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1.(周口市商水县期末)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的汉族传统民间艺术之一.它历史悠久,风格独特,深受大家的喜爱.为了迎接2025蛇年新年,小慧向妈妈学习剪纸,装饰门窗烘托节日气氛.如图,现有4张背面完全一样的剪纸画卡片,将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上.
(1)从中随机抽取1张卡片,抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为
(2)若从中随机抽取1张卡片后不放回,再随机抽取1张,请用画树状图或列表的方法,求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率.
(1)从中随机抽取1张卡片,抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为
$\dfrac{1}{4}$
;(2)若从中随机抽取1张卡片后不放回,再随机抽取1张,请用画树状图或列表的方法,求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率.
答案
(1)$\dfrac{1}{4}$
(2)解:是轴对称图形的卡片有B和C,根据题意画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果,$\therefore P$(两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
1. 求解第(1)问：首先依据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合的图形），判断4张卡片里中心对称图形的个数，再用“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。
2. 求解第(2)问：先依据轴对称图形的定义（沿某条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形）筛选出轴对称的卡片，再按照不放回抽取的规则，通过树状图列出所有等可能结果，找出两次都抽到轴对称图形的结果数，最后代入概率公式计算。
【解析】
(1) 逐个判断4张卡片的对称性：
卡片A是中心对称图形，不是轴对称图形；卡片B是轴对称图形，不是中心对称图形；卡片C是轴对称图形，不是中心对称图形；卡片D既不是轴对称也不是中心对称图形。
可知中心对称图形共1个，总共有4张卡片，因此抽到中心对称图形的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 由上述判断得，轴对称的卡片为B、C共2张。按照不放回抽取规则画树状图：
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片都是轴对称图形的结果有2种，因此对应概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}$
(2)解:是轴对称图形的卡片有B和C,根据题意画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果,$\therefore P$(两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
【知识点】
中心对称图形识别，轴对称图形识别，概率计算
【点评】
本题结合传统剪纸文化设计题目，同时考查了图形对称性的判断和概率的计算，解题核心是先准确识别图形的对称性，再注意不放回抽取的规则，避免计数出错。
【难度系数】
0.7
1. 求解第(1)问：首先依据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合的图形），判断4张卡片里中心对称图形的个数，再用“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。
2. 求解第(2)问：先依据轴对称图形的定义（沿某条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形）筛选出轴对称的卡片，再按照不放回抽取的规则，通过树状图列出所有等可能结果，找出两次都抽到轴对称图形的结果数，最后代入概率公式计算。
【解析】
(1) 逐个判断4张卡片的对称性：
卡片A是中心对称图形，不是轴对称图形；卡片B是轴对称图形，不是中心对称图形；卡片C是轴对称图形，不是中心对称图形；卡片D既不是轴对称也不是中心对称图形。
可知中心对称图形共1个，总共有4张卡片，因此抽到中心对称图形的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 由上述判断得，轴对称的卡片为B、C共2张。按照不放回抽取规则画树状图：
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片都是轴对称图形的结果有2种，因此对应概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}$
(2)解:是轴对称图形的卡片有B和C,根据题意画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果,$\therefore P$(两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
【知识点】
中心对称图形识别，轴对称图形识别，概率计算
【点评】
本题结合传统剪纸文化设计题目，同时考查了图形对称性的判断和概率的计算，解题核心是先准确识别图形的对称性，再注意不放回抽取的规则，避免计数出错。
【难度系数】
0.7
2. 在一个不透明的布袋里装有4个标有数字1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同.李强从布袋中随机取出一个小球,记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样就确定了点M的坐标$(x,y)$.
(1)用画树状图或列表的方法,写出点M所有可能的坐标;
(2)求点$M(x,y)$在函数$y=x+1$的图象上的概率.
(1)用画树状图或列表的方法,写出点M所有可能的坐标;
(2)求点$M(x,y)$在函数$y=x+1$的图象上的概率.
答案
(1)解:画树状图如图:
共有12种等可能的结果,点M的坐标分别为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3).
(2)在12种等可能的结果中,点M在函数$y=x+1$的图象上的有(1,2)、(2,3)、(3,4)这3种结果,$\therefore P$(点M在函数$y=x+1$的图象上)$=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
首先解决第一问，本题是不放回的两步随机抽取事件，可通过树状图法有序列举所有等可能的结果：第一步先确定李强抽取的x的所有可能值（1、2、3、4），第二步针对每个x的值，确定王芳从剩余3个球中抽取的y的所有可能值，即可得到点M的全部坐标。解决第二问时，先根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，筛选出满足y=x+1的点的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，点M的坐标分别为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)。
(2) 一次函数y=x+1图象上的点满足纵坐标比横坐标大1，在上述12种等可能的结果中，符合条件的点有(1,2)、(2,3)、(3,4)，共3种结果。
根据概率公式可得：
$P$(点M在函数$y=x+1$的图象上)$=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1) 点M所有可能的坐标为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，树状图：
(2) $\dfrac{1}{4}$
【知识点】
树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，概率公式
【点评】
本题属于概率与一次函数的综合题，解题的核心是正确列举出不放回抽取的所有等可能结果，再结合一次函数的性质筛选出符合要求的情况，最后代入概率公式计算即可，解题时要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异，避免错算总情况数。
【难度系数】
0.7
首先解决第一问，本题是不放回的两步随机抽取事件，可通过树状图法有序列举所有等可能的结果：第一步先确定李强抽取的x的所有可能值（1、2、3、4），第二步针对每个x的值，确定王芳从剩余3个球中抽取的y的所有可能值，即可得到点M的全部坐标。解决第二问时，先根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，筛选出满足y=x+1的点的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，点M的坐标分别为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)。
(2) 一次函数y=x+1图象上的点满足纵坐标比横坐标大1，在上述12种等可能的结果中，符合条件的点有(1,2)、(2,3)、(3,4)，共3种结果。
根据概率公式可得：
$P$(点M在函数$y=x+1$的图象上)$=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1) 点M所有可能的坐标为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，树状图：
(2) $\dfrac{1}{4}$
【知识点】
树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，概率公式
【点评】
本题属于概率与一次函数的综合题，解题的核心是正确列举出不放回抽取的所有等可能结果，再结合一次函数的性质筛选出符合要求的情况，最后代入概率公式计算即可，解题时要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异，避免错算总情况数。
【难度系数】
0.7
3.（长沙市中考）湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行.论坛聚焦美育与阅读融合.为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表.（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格）
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了
（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率。
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了
100
名学生的成绩；表中$m=$0.20
，$n=$44
；（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为
72
度；（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率。
答案
(1)100 0.20 44
(2)72
(3)解:记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件E,设一班的2名学生为甲和乙,二班的2名学生为丙和丁,画出树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中事件E包含4种等可能的结果.$\therefore P(E)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题思路：
（1）求抽取的总人数时，利用统计图表中已知等级的人数和对应频率，根据“总人数=某等级人数÷对应频率”计算；再根据“频率=某等级人数÷总人数”“某等级人数=总人数×对应频率”分别求解m和n的值。
（2）扇形统计图中某部分对应的圆心角为360°乘该部分所占的频率，代入A等的频率即可计算出结果。
（3）求解概率时，先将4名学生按班级分类标记，用树状图列出所有抽取2名学生的等可能结果，再统计出2人来自同一班级的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
（1）由统计图表信息可知，C等级人数为22，对应频率为0.22，因此抽取的总人数为$22÷0.22=100$名；
A等级人数为20，因此$m=20÷100=0.20$；
B等级对应频率为0.44，因此$n=100×0.44=44$。
（2）“A等”对应的频率为0.20，因此其对应扇形的圆心角为$360°×0.20=72°$。
（3）记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件E，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图如下：
由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中2名学生来自同一个班级的结果有4种，因此$P(E)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1)$100$；$0.20$；$44$
(2)$72$
(3)解:记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件E,设一班的2名学生为甲和乙,二班的2名学生为丙和丁,画出树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中事件E包含4种等可能的结果.$\therefore P(E)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
【知识点】
扇形统计图的应用，概率的计算，树状图法求概率
【点评】
本题为统计与概率的综合题型，既考查了统计图表的信息读取、数据计算能力，也考查了概率的求解方法，结合实际情境出题，是中考的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：
（1）求抽取的总人数时，利用统计图表中已知等级的人数和对应频率，根据“总人数=某等级人数÷对应频率”计算；再根据“频率=某等级人数÷总人数”“某等级人数=总人数×对应频率”分别求解m和n的值。
（2）扇形统计图中某部分对应的圆心角为360°乘该部分所占的频率，代入A等的频率即可计算出结果。
（3）求解概率时，先将4名学生按班级分类标记，用树状图列出所有抽取2名学生的等可能结果，再统计出2人来自同一班级的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
（1）由统计图表信息可知，C等级人数为22，对应频率为0.22，因此抽取的总人数为$22÷0.22=100$名；
A等级人数为20，因此$m=20÷100=0.20$；
B等级对应频率为0.44，因此$n=100×0.44=44$。
（2）“A等”对应的频率为0.20，因此其对应扇形的圆心角为$360°×0.20=72°$。
（3）记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件E，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图如下：
由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中2名学生来自同一个班级的结果有4种，因此$P(E)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1)$100$；$0.20$；$44$
(2)$72$
(3)解:记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件E,设一班的2名学生为甲和乙,二班的2名学生为丙和丁,画出树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中事件E包含4种等可能的结果.$\therefore P(E)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
【知识点】
扇形统计图的应用，概率的计算，树状图法求概率
【点评】
本题为统计与概率的综合题型，既考查了统计图表的信息读取、数据计算能力，也考查了概率的求解方法，结合实际情境出题，是中考的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
