例1 $\cos 30°$等于（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
【思路导析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
【请你解答】.

C

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值相关知识，解题可从两个方向入手：一是直接回忆已经识记的30°角的余弦值，匹配对应选项；二是结合余弦定义，利用含30°角的直角三角形的边长特性推导计算。首先明确余弦是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，再结合30°直角边等于斜边一半的性质和勾股定理求出邻边与斜边的比值，即可得到结果。
【解析】
我们可以通过两种方法解答：
方法1：根据要求识记的特殊角三角函数值，直接可得$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，对应选项C。
方法2：构造含30°锐角的直角三角形，根据直角三角形性质，30°角所对的直角边长度是斜边的$\dfrac{1}{2}$，设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2。由勾股定理计算30°角的邻边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。根据余弦的定义，$\cos30°=\dfrac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、余弦的定义
【点评】
本题属于基础考点，核心考查对常用特殊角三角函数值的掌握，是三角函数模块的入门必背内容，只要熟练记忆30°、45°、60°角的三类三角函数值就能快速作答。
【难度系数】
0.9

例2 计算：$\sin^2 60° + \cos^2 60°$.
【思路导析】$\sin^2 60° = (\sin 60°)^2$，$\cos^2 60° = (\cos 60°)^2$.
【请你解答】

解：
$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$
$\therefore \sin^260° + \cos^260°$
$=(\sin60°)^2 + (\cos60°)^2$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$=1$

【分析】
解题时首先要明确三角函数平方的书写规则：$\sin^2α$等价于$(\sinα)^2$，$\cos^2α$等价于$(\cosα)^2$。本题要求计算$60°$角的正弦、余弦的平方和，有两种解题思路：一是先回忆$60°$角的正弦值和余弦值，分别代入计算平方后再相加求和；二是直接利用同角三角函数的基本关系$\sin^2α+\cos^2α=1$直接得到结果。
【解析】
解：$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$
$\therefore \sin^260° + \cos^260°$
$=(\sin60°)^2 + (\cos60°)^2$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值、乘方运算、同角三角函数平方关系
【点评】
本题属于三角函数基础运算题，既可以通过代入特殊角的三角函数值逐步计算求解，也可以利用同角三角函数的平方关系直接得出结论，旨在考查学生对特殊角三角函数值的掌握程度和基础运算能力，熟练掌握相关结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.9

例3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$，求$∠ A$的度数.
【思路导析】先求$\tan A$的值.
【请你解答】

互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\because \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30°$。

【分析】
本题是直角三角形中已知两直角边长求锐角度数的问题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，∠A的正切值等于它的对边与邻边的比值，我们先代入已知的边长计算出tanA的值，再对照特殊角的三角函数值，即可找到对应的∠A的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切函数的定义可得：$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
将$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$代入得：
$\tan A = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\because \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠A=30°}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础的解直角三角形题型，解题时需明确锐角对应的对边和邻边，避免混淆三角函数的边的对应关系，熟记常见特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.85

例4 已知圆锥的底面半径为$\sqrt{3}$ cm，母线长为$2\sqrt{3}$ cm，求圆锥剖面的锥角。
【探究点拨】要求$∠ BAC$，先求$∠ BAO$。
【规范解答】在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\sin∠ BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$。
$\therefore ∠ BAO=30°$。
$\because AC=AB,AO⊥ BC$，
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ BAO=2×30°=60°$。
即圆锥剖面的锥角为$60°$。

解：
由题意得，圆锥底面半径$BO=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，母线长$AB=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，圆锥的高$AO⊥$底面，因此$△ AOB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\sin∠ BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ BAO=30°$。
$\because AC=AB$，$AO⊥ BC$，
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ BAO=2×30°=60°$。
答：圆锥剖面的锥角为$60°$。

【分析】
要求圆锥剖面的锥角，也就是轴截面等腰△ABC的顶角∠BAC。首先根据圆锥的性质，圆锥的高AO垂直底面，因此△AOB是直角三角形。我们可以先求∠BAC的一半∠BAO：在Rt△AOB中，已知对边BO是圆锥底面半径，斜边AB是圆锥母线长，通过正弦函数就能求出∠BAO的度数；再结合等腰三角形三线合一的性质，可知AO平分∠BAC，将∠BAO的度数乘2即可得到锥角的度数。
【解析】
由题意得，圆锥底面半径$BO=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，母线长$AB=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，圆锥的高$AO⊥$底面，因此$△ AOB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\sin∠ BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ BAO=30°$。
$\because AC=AB$，$AO⊥ BC$，
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ BAO=2×30°=60°$。
【答案】
圆锥剖面的锥角为$60°$
【知识点】
圆锥的结构、特殊角的三角函数、等腰三角形性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是将立体图形的角度问题转化为平面直角三角形求锐角的问题，熟练掌握特殊角的三角函数值和等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1.计算:$\sin^2 30° + \cos^2 60° - \tan^2 45°.$

解：
原式$=(\sin30°)^2 + (\cos60°)^2 - (\tan45°)^2$
$=(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 - 1^2$
$=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1$
$=\frac{1}{2} - 1$
$=-\frac{1}{2}$

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路如下：首先回忆30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值这三个特殊角的三角函数值，再将对应数值代入原式，按照实数混合运算的顺序，先计算乘方，再计算加减，即可得出结果。
【解析】
原式$=(\sin30°)^2 + (\cos60°)^2 - (\tan45°)^2$
$=(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 - 1^2$
$=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1$
$=\frac{1}{2} - 1$
$=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，运算时注意遵循先乘方后加减的运算顺序，避免因记错三角函数值或运算顺序出错导致失分。
【难度系数】
0.8

2.如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=3,AC=2,求BC和sinB.

解：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D。
∵ ∠BAC=120°，
∴ ∠CAD=180°-120°=60°。
在Rt△ACD中，AC=2，
$CD = AC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$。
∴ $BD = AB + AD = 3 + 1 = 4$。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{19}$。
∴ $\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{57}}{19}$。

【分析】
题目给出的△ABC是钝角三角形，∠A为120°，无法直接在原三角形中利用直角三角形的性质计算边长和三角函数值，因此通过作高构造直角三角形求解：①过点C作CD⊥BA交BA延长线于D，先利用邻补角的性质求出∠CAD=60°；②在Rt△ACD中，利用特殊角的三角函数值求出CD、AD的长度；③结合AB的长度得到BD的长，在Rt△BCD中用勾股定理求出BC；④最后根据正弦的定义计算sinB，注意结果要分母有理化。
【解析】
过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D。
∵ ∠BAC=120°，
∴ ∠CAD=180°-120°=60°。
在Rt△ACD中，AC=2，
$CD = AC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$。
∴ $BD = AB + AD = 3 + 1 = 4$。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{19}$。
∴ $\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{57}}{19}$。
【答案】
$BC=\sqrt{19}$，$\sin B=\frac{\sqrt{57}}{19}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题是解斜三角形的基础题型，核心解题思路是通过作高构造直角三角形，将斜三角形的求解转化为直角三角形的相关计算，解题时要注意特殊角三角函数值的准确运用，以及最终三角函数值的分母有理化规范。
【难度系数】
0.7