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11.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，求证：$∠ B＜90°$.运用反证法证明这个命题：
证明:假设在$△ ABC$中，.
$\because AB=AC$，得$∠ B=∠ C≥90°$，即.
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与矛盾；
$\therefore$ 不成立，所以$∠ B＜90°$.
证明:假设在$△ ABC$中，.
$\because AB=AC$，得$∠ B=∠ C≥90°$，即.
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与矛盾；
$\therefore$ 不成立，所以$∠ B＜90°$.
答案
证明:假设在$△ ABC$中，$\boldsymbol{∠ B ≥ 90°}$.
$\because AB=AC$,得$∠ B=∠ C≥90°$,即$\boldsymbol{∠ B + ∠ C ≥ 180°}$.
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,这与$\boldsymbol{三角形内角和等于180°}$矛盾；
$\therefore \boldsymbol{假设∠ B ≥ 90°}$不成立,所以$∠ B＜90°$.
$\because AB=AC$,得$∠ B=∠ C≥90°$,即$\boldsymbol{∠ B + ∠ C ≥ 180°}$.
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,这与$\boldsymbol{三角形内角和等于180°}$矛盾；
$\therefore \boldsymbol{假设∠ B ≥ 90°}$不成立,所以$∠ B＜90°$.
解析
【分析】
这道题考查反证法的应用，解题时需按照反证法的固定逻辑思考：第一步先反设，即否定待证结论“∠B＜90°”，得到假设的内容；第二步结合已知条件推导，利用等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC得∠B=∠C，进而推导两个角的和的范围；第三步找矛盾，根据三个内角和的推导结果，联系三角形内角和的固定定理找到矛盾点；最后判定假设不成立，原结论正确，按照这个思路即可逐一填出空缺。
【解析】
反证法证明的完整步骤如下：
1. 反设：假设在$△ ABC$中，$\boldsymbol{∠ B ≥ 90°}$；
2. 推导：$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ B=∠ C≥90°$，即$\boldsymbol{∠ B + ∠ C ≥ 180°}$；
3. 归谬：$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与$\boldsymbol{三角形内角和等于180°}$矛盾；
4. 下结论：$\therefore \boldsymbol{假设∠ B ≥ 90°}$不成立，所以$∠ B＜90°$。
【答案】
依次填入：$\boldsymbol{∠ B ≥ 90°}$；$\boldsymbol{∠ B + ∠ C ≥ 180°}$；$\boldsymbol{三角形内角和等于180°}$；$\boldsymbol{假设∠ B ≥ 90°}$
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握反证法“反设-归谬-存真”的三个步骤，同时能灵活结合等腰三角形性质、三角形内角和定理进行推导，重点考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
这道题考查反证法的应用，解题时需按照反证法的固定逻辑思考：第一步先反设，即否定待证结论“∠B＜90°”，得到假设的内容；第二步结合已知条件推导，利用等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC得∠B=∠C，进而推导两个角的和的范围；第三步找矛盾，根据三个内角和的推导结果，联系三角形内角和的固定定理找到矛盾点；最后判定假设不成立，原结论正确，按照这个思路即可逐一填出空缺。
【解析】
反证法证明的完整步骤如下：
1. 反设：假设在$△ ABC$中，$\boldsymbol{∠ B ≥ 90°}$；
2. 推导：$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ B=∠ C≥90°$，即$\boldsymbol{∠ B + ∠ C ≥ 180°}$；
3. 归谬：$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与$\boldsymbol{三角形内角和等于180°}$矛盾；
4. 下结论：$\therefore \boldsymbol{假设∠ B ≥ 90°}$不成立，所以$∠ B＜90°$。
【答案】
依次填入：$\boldsymbol{∠ B ≥ 90°}$；$\boldsymbol{∠ B + ∠ C ≥ 180°}$；$\boldsymbol{三角形内角和等于180°}$；$\boldsymbol{假设∠ B ≥ 90°}$
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握反证法“反设-归谬-存真”的三个步骤，同时能灵活结合等腰三角形性质、三角形内角和定理进行推导，重点考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$和$△ ABD$都为直角三角形，且$∠ C=∠ D=90°$.求证:$A,B,C,D$四点在同一个圆上. 
第12题图
第12题图答案
证明：
取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ ∠C=90°，△ABC是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∵ ∠D=90°，△ABD是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∴ $OA=OB=OC=OD$。
∴ A，B，C，D四点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ ∠C=90°，△ABC是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∵ ∠D=90°，△ABD是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∴ $OA=OB=OC=OD$。
∴ A，B，C，D四点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
解析
【分析】
要证明A、B、C、D四点在同一个圆上，根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，因此只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察题干可知△ABC和△ABD都是直角三角形，且共用斜边AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，我们可以取AB的中点作为定点，通过证明四个点到该中点的距离相等完成推导。
【解析】
证明：取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ ∠C=90°，△ABC是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵ ∠D=90°，△ABD是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∴ $OA=OB=OC=OD$。
根据圆的定义，A、B、C、D四个点到定点O的距离都等于OA的长度，因此四点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
【答案】
证明：取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ ∠C=90°，△ABC是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∵ ∠D=90°，△ABD是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∴ $OA=OB=OC=OD$。
∴ A，B，C，D四点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的定义；四点共圆判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是抓住两个直角三角形共斜边的特征，通过构造斜边中点得到等长线段，结合圆的定义即可快速求证，能够很好地考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明A、B、C、D四点在同一个圆上，根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，因此只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察题干可知△ABC和△ABD都是直角三角形，且共用斜边AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，我们可以取AB的中点作为定点，通过证明四个点到该中点的距离相等完成推导。
【解析】
证明：取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ ∠C=90°，△ABC是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵ ∠D=90°，△ABD是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∴ $OA=OB=OC=OD$。
根据圆的定义，A、B、C、D四个点到定点O的距离都等于OA的长度，因此四点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
【答案】
证明：取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ ∠C=90°，△ABC是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∵ ∠D=90°，△ABD是直角三角形，O为AB中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$。
∴ $OA=OB=OC=OD$。
∴ A，B，C，D四点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的定义；四点共圆判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是抓住两个直角三角形共斜边的特征，通过构造斜边中点得到等长线段，结合圆的定义即可快速求证，能够很好地考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
13.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上.
(1)用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心(保留痕迹);
(2)求最小覆盖圆的面积.
(1)用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心(保留痕迹);
(2)求最小覆盖圆的面积.
答案
解：
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABC最小覆盖圆的圆心，保留两条垂直平分线的作图痕迹。
(2) 由网格可知点A、B、C均为格点，可得：
$AB=4$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
△ABC为锐角三角形，其最小覆盖圆即为△ABC的外接圆。
设外接圆圆心为$O$，由AB的垂直平分线性质可知圆心横坐标为2，设$O(2,a)$，
由$OA=OC$列方程：
$2^2+a^2=(3-2)^2+(3-a)^2$
解得$a=1$，
因此外接圆半径$r=OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
最小覆盖圆的面积$S=π r^2=5π$。
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABC最小覆盖圆的圆心，保留两条垂直平分线的作图痕迹。
(2) 由网格可知点A、B、C均为格点，可得：
$AB=4$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
△ABC为锐角三角形，其最小覆盖圆即为△ABC的外接圆。
设外接圆圆心为$O$，由AB的垂直平分线性质可知圆心横坐标为2，设$O(2,a)$，
由$OA=OC$列方程：
$2^2+a^2=(3-2)^2+(3-a)^2$
解得$a=1$，
因此外接圆半径$r=OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
最小覆盖圆的面积$S=π r^2=5π$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出任意两条边的垂直平分线，两条线的交点即为所求圆心，结合格点特征用无刻度直尺即可完成作图。
(2) 解决第二问首先利用勾股定理计算三角形三边长，判断△ABC为锐角三角形，确定其最小覆盖圆为外接圆；再利用外心到三角形三个顶点距离相等的性质，结合格点设出圆心坐标，列方程求解外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作出线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是△ABC最小覆盖圆的圆心，保留作图痕迹即可。
(2) 设点A的坐标为$(0,0)$，结合网格可得$B(4,0)$，$C(3,3)$：
首先计算三边长：
$AB=4$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
经判断△ABC为锐角三角形，因此它的最小覆盖圆就是它的外接圆。
因为AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点$(2,0)$的竖直线，所以外接圆圆心的横坐标为2，设圆心坐标为$O(2,a)$，
根据外心性质$OA=OC$，列方程：
$\sqrt{(2-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt{(3-2)^2+(3-a)^2}$
两边平方得：$2^2+a^2=(3-2)^2+(3-a)^2$
展开计算：$4+a^2=1+9-6a+a^2$
化简得：$4=10-6a$，解得$a=1$
因此外接圆半径$r=OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
所以最小覆盖圆的面积$S=π r^2=π×(\sqrt{5})^2=5π$
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为所求圆心（作图略）；
(2) $5π$
【知识点】
三角形外接圆性质，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合格点背景，考查了三角形最小覆盖圆的判断、外心的作图方法以及外接圆的相关计算，解题的核心是明确锐角三角形的最小覆盖圆为其外接圆，灵活运用外心的性质结合坐标法求解，既考查了动手作图能力，也考查了方程思想的运用。
【难度系数】
0.65
(1) 解决第一问首先要明确：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出任意两条边的垂直平分线，两条线的交点即为所求圆心，结合格点特征用无刻度直尺即可完成作图。
(2) 解决第二问首先利用勾股定理计算三角形三边长，判断△ABC为锐角三角形，确定其最小覆盖圆为外接圆；再利用外心到三角形三个顶点距离相等的性质，结合格点设出圆心坐标，列方程求解外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作出线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是△ABC最小覆盖圆的圆心，保留作图痕迹即可。
(2) 设点A的坐标为$(0,0)$，结合网格可得$B(4,0)$，$C(3,3)$：
首先计算三边长：
$AB=4$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
经判断△ABC为锐角三角形，因此它的最小覆盖圆就是它的外接圆。
因为AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点$(2,0)$的竖直线，所以外接圆圆心的横坐标为2，设圆心坐标为$O(2,a)$，
根据外心性质$OA=OC$，列方程：
$\sqrt{(2-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt{(3-2)^2+(3-a)^2}$
两边平方得：$2^2+a^2=(3-2)^2+(3-a)^2$
展开计算：$4+a^2=1+9-6a+a^2$
化简得：$4=10-6a$，解得$a=1$
因此外接圆半径$r=OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
所以最小覆盖圆的面积$S=π r^2=π×(\sqrt{5})^2=5π$
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为所求圆心（作图略）；
(2) $5π$
【知识点】
三角形外接圆性质，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合格点背景，考查了三角形最小覆盖圆的判断、外心的作图方法以及外接圆的相关计算，解题的核心是明确锐角三角形的最小覆盖圆为其外接圆，灵活运用外心的性质结合坐标法求解，既考查了动手作图能力，也考查了方程思想的运用。
【难度系数】
0.65
14.如图,要把残破的圆形轮片修复完整,已知轮片弧上的三点$A,B,C$.
(1)用尺规作图法找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心(保留作图痕迹,不写作法);
(2)设$△ ABC$是等腰三角形,底边$BC=8\ \mathrm{cm}$,腰$AB=5\ \mathrm{cm}$,求轮片的半径$R$.
(1)用尺规作图法找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心(保留作图痕迹,不写作法);
(2)设$△ ABC$是等腰三角形,底边$BC=8\ \mathrm{cm}$,腰$AB=5\ \mathrm{cm}$,求轮片的半径$R$.
答案
解：
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心，保留作图痕迹。
(2) 连接$OA$、$OB$，设$OA$交$BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，
$\therefore OA ⊥ BC$，$BD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ \mathrm{cm}$。
设轮片半径为$R$，则$OB=OA=R$，$OD = R - 3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
即 $R^2 = (R-3)^2 + 4^2$，
展开整理得：$6R = 25$，
解得 $R = \dfrac{25}{6}$。
答：轮片的半径$R$为$\dfrac{25}{6}\ \mathrm{cm}$。
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心，保留作图痕迹。
(2) 连接$OA$、$OB$，设$OA$交$BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，
$\therefore OA ⊥ BC$，$BD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ \mathrm{cm}$。
设轮片半径为$R$，则$OB=OA=R$，$OD = R - 3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
即 $R^2 = (R-3)^2 + 4^2$，
展开整理得：$6R = 25$，
解得 $R = \dfrac{25}{6}$。
答：轮片的半径$R$为$\dfrac{25}{6}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 要找弧所在圆的圆心，依据“圆心到圆上任意两点的距离相等，因此圆心在任意弦的垂直平分线上”，只需作出两条弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是所求圆心。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，结合圆的垂径定理推论，可知OA垂直平分BC，先在Rt△ABD中用勾股定理算出AD的长度，再设半径为R，在Rt△OBD中利用勾股定理列方程即可解出半径R。
【解析】
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心，保留作图痕迹即可。
(2) 连接$OA$、$OB$，设$OA$交$BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，
$\therefore OA ⊥ BC$，$BD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ \mathrm{cm}$。
设轮片半径为$R$，则$OB=OA=R$，$OD = R - 3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
即 $R^2 = (R-3)^2 + 4^2$，
展开整理得：$6R = 25$，
解得 $R = \dfrac{25}{6}$。
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为所求圆心（作图保留痕迹即可）；
(2) $\dfrac{25}{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 确定圆心的方法
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，既考查动手操作能力，又考查垂径定理、勾股定理的应用，用方程思想求解几何线段长度是这类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要找弧所在圆的圆心，依据“圆心到圆上任意两点的距离相等，因此圆心在任意弦的垂直平分线上”，只需作出两条弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是所求圆心。
(2) 已知△ABC是等腰三角形，结合圆的垂径定理推论，可知OA垂直平分BC，先在Rt△ABD中用勾股定理算出AD的长度，再设半径为R，在Rt△OBD中利用勾股定理列方程即可解出半径R。
【解析】
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心，保留作图痕迹即可。
(2) 连接$OA$、$OB$，设$OA$交$BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，
$\therefore OA ⊥ BC$，$BD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ \mathrm{cm}$。
设轮片半径为$R$，则$OB=OA=R$，$OD = R - 3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
即 $R^2 = (R-3)^2 + 4^2$，
展开整理得：$6R = 25$，
解得 $R = \dfrac{25}{6}$。
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为所求圆心（作图保留痕迹即可）；
(2) $\dfrac{25}{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 确定圆心的方法
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，既考查动手操作能力，又考查垂径定理、勾股定理的应用，用方程思想求解几何线段长度是这类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
