登录
7.如图，某隧道的截面是一个半径为3.4 m的半圆形，一辆宽3.2 m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一起最高为
3
m.答案
3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将实际通行场景转化为几何模型：卡车恰好通过隧道时，卡车顶部的两个顶点刚好落在半圆上。我们可以利用半圆半径都相等的性质，结合勾股定理构造直角三角形求解高度：首先求出卡车宽度的一半，作为直角三角形的水平直角边，半圆半径为直角三角形的斜边，竖直直角边就是卡车的最大高度，代入勾股定理计算即可。
【解析】
设卡车连车带货的最高高度为$ h $ m。
已知半圆半径$ r=3.4 $ m，卡车宽3.2 m，因此卡车侧边到圆心O的水平距离为$ 3.2÷2=1.6 $ m。
卡车恰好通过时，顶部顶点在半圆上，由勾股定理可得：
$ h^2 + 1.6^2 = 3.4^2 $
计算得：
$ h^2 = 3.4^2 - 1.6^2 = 11.56 - 2.56 = 9 $
因为高度为正数，所以$ h=\sqrt{9}=3 $ m。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于几何知识的实际应用类问题，解题的核心是将实际场景抽象为直角三角形与半圆结合的几何模型，利用圆的半径相等和勾股定理完成计算，注重考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要将实际通行场景转化为几何模型：卡车恰好通过隧道时，卡车顶部的两个顶点刚好落在半圆上。我们可以利用半圆半径都相等的性质，结合勾股定理构造直角三角形求解高度：首先求出卡车宽度的一半，作为直角三角形的水平直角边，半圆半径为直角三角形的斜边，竖直直角边就是卡车的最大高度，代入勾股定理计算即可。
【解析】
设卡车连车带货的最高高度为$ h $ m。
已知半圆半径$ r=3.4 $ m，卡车宽3.2 m，因此卡车侧边到圆心O的水平距离为$ 3.2÷2=1.6 $ m。
卡车恰好通过时，顶部顶点在半圆上，由勾股定理可得：
$ h^2 + 1.6^2 = 3.4^2 $
计算得：
$ h^2 = 3.4^2 - 1.6^2 = 11.56 - 2.56 = 9 $
因为高度为正数，所以$ h=\sqrt{9}=3 $ m。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于几何知识的实际应用类问题，解题的核心是将实际场景抽象为直角三角形与半圆结合的几何模型，利用圆的半径相等和勾股定理完成计算，注重考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
8.如图，AB，BC是$\odot O$的两条弦，$AO⊥ BC$，垂足为D，若$\odot O$的直径为5，$BC＝4$，则AD的长为
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件AO⊥BC，想到运用垂径定理得到BC的一半长度；其次圆的计算问题常通过连接半径构造直角三角形，借助勾股定理求出未知线段OD的长度；最后AD的长为半径AO与OD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接OB，
∵⊙O的直径为5，
∴半径$OA=OB=\frac{5}{2}=2.5$，
∵$AO⊥BC$，$BC=4$，根据垂径定理得：$BD=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt△ ODB$中，由勾股定理得：$OD^2+BD^2=OB^2$，
代入数值：$OD^2+2^2=2.5^2$，
解得$OD^2=6.25-4=2.25$，则$OD=1.5$（线段长度为正），
∴$AD=AO+OD=2.5+1.5=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，重点考查垂径定理和勾股定理的结合应用，解题关键是连接半径构造直角三角形，掌握这类常规辅助线的做法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件AO⊥BC，想到运用垂径定理得到BC的一半长度；其次圆的计算问题常通过连接半径构造直角三角形，借助勾股定理求出未知线段OD的长度；最后AD的长为半径AO与OD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接OB，
∵⊙O的直径为5，
∴半径$OA=OB=\frac{5}{2}=2.5$，
∵$AO⊥BC$，$BC=4$，根据垂径定理得：$BD=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt△ ODB$中，由勾股定理得：$OD^2+BD^2=OB^2$，
代入数值：$OD^2+2^2=2.5^2$，
解得$OD^2=6.25-4=2.25$，则$OD=1.5$（线段长度为正），
∴$AD=AO+OD=2.5+1.5=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，重点考查垂径定理和勾股定理的结合应用，解题关键是连接半径构造直角三角形，掌握这类常规辅助线的做法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9.数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测出$AB=40\ \mathrm{cm},CD=10\ \mathrm{cm}$,则圆形工件的半径为
25
cm.答案
25
解析
【分析】
要求残缺圆形工件的半径，可利用垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，可知圆心在CD所在直线上。我们可以设半径为r，连接圆心与点A得到半径r，此时得到以r为斜边，AB的一半、(r-CD)为直角边的直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设残缺圆形工件所在圆的圆心为O，半径为$ r \, \mathrm{cm} $，连接$ OA $。
∵ $ CD $是$ AB $的垂直平分线，
∴ 圆心$ O $在直线$ CD $上，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 40 = 20 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ ODA = 90° $。
∵ $ CD = 10 \, \mathrm{cm} $，
∴ $ OD = OC - CD = (r - 10) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
即 $ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $，
展开得 $ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $，
移项化简得 $ 20r = 500 $，
解得 $ r = 25 $。
【答案】
25
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是垂径定理的实际应用类题目，解题核心是构造直角三角形，将几何线段长度关系转化为方程求解，是圆中求半径、弦长的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
要求残缺圆形工件的半径，可利用垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，可知圆心在CD所在直线上。我们可以设半径为r，连接圆心与点A得到半径r，此时得到以r为斜边，AB的一半、(r-CD)为直角边的直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
设残缺圆形工件所在圆的圆心为O，半径为$ r \, \mathrm{cm} $，连接$ OA $。
∵ $ CD $是$ AB $的垂直平分线，
∴ 圆心$ O $在直线$ CD $上，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 40 = 20 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ ODA = 90° $。
∵ $ CD = 10 \, \mathrm{cm} $，
∴ $ OD = OC - CD = (r - 10) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
即 $ r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 $，
展开得 $ r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 $，
移项化简得 $ 20r = 500 $，
解得 $ r = 25 $。
【答案】
25
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是垂径定理的实际应用类题目，解题核心是构造直角三角形，将几何线段长度关系转化为方程求解，是圆中求半径、弦长的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
10.如图,$\odot O$的直径为10,两条弦$AB⊥ CD$,垂足为$E$,且$AB=CD=8$,则$OE=$
$3\sqrt{2}$
.答案
$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解决本题首先要运用垂径定理计算圆心到弦的弦心距：首先根据圆的直径求出半径，再结合弦长的一半，用勾股定理算出弦心距；再根据两条弦互相垂直、且弦心距相等的条件，判断两条弦心距与垂足、圆心构成的图形是正方形，最后利用正方形对角线的性质求出OE的长度。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，$ON ⊥ CD$于点N，连接OA。
∵$\odot O$的直径为10，
∴半径$OA=5$。
根据垂径定理，$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$。
在$Rt△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
同理可得$ON=3$。
∵$AB ⊥ CD$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ CD$，
∴$∠ OME=∠ ONE=∠ MEN=90°$，
∴四边形OMEN是矩形，
又
∵$OM=ON=3$，
∴矩形OMEN是正方形，
∴$OE=\sqrt{OM^2 + ON^2}=\sqrt{3^2 + 3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题目，解题的关键是合理作出弦心距，构造直角三角形和特殊四边形，将线段的求解转化为特殊图形的边长计算，综合性不强，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要运用垂径定理计算圆心到弦的弦心距：首先根据圆的直径求出半径，再结合弦长的一半，用勾股定理算出弦心距；再根据两条弦互相垂直、且弦心距相等的条件，判断两条弦心距与垂足、圆心构成的图形是正方形，最后利用正方形对角线的性质求出OE的长度。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，$ON ⊥ CD$于点N，连接OA。
∵$\odot O$的直径为10，
∴半径$OA=5$。
根据垂径定理，$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$。
在$Rt△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
同理可得$ON=3$。
∵$AB ⊥ CD$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ CD$，
∴$∠ OME=∠ ONE=∠ MEN=90°$，
∴四边形OMEN是矩形，
又
∵$OM=ON=3$，
∴矩形OMEN是正方形，
∴$OE=\sqrt{OM^2 + ON^2}=\sqrt{3^2 + 3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题目，解题的关键是合理作出弦心距，构造直角三角形和特殊四边形，将线段的求解转化为特殊图形的边长计算，综合性不强，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$\odot O$中,直径$AB$垂直弦$CD$于点$E$.
(1)求证:$AC=AD$.
(2)若$AC=10$,$CD=12$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$AC=AD$.
(2)若$AC=10$,$CD=12$,求$\odot O$的半径.
答案
(1)证明:$\because$ 直径 $AB$ 垂直弦 $CD$ 于点 $E$,$\therefore CE=DE,\therefore AC=AD$.
(2)$\because CD=12,CE=DE,\therefore CE=DE=6,\therefore AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=8$,
连接 $OC$,设圆的半径为 $r$,则 $OC=r,CE=6,OE=AE-OA=8-r$,
$\therefore (8-r)^2+6^2=r^2$,解得 $r=\dfrac{25}{4}$.
$\odot O$ 的半径为 $\dfrac{25}{4}$.
(2)$\because CD=12,CE=DE,\therefore CE=DE=6,\therefore AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=8$,
连接 $OC$,设圆的半径为 $r$,则 $OC=r,CE=6,OE=AE-OA=8-r$,
$\therefore (8-r)^2+6^2=r^2$,解得 $r=\dfrac{25}{4}$.
$\odot O$ 的半径为 $\dfrac{25}{4}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$AC=AD$，可结合已知的直径$AB$垂直弦$CD$，优先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，得到弧$AC$和弧$AD$相等，再根据等弧对等弦即可完成证明；也可通过AB是CD的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质证明。
(2) 求圆的半径时，先根据垂径定理求出$CE$的长度，在$Rt△ ACE$中用勾股定理算出$AE$的长度，再连接$OC$设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OE$的长度，最后在$Rt△ OCE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 直径$AB$垂直弦$CD$于点$E$，
$\therefore$ 由垂径定理得$CE=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，
根据等弧对等弦的性质，可得$AC=AD$。
(2) 解：$\because CD=12$，$CE=DE$，
$\therefore CE=DE=\frac{1}{2}CD=6$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=10$，$CE=6$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OA=r$，
$\therefore OE=AE-OA=8-r$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入得$r^2=(8-r)^2+6^2$，
展开整理得$16r=100$，
解得$r=\dfrac{25}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$\dfrac{25}{4}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基础常考题，重点考查垂径定理的应用，以及结合勾股定理列方程求圆半径的常用思路，解题的关键是熟练掌握垂径定理，能灵活构造直角三角形进行计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC=AD$，可结合已知的直径$AB$垂直弦$CD$，优先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，得到弧$AC$和弧$AD$相等，再根据等弧对等弦即可完成证明；也可通过AB是CD的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质证明。
(2) 求圆的半径时，先根据垂径定理求出$CE$的长度，在$Rt△ ACE$中用勾股定理算出$AE$的长度，再连接$OC$设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OE$的长度，最后在$Rt△ OCE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 直径$AB$垂直弦$CD$于点$E$，
$\therefore$ 由垂径定理得$CE=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，
根据等弧对等弦的性质，可得$AC=AD$。
(2) 解：$\because CD=12$，$CE=DE$，
$\therefore CE=DE=\frac{1}{2}CD=6$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=10$，$CE=6$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OA=r$，
$\therefore OE=AE-OA=8-r$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入得$r^2=(8-r)^2+6^2$，
展开整理得$16r=100$，
解得$r=\dfrac{25}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$\dfrac{25}{4}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基础常考题，重点考查垂径定理的应用，以及结合勾股定理列方程求圆半径的常用思路，解题的关键是熟练掌握垂径定理，能灵活构造直角三角形进行计算。
【难度系数】
0.7
12.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12 m，拱顶离水面高CD为3 m.
(1)求圆弧所在圆的半径.
(2)现有一艘宽9 m，船舱顶部水平，并且高出水面1.8 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
(1)求圆弧所在圆的半径.
(2)现有一艘宽9 m，船舱顶部水平，并且高出水面1.8 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
答案
(1)$AD=\dfrac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$,连接 $OA$.
设 $OA=OC=x\ \mathrm{m}$,则 $OD=OC-CD=(x-3)\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$OA^2=OD^2+AD^2$,则 $x^2=(x-3)^2+6^2$,解得 $x=7.5$,
圆弧所在圆的半径为 $7.5\ \mathrm{m}$.
(2)连接 $OM$,则 $MN=9\ \mathrm{m}$.
$\because OC ⊥ MN,\therefore MH=\dfrac{1}{2}MN=4.5\ \mathrm{m}$,在 $\mathrm{Rt}△ OMH$ 中,$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=6\ \mathrm{m}$,
$\because OD=OC-CD=4.5\ \mathrm{m},\therefore HD=OH-OD=1.5\ \mathrm{m}＜1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 货船不能顺利通过这座拱桥.
设 $OA=OC=x\ \mathrm{m}$,则 $OD=OC-CD=(x-3)\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$OA^2=OD^2+AD^2$,则 $x^2=(x-3)^2+6^2$,解得 $x=7.5$,
圆弧所在圆的半径为 $7.5\ \mathrm{m}$.
(2)连接 $OM$,则 $MN=9\ \mathrm{m}$.
$\because OC ⊥ MN,\therefore MH=\dfrac{1}{2}MN=4.5\ \mathrm{m}$,在 $\mathrm{Rt}△ OMH$ 中,$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=6\ \mathrm{m}$,
$\because OD=OC-CD=4.5\ \mathrm{m},\therefore HD=OH-OD=1.5\ \mathrm{m}＜1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 货船不能顺利通过这座拱桥.
解析
【分析】
(1)求圆弧半径可利用垂径定理，CD垂直平分AB，先得到AD的长度，连接半径OA，设半径为x，用含x的式子表示OD的长度，再在直角三角形AOD中用勾股定理列方程求解即可。
(2)判断货船能否通过，需计算货船宽度对应的桥洞高度是否大于货船高出水面的高度：取货船宽度对应的弦MN=9m，由垂径定理得MH的长度，连接OM，在直角三角形OMH中用勾股定理求出OH的长度，再计算MN到水面AB的高度HD，和1.8m比较大小，若HD≥1.8则能通过，反之不能。
【解析】
(1) 由垂径定理可知CD垂直平分AB，因此$AD=\dfrac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，连接 $OA$。
设圆的半径$OA=OC=x\ \mathrm{m}$，则$OD=OC-CD=(x-3)\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中，由勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，代入得 $x^2=(x-3)^2+6^2$，
展开计算：$x^2=x^2-6x+9+36$，化简得$6x=45$，解得 $x=7.5$。
(2) 假设货船刚好从桥洞正中通过，连接 $OM$，此时货船宽度对应弦长$MN=9\ \mathrm{m}$。
$\because OC ⊥ MN$，由垂径定理得$MH=\dfrac{1}{2}MN=4.5\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ OMH$ 中，由勾股定理得$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=6\ \mathrm{m}$，
已知$OD=OC-CD=7.5-3=4.5\ \mathrm{m}$，因此MN到水面的高度$HD=OH-OD=6-4.5=1.5\ \mathrm{m}$，
$\because 1.5\ \mathrm{m}＜1.8\ \mathrm{m}$，因此货船无法通过。
【答案】
(1) 圆弧所在圆的半径为$\boldsymbol{7.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 此货船$\boldsymbol{不能}$顺利通过这座拱桥。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的实际应用
【点评】
本题是圆的性质在生活中的典型应用题，解题核心是将实际问题转化为几何中的弦长、高度计算问题，通过构造直角三角形结合勾股定理求解，考查了学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1)求圆弧半径可利用垂径定理，CD垂直平分AB，先得到AD的长度，连接半径OA，设半径为x，用含x的式子表示OD的长度，再在直角三角形AOD中用勾股定理列方程求解即可。
(2)判断货船能否通过，需计算货船宽度对应的桥洞高度是否大于货船高出水面的高度：取货船宽度对应的弦MN=9m，由垂径定理得MH的长度，连接OM，在直角三角形OMH中用勾股定理求出OH的长度，再计算MN到水面AB的高度HD，和1.8m比较大小，若HD≥1.8则能通过，反之不能。
【解析】
(1) 由垂径定理可知CD垂直平分AB，因此$AD=\dfrac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，连接 $OA$。
设圆的半径$OA=OC=x\ \mathrm{m}$，则$OD=OC-CD=(x-3)\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中，由勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，代入得 $x^2=(x-3)^2+6^2$，
展开计算：$x^2=x^2-6x+9+36$，化简得$6x=45$，解得 $x=7.5$。
(2) 假设货船刚好从桥洞正中通过，连接 $OM$，此时货船宽度对应弦长$MN=9\ \mathrm{m}$。
$\because OC ⊥ MN$，由垂径定理得$MH=\dfrac{1}{2}MN=4.5\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ OMH$ 中，由勾股定理得$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=6\ \mathrm{m}$，
已知$OD=OC-CD=7.5-3=4.5\ \mathrm{m}$，因此MN到水面的高度$HD=OH-OD=6-4.5=1.5\ \mathrm{m}$，
$\because 1.5\ \mathrm{m}＜1.8\ \mathrm{m}$，因此货船无法通过。
【答案】
(1) 圆弧所在圆的半径为$\boldsymbol{7.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 此货船$\boldsymbol{不能}$顺利通过这座拱桥。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的实际应用
【点评】
本题是圆的性质在生活中的典型应用题，解题核心是将实际问题转化为几何中的弦长、高度计算问题，通过构造直角三角形结合勾股定理求解，考查了学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
