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1.用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60°$”时，应先假设
.
.
答案
解：在一个三角形中，三个内角都大于60°。
解析
【分析】
使用反证法证明命题的第一步是对命题的结论进行否定，即假设结论不成立。首先提取本题命题的结论：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。接下来对结论做否定：“至少有一个”的否定是“全部都不”，“小于或等于60°”的否定是“大于60°”，将两部分否定内容组合，即可得到需要假设的内容。
【解析】
反证法的第一步为反设，即假设命题的结论不成立，结论的反面成立。
本题要证明的结论是“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，该结论的反面为“在一个三角形中，三个内角都大于60°”，因此证明时应先假设这个反面成立。
【答案】
在一个三角形中，三个内角都大于60°
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题核心是准确掌握“至少有一个”“小于等于”这类常见表述的否定形式，属于基础概念考查题，熟练掌握反证法的基本逻辑即可正确作答。
【难度系数】
0.8
使用反证法证明命题的第一步是对命题的结论进行否定，即假设结论不成立。首先提取本题命题的结论：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。接下来对结论做否定：“至少有一个”的否定是“全部都不”，“小于或等于60°”的否定是“大于60°”，将两部分否定内容组合，即可得到需要假设的内容。
【解析】
反证法的第一步为反设，即假设命题的结论不成立，结论的反面成立。
本题要证明的结论是“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，该结论的反面为“在一个三角形中，三个内角都大于60°”，因此证明时应先假设这个反面成立。
【答案】
在一个三角形中，三个内角都大于60°
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题核心是准确掌握“至少有一个”“小于等于”这类常见表述的否定形式，属于基础概念考查题，熟练掌握反证法的基本逻辑即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，CD$⊥$AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是。
第2题图
第2题图答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
要求AB的长，AB是⊙O的直径，直径长度是半径的2倍，因此只需要先求出⊙O的半径即可。观察图形，连接半径OC后，因为CD⊥AB，所以△ODC是直角三角形，已知CD和OD的长度，可通过勾股定理求出OC的长度，进而得到AB的长。
【解析】
连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，CD=4，OD=3，根据勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
∵ OC是⊙O的半径，AB是⊙O的直径，
∴ AB=2OC=2×5=10。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求出半径后即可得到直径长度，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.85
要求AB的长，AB是⊙O的直径，直径长度是半径的2倍，因此只需要先求出⊙O的半径即可。观察图形，连接半径OC后，因为CD⊥AB，所以△ODC是直角三角形，已知CD和OD的长度，可通过勾股定理求出OC的长度，进而得到AB的长。
【解析】
连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，CD=4，OD=3，根据勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
∵ OC是⊙O的半径，AB是⊙O的直径，
∴ AB=2OC=2×5=10。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求出半径后即可得到直径长度，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.85
3.下列四边形的四个顶点，一定可在同一个圆上的是()
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
答案
B
解析
【分析】
拿到本题首先明确考查核心是四边形四点共圆的判定，我们已知“对角互补的四边形，四个顶点共圆（即该四边形为圆内接四边形）”，因此解题思路为：逐一判断各选项中的四边形是否一定满足对角互补的条件即可。首先回忆各类特殊四边形的角的性质，再对应判定条件筛选答案。
【解析】
若四边形的四个顶点可在同一个圆上，则该四边形为圆内接四边形，需满足对角互补的性质，对各选项逐一分析：
A. 平行四边形的性质为对角相等、邻角互补，无对角互补的必然性质，因此四个顶点不一定共圆，排除；
B. 矩形的四个内角均为90°，任意一组对角的和为90°+90°=180°，满足对角互补，因此矩形的四个顶点一定共圆，符合要求；
C. 菱形的性质为对角相等，无对角互补的必然性质（仅当菱形为正方形时满足），因此四个顶点不一定共圆，排除；
D. 梯形仅一组对边平行，可得到相邻的同旁内角互补，无对角互补的必然性质（如直角梯形对角不互补），因此四个顶点不一定共圆，排除。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记圆内接四边形的判定条件，结合常见特殊四边形的角的特征进行判断即可，是对基础知识点掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确考查核心是四边形四点共圆的判定，我们已知“对角互补的四边形，四个顶点共圆（即该四边形为圆内接四边形）”，因此解题思路为：逐一判断各选项中的四边形是否一定满足对角互补的条件即可。首先回忆各类特殊四边形的角的性质，再对应判定条件筛选答案。
【解析】
若四边形的四个顶点可在同一个圆上，则该四边形为圆内接四边形，需满足对角互补的性质，对各选项逐一分析：
A. 平行四边形的性质为对角相等、邻角互补，无对角互补的必然性质，因此四个顶点不一定共圆，排除；
B. 矩形的四个内角均为90°，任意一组对角的和为90°+90°=180°，满足对角互补，因此矩形的四个顶点一定共圆，符合要求；
C. 菱形的性质为对角相等，无对角互补的必然性质（仅当菱形为正方形时满足），因此四个顶点不一定共圆，排除；
D. 梯形仅一组对边平行，可得到相邻的同旁内角互补，无对角互补的必然性质（如直角梯形对角不互补），因此四个顶点不一定共圆，排除。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记圆内接四边形的判定条件，结合常见特殊四边形的角的特征进行判断即可，是对基础知识点掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
4.如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为()
A.4个
B.6个
C.8个
D.12个
A.4个
B.6个
C.8个
D.12个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心依据是“不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆”。首先排除共线三点的情况：由于A、B、C、D都在直线l上，任选这四个点中的三个都共线，无法作圆，因此作圆的三个点必须包含直线外的点P，再从直线l上的4个点中选2个即可。最后统计从4个点中选2个的不同选法数量，就是最多可画圆的个数。
【解析】
根据确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1. 若所选三个点均为A、B、C、D中的点，因四点共线，三点共线无法确定圆，因此作圆的三个点必须包含点P，剩余两个点从A、B、C、D中选取。
2. 从A、B、C、D中任选2个点，与点P组成不共线的三个点，每组三点对应唯一的一个圆。
3. 列举选2个点的所有情况：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，即最多可画出6个圆。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件、组合计数
【点评】
本题易错点是忽略共线三点不能作圆的条件，误将所有三点组合都计算在内。解题时先筛选出符合“不共线”要求的三点组合，再正确计数即可得到答案。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是“不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆”。首先排除共线三点的情况：由于A、B、C、D都在直线l上，任选这四个点中的三个都共线，无法作圆，因此作圆的三个点必须包含直线外的点P，再从直线l上的4个点中选2个即可。最后统计从4个点中选2个的不同选法数量，就是最多可画圆的个数。
【解析】
根据确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1. 若所选三个点均为A、B、C、D中的点，因四点共线，三点共线无法确定圆，因此作圆的三个点必须包含点P，剩余两个点从A、B、C、D中选取。
2. 从A、B、C、D中任选2个点，与点P组成不共线的三个点，每组三点对应唯一的一个圆。
3. 列举选2个点的所有情况：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，即最多可画出6个圆。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件、组合计数
【点评】
本题易错点是忽略共线三点不能作圆的条件，误将所有三点组合都计算在内。解题时先筛选出符合“不共线”要求的三点组合，再正确计数即可得到答案。
【难度系数】
0.7
5.如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用()次，就可以找到圆形工件的圆心.
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】要找到圆形工件的圆心，首先需明确圆心的性质：圆心在任意一条弦的垂直平分线上，两条不重合的过圆心的直线的交点就是圆心。题中的工具可画出弦的垂直平分线，每次使用工具都能得到一条经过圆心的直线，只需得到两条不重合的这类直线，其交点即为圆心，由此可推导最少使用次数。
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，解题步骤如下：
1. 第一次使用工具：将A、B两点放在圆周上，此时MN所在直线是弦AB的垂直平分线，这条直线必定经过圆心；
2. 第二次使用工具：调整工具位置，将A、B两点放在圆周上的另外两个位置，得到另一条经过圆心的垂直平分线；
两条不重合的垂直平分线的交点就是圆形工件的圆心，因此最少需要使用2次。
【答案】B
【知识点】1.垂径定理推论 2.圆心的确定
【点评】本题是几何定理的实际应用问题，解题的关键是理解工具的作用是得到弦的垂直平分线，而弦的垂直平分线必然过圆心，结合两条相交直线确定唯一的点即可得到结论，属于基础应用题。
【难度系数】0.8
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，解题步骤如下：
1. 第一次使用工具：将A、B两点放在圆周上，此时MN所在直线是弦AB的垂直平分线，这条直线必定经过圆心；
2. 第二次使用工具：调整工具位置，将A、B两点放在圆周上的另外两个位置，得到另一条经过圆心的垂直平分线；
两条不重合的垂直平分线的交点就是圆形工件的圆心，因此最少需要使用2次。
【答案】B
【知识点】1.垂径定理推论 2.圆心的确定
【点评】本题是几何定理的实际应用问题，解题的关键是理解工具的作用是得到弦的垂直平分线，而弦的垂直平分线必然过圆心，结合两条相交直线确定唯一的点即可得到结论，属于基础应用题。
【难度系数】0.8
6.已知线段$AB=7$，经过$A,B$两点且半径为5的圆有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案
C
解析
【分析】
要确定经过A、B两点且半径为5的圆的个数，首先需明确：过两点的圆的圆心到这两点的距离都等于半径，因此圆心必在线段AB的垂直平分线上；接下来只需判断这条垂直平分线上到点A（或点B）的距离等于5的点的个数，即可得到符合条件的圆的个数。
【解析】
步骤1：确定圆心的轨迹
经过A、B两点的圆，圆心到A、B的距离相等（均等于圆的半径），根据垂直平分线的性质，圆心一定在线段AB的垂直平分线上。
步骤2：计算相关长度，判断符合条件的圆心个数
已知AB=7，因此AB长度的一半为$7÷2=3.5$。
我们需要在AB的垂直平分线上找距离A点为5的点，根据勾股定理，圆心到线段AB的距离为$\sqrt{5^2 - 3.5^2}$，计算结果为正数，说明垂直平分线上存在2个符合条件的点，分别位于线段AB的两侧，每个点作为圆心都可作出一个满足条件的圆。
因此符合条件的圆共有2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 确定圆的条件
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题考查确定圆的条件的应用，解题的核心是明确过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上，再结合半径大小判断符合要求的圆心数量，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要确定经过A、B两点且半径为5的圆的个数，首先需明确：过两点的圆的圆心到这两点的距离都等于半径，因此圆心必在线段AB的垂直平分线上；接下来只需判断这条垂直平分线上到点A（或点B）的距离等于5的点的个数，即可得到符合条件的圆的个数。
【解析】
步骤1：确定圆心的轨迹
经过A、B两点的圆，圆心到A、B的距离相等（均等于圆的半径），根据垂直平分线的性质，圆心一定在线段AB的垂直平分线上。
步骤2：计算相关长度，判断符合条件的圆心个数
已知AB=7，因此AB长度的一半为$7÷2=3.5$。
我们需要在AB的垂直平分线上找距离A点为5的点，根据勾股定理，圆心到线段AB的距离为$\sqrt{5^2 - 3.5^2}$，计算结果为正数，说明垂直平分线上存在2个符合条件的点，分别位于线段AB的两侧，每个点作为圆心都可作出一个满足条件的圆。
因此符合条件的圆共有2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 确定圆的条件
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题考查确定圆的条件的应用，解题的核心是明确过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上，再结合半径大小判断符合要求的圆心数量，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.已知线段$AB=4\ \mathrm{cm}$，用尺规作大小确定的圆，使之过点$A$，$B$，则这样的圆可以作（）
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个，1个或2个
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个，1个或2个
答案
D
解析
【分析】
要作出过A、B两点且大小确定的圆，首先明确圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此过A、B的圆的圆心到A、B的距离相等，即圆心一定在线段AB的垂直平分线上。接下来结合“大小确定”即半径r为定值的条件，分情况讨论半径r与AB长度一半的大小关系，即可判断符合条件的圆的数量。
【解析】
∵ 所求圆过A、B两点，
∴ 圆心O满足OA=OB=r（r为圆的半径，因大小确定，r为定值），因此圆心O必在AB的垂直平分线上。
取AB的中点为C，则AC=½AB=2cm，由勾股定理可得：OA²=OC²+AC²，即r²=OC²+2²，变形得OC²=r²-4。
分三种情况讨论：
① 当r＜2cm时，r²-4＜0，OC无实数解，不存在符合条件的圆心，即可作0个圆；
② 当r=2cm时，OC²=0，即OC=0，圆心只能是AB的中点C，仅可作1个圆；
③ 当r＞2cm时，OC=√(r²-4)，此时AB的垂直平分线上有2个点（分别在AB两侧）满足到C的距离为√(r²-4)，即可作2个圆。
综上，这样的圆可以作0个、1个或2个，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 过两点作圆的条件；2. 线段垂直平分线的性质；3. 圆的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，再结合半径的取值范围分类分析，避免因漏考虑情况选错答案。
【难度系数】
0.6
要作出过A、B两点且大小确定的圆，首先明确圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此过A、B的圆的圆心到A、B的距离相等，即圆心一定在线段AB的垂直平分线上。接下来结合“大小确定”即半径r为定值的条件，分情况讨论半径r与AB长度一半的大小关系，即可判断符合条件的圆的数量。
【解析】
∵ 所求圆过A、B两点，
∴ 圆心O满足OA=OB=r（r为圆的半径，因大小确定，r为定值），因此圆心O必在AB的垂直平分线上。
取AB的中点为C，则AC=½AB=2cm，由勾股定理可得：OA²=OC²+AC²，即r²=OC²+2²，变形得OC²=r²-4。
分三种情况讨论：
① 当r＜2cm时，r²-4＜0，OC无实数解，不存在符合条件的圆心，即可作0个圆；
② 当r=2cm时，OC²=0，即OC=0，圆心只能是AB的中点C，仅可作1个圆；
③ 当r＞2cm时，OC=√(r²-4)，此时AB的垂直平分线上有2个点（分别在AB两侧）满足到C的距离为√(r²-4)，即可作2个圆。
综上，这样的圆可以作0个、1个或2个，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 过两点作圆的条件；2. 线段垂直平分线的性质；3. 圆的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，再结合半径的取值范围分类分析，避免因漏考虑情况选错答案。
【难度系数】
0.6
8. 下列条件中不能确定一个圆的是()
A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上的三个已知点
A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上的三个已知点
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个条件不能确定一个圆，首先需明确确定圆的核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，同时掌握“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，接下来逐个分析每个选项是否能唯一确定圆心和半径即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 已知圆心和半径时，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，可唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点就是圆心，直径长度的一半为半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，根据不共线三点确定唯一圆的定理，这三个点可确定唯一的三角形外接圆，不符合题意；
D. 若平面上的三个已知点在同一条直线上，则不存在同时经过这三个点的圆，只有三点不共线时才能确定一个圆，因此平面上的三个已知点无法确定一个圆，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；不共线三点定圆；圆的基本要素
【点评】
本题考查对确定圆的条件的理解，易错点是容易忽略三点共线的特殊情况，解题时要牢记：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的圆。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件不能确定一个圆，首先需明确确定圆的核心要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，同时掌握“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，接下来逐个分析每个选项是否能唯一确定圆心和半径即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 已知圆心和半径时，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，可唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点就是圆心，直径长度的一半为半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，根据不共线三点确定唯一圆的定理，这三个点可确定唯一的三角形外接圆，不符合题意；
D. 若平面上的三个已知点在同一条直线上，则不存在同时经过这三个点的圆，只有三点不共线时才能确定一个圆，因此平面上的三个已知点无法确定一个圆，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；不共线三点定圆；圆的基本要素
【点评】
本题考查对确定圆的条件的理解，易错点是容易忽略三点共线的特殊情况，解题时要牢记：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的圆。
【难度系数】
0.8
9.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都相等,△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上,若格点D在△ABC外接圆上,则图中符合条件的格点D有()(点D与点A,B,C均不重合).
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
C
解析
【分析】
首先观察网格中△ABC的特征，可判断出△ABC是直角三角形，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆以斜边为直径，圆心为斜边中点。接下来我们可以通过建立坐标系，计算出外接圆的圆心和半径，再找出网格中所有到圆心距离等于半径的格点，排除与A、B、C重合的点，即可得到符合条件的点D的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令A(0,2)，B(0,1)，C(3,1)。
1. 判定△ABC形状：AB沿竖直方向长度为1，BC沿水平方向长度为3，故∠ABC=90°，△ABC是直角三角形，其外接圆以斜边AC为直径。
2. 求外接圆的圆心与半径：AC中点即圆心坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{2+1}{2})=(1.5,1.5)$，AC长度为$\sqrt{(3-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$，故半径为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，半径的平方为$\frac{10}{4}=2.5$。
3. 找符合条件的格点：设格点D坐标为$(x,y)$，若D在圆上，则满足$(x-1.5)^2+(y-1.5)^2=2.5$。代入网格范围内的整数x、y验证，排除A、B、C三点后，得到符合条件的点为(1,0)、(1,3)、(2,0)、(2,3)、(3,2)，共5个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查三角形外接圆的相关知识，解题关键是先识别出直角三角形，将外接圆转化为以斜边为直径的圆，再通过坐标法或圆周角性质筛选符合条件的格点，解题时要注意细心枚举，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6
首先观察网格中△ABC的特征，可判断出△ABC是直角三角形，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆以斜边为直径，圆心为斜边中点。接下来我们可以通过建立坐标系，计算出外接圆的圆心和半径，再找出网格中所有到圆心距离等于半径的格点，排除与A、B、C重合的点，即可得到符合条件的点D的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令A(0,2)，B(0,1)，C(3,1)。
1. 判定△ABC形状：AB沿竖直方向长度为1，BC沿水平方向长度为3，故∠ABC=90°，△ABC是直角三角形，其外接圆以斜边AC为直径。
2. 求外接圆的圆心与半径：AC中点即圆心坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{2+1}{2})=(1.5,1.5)$，AC长度为$\sqrt{(3-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$，故半径为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，半径的平方为$\frac{10}{4}=2.5$。
3. 找符合条件的格点：设格点D坐标为$(x,y)$，若D在圆上，则满足$(x-1.5)^2+(y-1.5)^2=2.5$。代入网格范围内的整数x、y验证，排除A、B、C三点后，得到符合条件的点为(1,0)、(1,3)、(2,0)、(2,3)、(3,2)，共5个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查三角形外接圆的相关知识，解题关键是先识别出直角三角形，将外接圆转化为以斜边为直径的圆，再通过坐标法或圆周角性质筛选符合条件的格点，解题时要注意细心枚举，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6
10. 下列说法：
①过三点一定可以作圆；
②三角形有且只有一个外接圆；
③任意一个圆都有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
④三角形的外心就是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点；
⑤三角形的外心到三边的距离相等.
正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①过三点一定可以作圆；
②三角形有且只有一个外接圆；
③任意一个圆都有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
④三角形的外心就是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点；
⑤三角形的外心到三边的距离相等.
正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题时需结合过三点作圆的条件、三角形外接圆及外心的定义与性质，逐一判断每个说法的正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各个说法：
①过三点一定可以作圆：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，故①错误；
②三角形有且只有一个外接圆：三角形的三个顶点不在同一直线上，可确定唯一的圆，即三角形的外接圆，故②正确；
③任意一个圆都有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形：在圆上任意选取三个不共线的点都可以构成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故③错误；
④三角形的外心就是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点：三角形外心的定义为三角形三边垂直平分线的交点，任意两边垂直平分线的交点必然在第三边的垂直平分线上，故④正确；
⑤三角形的外心到三边的距离相等：三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，故⑤错误。
综上，正确的说法是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
过三点作圆的条件，三角形外接圆，三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对圆相关基本概念的掌握程度，容易因混淆外心与内心的性质、忽略三点共线的特殊情况而判断失误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合过三点作圆的条件、三角形外接圆及外心的定义与性质，逐一判断每个说法的正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各个说法：
①过三点一定可以作圆：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，故①错误；
②三角形有且只有一个外接圆：三角形的三个顶点不在同一直线上，可确定唯一的圆，即三角形的外接圆，故②正确；
③任意一个圆都有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形：在圆上任意选取三个不共线的点都可以构成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故③错误；
④三角形的外心就是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点：三角形外心的定义为三角形三边垂直平分线的交点，任意两边垂直平分线的交点必然在第三边的垂直平分线上，故④正确；
⑤三角形的外心到三边的距离相等：三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，故⑤错误。
综上，正确的说法是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
过三点作圆的条件，三角形外接圆，三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对圆相关基本概念的掌握程度，容易因混淆外心与内心的性质、忽略三点共线的特殊情况而判断失误。
【难度系数】
0.7
