10. 若点$A(a, b)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，则代数式$ab+1$的值为。

10. -4

【分析】
解题时首先要明确反比例函数图象上点的坐标的性质：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标代入函数解析式，等式都成立。我们可以先把点A的坐标代入给定的反比例函数解析式，推导得到ab的值，再将ab的值代入代数式ab+1中计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵点$A(a, b)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入$y=-\dfrac{5}{x}$，可得：$b=-\dfrac{5}{a}$，
∵反比例函数的自变量取值不为0，即$a≠0$，等式两边同乘$a$得：$ab=-5$，
∴$ab+1=-5+1=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对函数图象与点的坐标对应关系的理解，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一核心知识点，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

11. 反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 图象上有两点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，若 $x_1+x_2=0$，则 $y_1+y_2$ 的值为 。

11. 0

【分析】
解题思路可分为三步：首先，明确函数图象上的点的坐标满足函数解析式这一核心结论，因此可以用横坐标分别表示出两点的纵坐标；其次，根据已知$x_1+x_2=0$，推导得到$x_2=-x_1$的关系；最后，将$x_2=-x_1$代入纵坐标的表达式，计算$y_1+y_2$的和即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上
∴ $y_1=\frac{1}{x_1}$，$y_2=\frac{1}{x_2}$
又
∵ $x_1+x_2=0$
∴ $x_2=-x_1$
将$x_2=-x_1$代入$y_2=\frac{1}{x_2}$，得：$y_2=\frac{1}{-x_1}=-\frac{1}{x_1}$
∴ $y_1+y_2=\frac{1}{x_1}+(-\frac{1}{x_1})=0$
【答案】
0
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一基本性质，结合相反数的特征代入计算即可，不需要复杂的推导，只要细心就能得分。
【难度系数】
0.9

12. 已知反比例函数 $y=\frac{k+1}{x}$ 的图象经过点$(-3,2)$。
（1）求该函数表达式，并画出函数图象；
（2）当 $x=3$ 时，求 $y$ 的值；
（3）当 $y=-1$ 时，求 $x$ 的值。

12. (1) $y=-\frac{6}{x}$
(2) -2
(3) 6

【分析】
解决本题的核心是利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式这一性质：
1. 第(1)问采用待定系数法，将已知点的坐标代入函数表达式，求出未知参数的值即可确定函数解析式，再结合反比例函数图象为双曲线的特征，通过列表、描点、连线的步骤画出图象即可；
2. 第(2)问直接将x=3代入已求得的函数表达式，计算即可得到对应的y值；
3. 第(3)问将y=-1代入函数表达式，解关于x的分式方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 已知反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$的图象经过点$(-3,2)$，将$x=-3$，$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k+1}{-3}$
两边同乘$-3$得：$k+1=-6$
因此该函数表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
函数图象绘制：该函数图象是位于第二、四象限的双曲线，可先列表取点（如$x$取$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6$，对应$y$为$1,2,3,6,-6,-3,-2,-1$），再描点、用平滑曲线连接各点即可得到图象。
(2) 把$x=3$代入$y=-\frac{6}{x}$得：
$y=-\frac{6}{3}=-2$
(3) 把$y=-1$代入$y=-\frac{6}{x}$得：
$-1=-\frac{6}{x}$
两边同乘$x$得：$-x=-6$，解得$x=6$，经检验$x=6$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\frac{6}{x}$
(2) -2
(3) 6
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象、代入求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，考查核心是基础运算能力和对反比例函数基本性质的理解，熟练掌握待定系数法和代入计算的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

13. 已知矩形的面积为9，相邻两边的长分别为a和b.
（1）求b关于a的函数表达式，并写出自变量a的取值范围；
（2）画出该函数的图象.

13. (1) $b=\frac{9}{a},a＞0$ (2) 略

【分析】
（1）解题思路：首先运用矩形面积公式，矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积为9可得到a与b的等量关系，通过等式变形即可得到b关于a的函数表达式；结合边长的实际意义为正数，就能确定自变量a的取值范围。（2）反比例函数图象绘制遵循“列表、描点、连线”的步骤，因自变量a＞0，只需绘制第一象限内的图象即可。
【解析】
（1）已知矩形相邻两边长为a、b，面积为9，根据矩形面积公式$S=ab$，可得$ab=9$，将等式变形为用含a的代数式表示b，即$b=\frac{9}{a}$。
因为a是矩形的边长，边长必须为正数，所以自变量a的取值范围是$a＞0$。
（2）绘制图象步骤：
①列表：选取多个$a＞0$的取值，计算对应的b值，比如取a=1、2、3、6、9，对应b=9、4.5、3、1.5、1；
②描点：在平面直角坐标系中，横轴表示a，纵轴表示b，将列表得到的对应点在坐标系中标出；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，所得位于第一象限的双曲线即为该函数的图象，注意图象两端无限接近坐标轴但不与坐标轴相交。
【答案】
(1) $b=\frac{9}{a},a＞0$ (2) 略
【知识点】
1. 反比例函数表达式
2. 矩形面积计算
3. 反比例函数图象绘制
【点评】
本题结合矩形面积的实际背景考查反比例函数的相关知识，重点考查根据实际意义确定自变量取值范围的能力，以及反比例函数图象的绘制方法，属于基础常规题，需注意实际问题中反比例函数的图象通常仅出现在第一象限。
【难度系数】
0.9

14. 已知$ y = y_1 + y_2 $，其中$ y_1 $与$ x^2 $成正比例，$ y_2 $与$ x $成反比例，并且当$ x = \frac{1}{2} $时，$ y = 5 $；当$ x = 1 $时，$ y = -1 $，求$ y $与$ x $之间的函数表达式。

14. $y=-4x^2+\frac{3}{x}$

【分析】
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$与$x$的含未知系数的函数关系式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入关系式，得到关于未知系数的二元一次方程组；最后解方程组求出未知系数，即可得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x^2$成正比例，$y_2$与$x$成反比例
$\therefore$ 设$y_1 = k_1x^2$（$k_1≠0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）
则$y = y_1 + y_2 = k_1x^2 + \frac{k_2}{x}$
将$x=\frac{1}{2}$，$y=5$和$x=1$，$y=-1$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1·(\frac{1}{2})^2 + \frac{k_2}{\frac{1}{2}} = 5 \\ k_1·1^2 + \frac{k_2}{1} = -1 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}\frac{1}{4}k_1 + 2k_2 = 5 ①\\ k_1 + k_2 = -1 ②\end{cases}$
由②得：$k_1 = -1 - k_2$，代入①：
$\frac{1}{4}(-1 - k_2) + 2k_2 = 5$
两边同乘4得：$-1 - k_2 + 8k_2 = 20$
解得：$7k_2 = 21$，$k_2=3$
将$k_2=3$代入②得：$k_1 = -1 -3 = -4$
将$k_1=-4$，$k_2=3$代入$y = k_1x^2 + \frac{k_2}{x}$，得$y = -4x^2 + \frac{3}{x}$
【答案】
$y=-4x^2+\frac{3}{x}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用待定系数法求解组合类函数的解析式，解题的关键是准确根据正、反比例函数的定义设出对应函数形式，再代入已知条件求解未知系数，熟练掌握该方法可为后续函数类问题的求解打下基础。
【难度系数】
0.7

15. 如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A，C的坐标为$(-5,0)$，$(0,6)$，反比例函数图象$L_1$对应的函数表达式为$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$，反比例函数图象$L_2$对应的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(x＜0,k≠0)$.把矩形ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”.
(1) 若$k=-12$，则$L_2$和$L_1$之间(不含边界)有个“整数点”；
(2) 若$L_2$和$L_1$之间(不含边界)有4个“整数点”，求$k$的取值范围.

15. (1) 当$k=-12$时，$y=-\frac{12}{x}$经过$(-2,6),(-3,4),(-4,3)$,如图,画出$L_2$的图象，由图可知:$L_2$和$L_1$之间(不含边界)有4个优点
(2) $-12≤ k＜-10$或$-4＜k≤ -3$. 如果$L_2$和$L_1$之间(不含边界)有4个“优点”，分别为$(-2,5),(-2,4),(-3,3),(-4,2)$时，$-12≤ k＜-10$;如果$L_2$和$L_1$之间(不含边界)有4个“优点”，分别为$(-1,5),(-1,4),(-2,2),(-4,1)$时，$-4＜k≤ -3$

【分析】
解题前先明确矩形ABCO内部的整数点坐标范围：横坐标x满足-5＜x＜0，即整数x可取-4、-3、-2、-1；纵坐标y满足0＜y＜6，即整数y可取1、2、3、4、5。
(1) 当k=-12时，先确定$L_2$的表达式为$y=-\frac{12}{x}$，对每个整数x，分别计算$L_1$、$L_2$对应的y值，找出介于两个函数值之间的整数y的个数，求和即可得到整数点总数。
(2) 分两种情况讨论：①$L_2$在$L_1$上方（$k＜-6$），此时y的取值范围为$-\frac{6}{x} ＜ y ＜ \frac{k}{x}$，结合4个整数点的坐标确定k的边界值；②$L_2$在$L_1$下方（$-6＜k＜0$），此时y的取值范围为$\frac{k}{x} ＜ y ＜ -\frac{6}{x}$，同样结合整数点坐标推导k的取值范围。
【解析】
(1) 由$A(-5,0)$、$C(0,6)$得：矩形内部$x\in(-5,0)$，$y\in(0,6)$，整数x为-4、-3、-2、-1，整数y为1~5。
当$k=-12$时，$L_2:y=-\frac{12}{x}$：
①$x=-4$时，$L_1$对应的$y=-\frac{6}{-4}=1.5$，$L_2$对应的$y=-\frac{12}{-4}=3$，满足$1.5＜y＜3$的整数y为2，对应点$(-4,2)$，共1个；
②$x=-3$时，$L_1$对应的$y=2$，$L_2$对应的$y=4$，满足$2＜y＜4$的整数y为3，对应点$(-3,3)$，共1个；
③$x=-2$时，$L_1$对应的$y=3$，$L_2$对应的$y=6$，满足$3＜y＜6$的整数y为4、5，对应点$(-2,4)$、$(-2,5)$，共2个；
④$x=-1$时，$L_1$对应的$y=6$，矩形内$y＜6$，无符合条件的点。
合计$1+1+2=4$个整数点。
(2) 分两种情况讨论：
①当$L_2$在$L_1$上方，即$k＜-6$时，此时符合条件的4个整数点为$(-4,2)$、$(-3,3)$、$(-2,4)$、$(-2,5)$：
要使这4个点在区域内：当$x=-2$时，需满足$5 ＜ \frac{k}{-2}$，即$k＜-10$；当$x=-3$时，需满足$4 ≥ \frac{k}{-3}$，即$k≥-12$。故此时k的取值范围为$-12≤ k＜-10$。
②当$L_2$在$L_1$下方，即$-6＜k＜0$时，此时符合条件的4个整数点为$(-1,4)$、$(-1,5)$、$(-2,2)$、$(-4,1)$：
要使这4个点在区域内：当$x=-1$时，需满足$3 ≥ \frac{k}{-1}$，即$k≥-3$；当$x=-2$时，需满足$2＞ \frac{k}{-2}$，即$k＞-4$。故此时k的取值范围为$-4＜k≤-3$。
综上，k的取值范围是$-12≤ k＜-10$或$-4＜k≤-3$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，对应图象；
(2) $\boxed{-12≤ k＜-10}$或$\boxed{-4＜k≤ -3}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，新定义理解，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义“整数点”考查反比例函数的相关性质，解题时需要结合数形结合思想，先确定坐标的取值范围，再分情况讨论推导参数的取值范围，能有效锻炼对函数图象的感知能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6