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三、解答题
7. 一个四边形的边长分别为3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最短边长为6，求另一个四边形的周长。
7. 一个四边形的边长分别为3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最短边长为6，求另一个四边形的周长。
答案
解：
由题意可知，两个四边形相似。
第一个四边形的周长为：$3+4+5+6=18$。
第一个四边形的最短边长为3，第二个四边形的最短边长为6，
因此两个相似四边形的相似比为$3:6=1:2$。
根据相似多边形的周长比等于相似比，可得两个四边形的周长比为$1:2$。
设另一个四边形的周长为$C$，则$18:C=1:2$，
解得$C=36$。
答：另一个四边形的周长为36。
由题意可知，两个四边形相似。
第一个四边形的周长为：$3+4+5+6=18$。
第一个四边形的最短边长为3，第二个四边形的最短边长为6，
因此两个相似四边形的相似比为$3:6=1:2$。
根据相似多边形的周长比等于相似比，可得两个四边形的周长比为$1:2$。
设另一个四边形的周长为$C$，则$18:C=1:2$，
解得$C=36$。
答：另一个四边形的周长为36。
解析
【分析】
首先，题目中说明两个四边形形状相同，根据相似多边形的定义可判断两个四边形为相似四边形。解题思路为：第一步先计算已知边长的四边形的周长；第二步找到两个相似四边形的对应最短边，计算出相似比；第三步利用相似多边形周长比等于相似比的性质，列比例式求解另一个四边形的周长。
【解析】
解：由题意可知，两个四边形形状相同，因此两个四边形相似。
第一个四边形的周长为：$3+4+5+6=18$
第一个四边形的最短边长为3，另一个相似四边形的最短边长为6，
因此两个相似四边形的相似比为$3:6=1:2$。
根据相似多边形的周长比等于相似比，可得两个四边形的周长比为$1:2$。
设另一个四边形的周长为$C$，则$18:C=1:2$，
解得$C=36$。
【答案】
36
【知识点】
相似多边形的定义，相似比的计算，相似多边形周长性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确识别相似多边形，找到对应边计算相似比，熟练掌握相似多边形周长比与相似比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先，题目中说明两个四边形形状相同，根据相似多边形的定义可判断两个四边形为相似四边形。解题思路为：第一步先计算已知边长的四边形的周长；第二步找到两个相似四边形的对应最短边，计算出相似比；第三步利用相似多边形周长比等于相似比的性质，列比例式求解另一个四边形的周长。
【解析】
解：由题意可知，两个四边形形状相同，因此两个四边形相似。
第一个四边形的周长为：$3+4+5+6=18$
第一个四边形的最短边长为3，另一个相似四边形的最短边长为6，
因此两个相似四边形的相似比为$3:6=1:2$。
根据相似多边形的周长比等于相似比，可得两个四边形的周长比为$1:2$。
设另一个四边形的周长为$C$，则$18:C=1:2$，
解得$C=36$。
【答案】
36
【知识点】
相似多边形的定义，相似比的计算，相似多边形周长性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确识别相似多边形，找到对应边计算相似比，熟练掌握相似多边形周长比与相似比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图，把矩形$ABCD$对折，折痕为$MN$，矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，已知$AB=4$.
（1）求$AD$的长；
（2）求矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比.
（1）求$AD$的长；
（2）求矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比.
答案
解：
(1) 由对折的性质可得：$DM=\frac{1}{2}AD$，且$CD=AB=4$。
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，所以对应边成比例：
$\frac{DM}{AB}=\frac{CD}{AD}$
设$AD=x$，则$DM=\frac{1}{2}x$，代入已知条件得：
$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{4}{x}$
整理得$x^2=32$，由于边长为正，解得$x=4\sqrt{2}$。
即$AD$的长为$4\sqrt{2}$。
(2) 矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为：
$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
答：(1) $AD$的长为$4\sqrt{2}$；(2) 两矩形的相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(1) 由对折的性质可得：$DM=\frac{1}{2}AD$，且$CD=AB=4$。
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，所以对应边成比例：
$\frac{DM}{AB}=\frac{CD}{AD}$
设$AD=x$，则$DM=\frac{1}{2}x$，代入已知条件得：
$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{4}{x}$
整理得$x^2=32$，由于边长为正，解得$x=4\sqrt{2}$。
即$AD$的长为$4\sqrt{2}$。
(2) 矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为：
$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
答：(1) $AD$的长为$4\sqrt{2}$；(2) 两矩形的相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质得到DM与AD的数量关系，再结合相似多边形对应边成比例的性质，找准两个矩形的对应边，列出比例式，通过设未知数列方程即可求出AD的长；第二问求相似比，直接用两个相似矩形的一组对应边的比值计算即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$DM=\frac{1}{2}AD$，矩形ABCD中$CD=AB=4$。
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{DM}{AB}=\frac{CD}{AD}$
设$AD=x$，则$DM=\frac{1}{2}x$，代入已知条件得：
$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{4}{x}$
整理得$x^2=32$，由于边长为正数，舍去负根，解得$x=4\sqrt{2}$。
即$AD$的长为$4\sqrt{2}$。
(2) 矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为对应边的比值：
$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $AD$的长为$4\sqrt{2}$；(2) 矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题是相似多边形的基础应用题，解题的核心是准确找到相似图形的对应边，结合折叠性质列出比例式求解，考查了学生对相似性质的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用折叠的性质得到DM与AD的数量关系，再结合相似多边形对应边成比例的性质，找准两个矩形的对应边，列出比例式，通过设未知数列方程即可求出AD的长；第二问求相似比，直接用两个相似矩形的一组对应边的比值计算即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$DM=\frac{1}{2}AD$，矩形ABCD中$CD=AB=4$。
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{DM}{AB}=\frac{CD}{AD}$
设$AD=x$，则$DM=\frac{1}{2}x$，代入已知条件得：
$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{4}{x}$
整理得$x^2=32$，由于边长为正数，舍去负根，解得$x=4\sqrt{2}$。
即$AD$的长为$4\sqrt{2}$。
(2) 矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为对应边的比值：
$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $AD$的长为$4\sqrt{2}$；(2) 矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题是相似多边形的基础应用题，解题的核心是准确找到相似图形的对应边，结合折叠性质列出比例式求解，考查了学生对相似性质的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,有一块长为$a$ m、宽为$b$ m($a＞b$)的矩形绿地,现给绿地四周铺一条宽为$x$ m的环形小路.
（1）矩形绿地的长与宽的比值$m=$,铺过小路后的矩形的长与宽的比值$n=$;(用含有$a$,$b$,$x$的代数式表示)
（2）请比较$m$与$n$的大小;
（3）原来的矩形绿地与现在铺过小路后的矩形区域是否相似?为什么?
（1）矩形绿地的长与宽的比值$m=$,铺过小路后的矩形的长与宽的比值$n=$;(用含有$a$,$b$,$x$的代数式表示)
（2）请比较$m$与$n$的大小;
（3）原来的矩形绿地与现在铺过小路后的矩形区域是否相似?为什么?
答案
解：
(1) $\boldsymbol{\frac{a}{b}}$；$\boldsymbol{\frac{a+2x}{b+2x}}$
(2) 作差得：
$\begin{aligned}m-n&=\frac{a}{b}-\frac{a+2x}{b+2x}\\&=\frac{a(b+2x)-b(a+2x)}{b(b+2x)}\\&=\frac{2x(a-b)}{b(b+2x)}\end{aligned}$
由题意可知$a＞b$，$x＞0$，$b＞0$，因此$2x(a-b)＞0$，$b(b+2x)＞0$，即$m-n＞0$，所以$\boldsymbol{m＞n}$。
(3) 不相似。
理由：相似多边形要求对应边成比例，由(2)得$m＞n$，即$\frac{a}{b}≠\frac{a+2x}{b+2x}$，两个矩形的长与宽的比值不相等，对应边不成比例，因此原来的矩形绿地与铺过小路后的矩形区域不相似。
(1) $\boldsymbol{\frac{a}{b}}$；$\boldsymbol{\frac{a+2x}{b+2x}}$
(2) 作差得：
$\begin{aligned}m-n&=\frac{a}{b}-\frac{a+2x}{b+2x}\\&=\frac{a(b+2x)-b(a+2x)}{b(b+2x)}\\&=\frac{2x(a-b)}{b(b+2x)}\end{aligned}$
由题意可知$a＞b$，$x＞0$，$b＞0$，因此$2x(a-b)＞0$，$b(b+2x)＞0$，即$m-n＞0$，所以$\boldsymbol{m＞n}$。
(3) 不相似。
理由：相似多边形要求对应边成比例，由(2)得$m＞n$，即$\frac{a}{b}≠\frac{a+2x}{b+2x}$，两个矩形的长与宽的比值不相等，对应边不成比例，因此原来的矩形绿地与铺过小路后的矩形区域不相似。
解析
【分析】
（1）求长与宽的比值直接用长除以宽即可：绿地长为a、宽为b，直接计算比值；铺环形小路后，矩形的长和宽在原绿地基础上各增加2x（左右、上下各有宽为x的小路），再计算新的长宽比。
（2）比较两个分式的大小采用作差法：将m与n作差，通分化简后，结合已知条件$a＞b$、$x＞0$、$b＞0$判断差的正负，即可得出m和n的大小关系。
（3）判断两个矩形是否相似，相似多边形要求对应角相等、对应边成比例：矩形的四个角都是直角，对应角已经相等，只需判断对应边是否成比例，即长宽比是否相等，结合第（2）问的结论即可判断。
【解析】
（1）矩形绿地的长为$a$ m、宽为$b$ m，因此长与宽的比值$m=\frac{a}{b}$；
铺小路后，新矩形的长为$(a+2x)$ m，宽为$(b+2x)$ m，因此长与宽的比值$n=\frac{a+2x}{b+2x}$。
（2）用作差法比较m和n的大小：
$\begin{aligned}m-n&=\frac{a}{b}-\frac{a+2x}{b+2x}\\&=\frac{a(b+2x)-b(a+2x)}{b(b+2x)}\\&=\frac{2x(a-b)}{b(b+2x)}\end{aligned}$
由题意可知$a＞b＞0$，$x＞0$，因此$2x(a-b)＞0$，$b(b+2x)＞0$，可得$m-n＞0$，即$m＞n$。
（3）不相似，理由如下：
相似多边形需要满足对应角相等、对应边成比例两个条件。两个矩形的四个角都是直角，对应角相等，但由（2）可知$m＞n$，即$\frac{a}{b}≠\frac{a+2x}{b+2x}$，说明两个矩形的对应边不成比例，因此原来的矩形绿地与铺过小路后的矩形区域不相似。
【答案】
(1) $\frac{a}{b}$；$\frac{a+2x}{b+2x}$
(2) $m＞n$
(3) 不相似，两个矩形对应边不成比例，不符合相似多边形的判定条件。
【知识点】
相似多边形判定、分式作差比较大小、列代数式
【点评】
本题结合生活场景设计问题，综合考察了代数式列写、分式运算、大小比较以及相似多边形的判定，需要熟练掌握作差法比较大小的方法，以及相似图形的核心判定要求。
【难度系数】
0.7
（1）求长与宽的比值直接用长除以宽即可：绿地长为a、宽为b，直接计算比值；铺环形小路后，矩形的长和宽在原绿地基础上各增加2x（左右、上下各有宽为x的小路），再计算新的长宽比。
（2）比较两个分式的大小采用作差法：将m与n作差，通分化简后，结合已知条件$a＞b$、$x＞0$、$b＞0$判断差的正负，即可得出m和n的大小关系。
（3）判断两个矩形是否相似，相似多边形要求对应角相等、对应边成比例：矩形的四个角都是直角，对应角已经相等，只需判断对应边是否成比例，即长宽比是否相等，结合第（2）问的结论即可判断。
【解析】
（1）矩形绿地的长为$a$ m、宽为$b$ m，因此长与宽的比值$m=\frac{a}{b}$；
铺小路后，新矩形的长为$(a+2x)$ m，宽为$(b+2x)$ m，因此长与宽的比值$n=\frac{a+2x}{b+2x}$。
（2）用作差法比较m和n的大小：
$\begin{aligned}m-n&=\frac{a}{b}-\frac{a+2x}{b+2x}\\&=\frac{a(b+2x)-b(a+2x)}{b(b+2x)}\\&=\frac{2x(a-b)}{b(b+2x)}\end{aligned}$
由题意可知$a＞b＞0$，$x＞0$，因此$2x(a-b)＞0$，$b(b+2x)＞0$，可得$m-n＞0$，即$m＞n$。
（3）不相似，理由如下：
相似多边形需要满足对应角相等、对应边成比例两个条件。两个矩形的四个角都是直角，对应角相等，但由（2）可知$m＞n$，即$\frac{a}{b}≠\frac{a+2x}{b+2x}$，说明两个矩形的对应边不成比例，因此原来的矩形绿地与铺过小路后的矩形区域不相似。
【答案】
(1) $\frac{a}{b}$；$\frac{a+2x}{b+2x}$
(2) $m＞n$
(3) 不相似，两个矩形对应边不成比例，不符合相似多边形的判定条件。
【知识点】
相似多边形判定、分式作差比较大小、列代数式
【点评】
本题结合生活场景设计问题，综合考察了代数式列写、分式运算、大小比较以及相似多边形的判定，需要熟练掌握作差法比较大小的方法，以及相似图形的核心判定要求。
【难度系数】
0.7
