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12.(实践探究问题)要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,记喷出的水与池中心的水平距离为$x$ m,距地面的高度为$y$ m.测量得到下表所示的数值:
小腾根据学习函数的经验,发现$y$是$x$的函数,并对其规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)在平面直角坐标系$xOy$中,描出表中各组数值所对应的点$(x,y)$,并画出函数的图象;
(2)出水口距离地面的高度为m,估计水达到最高点时距离池中心的水平距离为m(结果保留小数点后一位);
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2 m,如果只调整水管的高度,其他条件不变,估计出水口至少需要(填“升高”或“降低”)m(结果保留小数点后一位).
小腾根据学习函数的经验,发现$y$是$x$的函数,并对其规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)在平面直角坐标系$xOy$中,描出表中各组数值所对应的点$(x,y)$,并画出函数的图象;
(2)出水口距离地面的高度为m,估计水达到最高点时距离池中心的水平距离为m(结果保留小数点后一位);
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2 m,如果只调整水管的高度,其他条件不变,估计出水口至少需要(填“升高”或“降低”)m(结果保留小数点后一位).
答案
解：
(1) 在给定平面直角坐标系中描出点$(0,2.44)$、$(0.5,3.1)$、$(1,3.49)$、$(1.5,3.45)$、$(2,3.04)$、$(2.5,2.25)$、$(3,1.09)$、$(3.37,0)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下的抛物线形函数图象。
(2) 当$x=0$时，$y=2.44$，即出水口距离地面的高度为$2.44\ \mathrm{m}$。
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，将$(0,2.44)$、$(1,3.49)$、$(2,3.04)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=2.44 \\a+b+c=3.49 \\4a+2b+c=3.04\end{cases}$
解得$a=-0.75$，$b=1.8$，$c=2.44$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1.8}{2×(-0.75)}=1.2$，即水达到最高点时距离池中心的水平距离为$1.2\ \mathrm{m}$。
(3) 设调整后出水口高度为$k\ \mathrm{m}$，其他条件不变，新的函数解析式为$y=-0.75x^2+1.8x+k$。
要求水柱落地点与池中心的距离不超过$3.2\ \mathrm{m}$，即当$x=3.2$时，$y≤0$，代入得：
$-0.75×3.2^2 + 1.8×3.2 +k ≤ 0$
解得$k≤1.92$。
原出水口高度为$2.44\ \mathrm{m}$，$2.44-1.92\approx0.5\ \mathrm{m}$，因此出水口至少需要降低$0.5\ \mathrm{m}$。
答：(2) 出水口距离地面的高度为$2.44\ \mathrm{m}$，水达到最高点时距离池中心的水平距离为$1.2\ \mathrm{m}$；(3) 出水口至少需要降低$0.5\ \mathrm{m}$，可满足水柱落地点与池中心的距离不超过$3.2\ \mathrm{m}$。
(1) 在给定平面直角坐标系中描出点$(0,2.44)$、$(0.5,3.1)$、$(1,3.49)$、$(1.5,3.45)$、$(2,3.04)$、$(2.5,2.25)$、$(3,1.09)$、$(3.37,0)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下的抛物线形函数图象。
(2) 当$x=0$时，$y=2.44$，即出水口距离地面的高度为$2.44\ \mathrm{m}$。
设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，将$(0,2.44)$、$(1,3.49)$、$(2,3.04)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=2.44 \\a+b+c=3.49 \\4a+2b+c=3.04\end{cases}$
解得$a=-0.75$，$b=1.8$，$c=2.44$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1.8}{2×(-0.75)}=1.2$，即水达到最高点时距离池中心的水平距离为$1.2\ \mathrm{m}$。
(3) 设调整后出水口高度为$k\ \mathrm{m}$，其他条件不变，新的函数解析式为$y=-0.75x^2+1.8x+k$。
要求水柱落地点与池中心的距离不超过$3.2\ \mathrm{m}$，即当$x=3.2$时，$y≤0$，代入得：
$-0.75×3.2^2 + 1.8×3.2 +k ≤ 0$
解得$k≤1.92$。
原出水口高度为$2.44\ \mathrm{m}$，$2.44-1.92\approx0.5\ \mathrm{m}$，因此出水口至少需要降低$0.5\ \mathrm{m}$。
答：(2) 出水口距离地面的高度为$2.44\ \mathrm{m}$，水达到最高点时距离池中心的水平距离为$1.2\ \mathrm{m}$；(3) 出水口至少需要降低$0.5\ \mathrm{m}$，可满足水柱落地点与池中心的距离不超过$3.2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这道题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：1. 第(1)问按照表中数据在坐标系中描点，再用平滑曲线连接即可得到抛物线型的函数图象；2. 第(2)问中，出水口对应x=0的位置，直接读取x=0时的y值就是出水口高度；要找最高点对应的水平距离，就是求二次函数图象顶点的横坐标，先通过待定系数法代入三个已知点坐标求出二次函数解析式，再利用对称轴公式计算即可；3. 第(3)问中，调整水管高度仅改变函数的常数项，二次项和一次项系数不变，根据落地点距离不超过3.2m的要求，即x=3.2时y≤0，代入解析式求出新的常数项最大值，再和原出水口高度作差即可得到调整的高度和方向。
【解析】
(1) 先在平面直角坐标系中依次描出点$(0,2.44)$、$(0.5,3.1)$、$(1,3.49)$、$(1.5,3.45)$、$(2,3.04)$、$(2.5,2.25)$、$(3,1.09)$、$(3.37,0)$，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到开口向下的抛物线形函数图象。
(2) 当$x=0$时，对应水管顶端出水口的位置，此时$y=2.44$，所以出水口距离地面的高度为2.44m。
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，选取$(0,2.44)$、$(1,3.49)$、$(2,3.04)$三个点代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}c=2.44 \\a+b+c=3.49 \\4a+2b+c=3.04\end{cases}$
把$c=2.44$代入后两个方程化简，解得$a=-0.75$，$b=1.8$，所以解析式为$y=-0.75x^2+1.8x+2.44$。
抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1.8}{2×(-0.75)}=1.2$，即水达到最高点时距离池中心的水平距离为1.2m。
(3) 调整水管高度时，水柱的抛物线形状不变，即$a、b$的值不变，设调整后出水口高度为$k\ \mathrm{m}$，则新的函数解析式为$y=-0.75x^2+1.8x+k$。
要求水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，即当$x=3.2$时，水柱高度$y≤0$，将$x=3.2$代入解析式：
$-0.75×3.2^2 + 1.8×3.2 +k ≤ 0$
计算解得$k≤1.92$。
原出水口高度为2.44m，$2.44-1.92≈0.5\ \mathrm{m}$，所以出水口至少需要降低0.5m。
【答案】
(1) 图象见解析；
(2) $\boldsymbol{2.44}$，$\boldsymbol{1.2}$；
(3) $\boldsymbol{降低}$，$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题结合喷水池喷水的生活场景，考查了二次函数相关知识在实际问题中的应用，需要学生具备建立函数模型的意识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合题意利用函数性质求解取值范围，兼顾了对计算能力和应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
这道题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：1. 第(1)问按照表中数据在坐标系中描点，再用平滑曲线连接即可得到抛物线型的函数图象；2. 第(2)问中，出水口对应x=0的位置，直接读取x=0时的y值就是出水口高度；要找最高点对应的水平距离，就是求二次函数图象顶点的横坐标，先通过待定系数法代入三个已知点坐标求出二次函数解析式，再利用对称轴公式计算即可；3. 第(3)问中，调整水管高度仅改变函数的常数项，二次项和一次项系数不变，根据落地点距离不超过3.2m的要求，即x=3.2时y≤0，代入解析式求出新的常数项最大值，再和原出水口高度作差即可得到调整的高度和方向。
【解析】
(1) 先在平面直角坐标系中依次描出点$(0,2.44)$、$(0.5,3.1)$、$(1,3.49)$、$(1.5,3.45)$、$(2,3.04)$、$(2.5,2.25)$、$(3,1.09)$、$(3.37,0)$，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到开口向下的抛物线形函数图象。
(2) 当$x=0$时，对应水管顶端出水口的位置，此时$y=2.44$，所以出水口距离地面的高度为2.44m。
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，选取$(0,2.44)$、$(1,3.49)$、$(2,3.04)$三个点代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}c=2.44 \\a+b+c=3.49 \\4a+2b+c=3.04\end{cases}$
把$c=2.44$代入后两个方程化简，解得$a=-0.75$，$b=1.8$，所以解析式为$y=-0.75x^2+1.8x+2.44$。
抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1.8}{2×(-0.75)}=1.2$，即水达到最高点时距离池中心的水平距离为1.2m。
(3) 调整水管高度时，水柱的抛物线形状不变，即$a、b$的值不变，设调整后出水口高度为$k\ \mathrm{m}$，则新的函数解析式为$y=-0.75x^2+1.8x+k$。
要求水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，即当$x=3.2$时，水柱高度$y≤0$，将$x=3.2$代入解析式：
$-0.75×3.2^2 + 1.8×3.2 +k ≤ 0$
计算解得$k≤1.92$。
原出水口高度为2.44m，$2.44-1.92≈0.5\ \mathrm{m}$，所以出水口至少需要降低0.5m。
【答案】
(1) 图象见解析；
(2) $\boldsymbol{2.44}$，$\boldsymbol{1.2}$；
(3) $\boldsymbol{降低}$，$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题结合喷水池喷水的生活场景，考查了二次函数相关知识在实际问题中的应用，需要学生具备建立函数模型的意识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合题意利用函数性质求解取值范围，兼顾了对计算能力和应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
