ $DH = AD, \therefore AH = 2AD. \because △ ACD≌ △ HBD, \therefore AC = BH = 5$.
∵ $AB = 9,AB - BH ＜ AH ＜ AB + BH, \therefore 9 - 5 ＜ 2AD ＜ 9 + 5$,解得$2 ＜ AD ＜ 7$.
(3)证明:如图,延长 AD 至点 G,使 $DG = AD$,连接 BG.
由(1)同理可得,$△ ACD≌ △ GBD$,
$\therefore AC = BG, ∠ CAD = ∠ BGD$.
∵ $BF = AC, \therefore BG = BF$,
$\therefore ∠ BGD = ∠ BFG = ∠ AFE, \therefore ∠ AFE = ∠ EAF$,
$\therefore AE = EF$.

2. 一题多解 如图，$AB// CD$，$BE$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ BCD$，点$E$在$AD$上. 求证：$BC = AB + CD$.

2 证明:
通解1 (截长法) 如图1,在 BC 上截取 $BF = AB$,连接 EF.
∵ BE 平分$∠ ABC$,CE 平分$∠ BCD$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ FBE, ∠ FCE = ∠ DCE$.
在$△ ABE$和$△ FBE$中,$AB = FB, ∠ ABE = ∠ FBE, BE = BE$,
$\therefore △ ABE≌ △ FBE$(SAS),$\therefore ∠ A = ∠ BFE$.
∵ $AB// CD$,$\therefore ∠ A + ∠ D = 180°$,$\therefore ∠ BFE + ∠ D = 180°$.
∵ $∠ BFE + ∠ CFE = 180°$,$\therefore ∠ CFE = ∠ D$.
在$△ FCE$和$△ DCE$中,$∠ CFE = ∠ D, ∠ FCE = ∠ DCE, CE = CE$,
$\therefore △ FCE≌ △ DCE$(AAS),
$\therefore CF = CD, \therefore BC = BF + CF = AB + CD$.

通解2 (补短法) 如图2,延长 CD 至点 F,使 $CF = BC$,连接 EF.
∵ CE 平分$∠ BCD$,$\therefore ∠ BCE = ∠ FCE$.
在$△ BCE$和$△ FCE$中,$BC = FC, ∠ BCE = ∠ FCE, CE = CE$,
$\therefore △ BCE≌ △ FCE$(SAS),$\therefore BE = FE, ∠ CBE = ∠ F$.
∵ BE 平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABE = ∠ CBE$,$\therefore ∠ ABE = ∠ F$.
∵ $AB// CD$,$\therefore ∠ A = ∠ EDF$.
在$△ ABE$和$△ DFE$中,$∠ A = ∠ EDF, ∠ ABE = ∠ F, BE = FE$,
$\therefore △ ABE≌ △ DFE$(AAS),$\therefore AB = DF$,
$\therefore BC = CF = DF + CD = AB + CD$.

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证明 $△ ABE≌ △ DFE$ 时,不能直接利用 $AB// CD$ 得到$∠ ABE = ∠ F$,原因是没有指明点 B,E,F 一定共线.