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9. |方程思想 一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴在杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为 (
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
B
)A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
9. B 解析:设圆心为 O,EF 为过点 O 的纸条宽,连接 OC,OA,则 EF ⊥ CD,EF ⊥ AB,
∴ $CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$(cm),$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5$(cm).设 OE=x cm,则 OF=(3.5-x) cm.又
∵ OC=OA,
∴ $CE^2+OE^2=AF^2+OF^2$,即$2^2+x^2=1.5^2+(3.5-x)^2$,解得 x=1.5,
∴ 半径$OC=\sqrt{2^2+x^2}=2.5$(cm),即直径为 5 cm,故选 B.
解析
【分析】
要解决这个实际测量问题，首先将其转化为圆的几何问题：把纸杯杯口看作圆形，AB、CD是圆内的两条平行弦，纸条宽度就是两条平行弦的间距。首先利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，即可得到两条弦一半的长度；再设圆心到其中一条弦的距离为未知数，结合两条弦对应的半径相等，用勾股定理分别表示半径的平方，列方程求解出未知数，最终就能算出杯口的直径。
【解析】
设杯口对应的圆圆心为O，过点O作$EF⊥ CD$，交CD于点E，交AB于点F，由题意可知EF为纸条的宽度，即$EF=3.5\ \mathrm{cm}$，且$EF⊥ AB$。
根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$。
设$OE=x\ \mathrm{cm}$，则$OF=(3.5-x)\ \mathrm{cm}$，连接OC、OA，二者均为圆的半径，故$OC=OA$。
在$Rt△ OCE$和$Rt△ OAF$中，由勾股定理得：
$OC^2=CE^2+OE^2$，$OA^2=AF^2+OF^2$，
因此$CE^2+OE^2=AF^2+OF^2$，代入数据得：
$2^2+x^2=1.5^2+(3.5-x)^2$，
展开整理得$7x=10.5$，解得$x=1.5$。
则半径$OC=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5\ \mathrm{cm}$，
因此纸杯的直径为$2×2.5=5\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
这是一道结合生活场景的几何应用题，需要学生将实际问题转化为数学模型，综合运用垂径定理、勾股定理，通过列方程求解未知量，能很好地锻炼学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个实际测量问题，首先将其转化为圆的几何问题：把纸杯杯口看作圆形，AB、CD是圆内的两条平行弦，纸条宽度就是两条平行弦的间距。首先利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，即可得到两条弦一半的长度；再设圆心到其中一条弦的距离为未知数，结合两条弦对应的半径相等，用勾股定理分别表示半径的平方，列方程求解出未知数，最终就能算出杯口的直径。
【解析】
设杯口对应的圆圆心为O，过点O作$EF⊥ CD$，交CD于点E，交AB于点F，由题意可知EF为纸条的宽度，即$EF=3.5\ \mathrm{cm}$，且$EF⊥ AB$。
根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$。
设$OE=x\ \mathrm{cm}$，则$OF=(3.5-x)\ \mathrm{cm}$，连接OC、OA，二者均为圆的半径，故$OC=OA$。
在$Rt△ OCE$和$Rt△ OAF$中，由勾股定理得：
$OC^2=CE^2+OE^2$，$OA^2=AF^2+OF^2$，
因此$CE^2+OE^2=AF^2+OF^2$，代入数据得：
$2^2+x^2=1.5^2+(3.5-x)^2$，
展开整理得$7x=10.5$，解得$x=1.5$。
则半径$OC=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5\ \mathrm{cm}$，
因此纸杯的直径为$2×2.5=5\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
这是一道结合生活场景的几何应用题，需要学生将实际问题转化为数学模型，综合运用垂径定理、勾股定理，通过列方程求解未知量，能很好地锻炼学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
10. 已知$\odot O$的半径为2，$\odot O$中有两条平行的弦AB和CD，AB=2，CD=$2\sqrt{3}$，则两条弦之间的距离为
$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$
。答案
10. $\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$ 解析:①当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时,如图①所示,作 OF ⊥ AB,交 CD 于 E,
∵ AB=2,CD=$2\sqrt{3}$,
∴ AF=1,CE=$\sqrt{3}$.
∵ OA=OC=2,
∴ EO=1,OF=$\sqrt{3}$,
∴ EF=OF-OE=$\sqrt{3}-1$;
②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时,如图②所示,作 OF ⊥ CD,OE ⊥ AB,
∵ AB=2,CD=$2\sqrt{3}$,
∴ AE=1,CF=$\sqrt{3}$.
∵ OA=OC=2,
∴ EO=$\sqrt{3}$,OF=1,
∴ EF=OF+OE=1+$\sqrt{3}$.综上所述,AB 和 CD 之间的距离为$\sqrt{3}-1$或$\sqrt{3}+1$.故答案为$\sqrt{3}-1$或$\sqrt{3}+1$.
解析
【分析】
求解本题首先要明确圆内两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，需分类讨论求解。解题时先利用垂径定理，过圆心作弦的垂线，得到弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理分别计算出圆心到每条弦的距离，最后根据两条弦的位置关系，将两个距离相加或相减即可得到弦之间的距离。
【解析】
本题分两种情况讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①所示，过点O作OF⊥AB于F，交CD于E，
∵AB//CD，
∴OE⊥CD，
由垂径定理得：$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ AOF$中，$OA=2$，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ COE$中，$OC=2$，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴两条弦之间的距离$EF=OF-OE=\sqrt{3}-1$；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②所示，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
同理可得：$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴两条弦之间的距离$EF=OE+OF=\sqrt{3}+1$。
综上，两条弦之间的距离为$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略平行弦在圆心异侧的情况，导致漏解。解题时需先考虑所有可能的位置关系，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
求解本题首先要明确圆内两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，需分类讨论求解。解题时先利用垂径定理，过圆心作弦的垂线，得到弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理分别计算出圆心到每条弦的距离，最后根据两条弦的位置关系，将两个距离相加或相减即可得到弦之间的距离。
【解析】
本题分两种情况讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①所示，过点O作OF⊥AB于F，交CD于E，
∵AB//CD，
∴OE⊥CD，
由垂径定理得：$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ AOF$中，$OA=2$，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ COE$中，$OC=2$，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴两条弦之间的距离$EF=OF-OE=\sqrt{3}-1$；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②所示，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
同理可得：$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴两条弦之间的距离$EF=OE+OF=\sqrt{3}+1$。
综上，两条弦之间的距离为$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略平行弦在圆心异侧的情况，导致漏解。解题时需先考虑所有可能的位置关系，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
11. （成都中考）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$与$\odot O$相交于$A,B$两点，且点$A$在$x$轴上，则弦$AB$的长为________。
答案
11. $2\sqrt{3}$ 解析:如图,过点 O 作 OC ⊥ AB 于点 C,设 AB 交 y 轴于点 D,
∵ AB 为弦,
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB$.直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$与$\odot O$相交于 A,B 两点,当 y=0 时,$\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}=0$,解得 x=-2,当 x=0 时,$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴ OA=2,$OD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{2^2+(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
∵ ∠ACO=∠AOD=90°,∠CAO=∠OAD,
∴ △OAC∽△DAO,
∴ $\frac{AC}{AO}=\frac{AO}{AD}$,即$AC=\frac{AO^2}{AD}=\frac{4}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$,
∴ AB=2AC=$2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要求圆的弦长AB，首先联想到垂径定理：过圆心作弦的垂线，可将弦长转化为2倍的半弦长，只需先求出半弦长即可。解题思路如下：第一步，根据直线解析式求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到OA、OD的长度；第二步，在Rt△AOD中用勾股定理计算AD的长度；第三步，证明△OAC与△DAO相似，利用相似三角形的对应边成比例求出AC的长度，最后乘2得到AB的长。
【解析】
过点O作$OC ⊥ AB$于点C，设AB交y轴于点D。
由垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
对于直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$：
当$y=0$时，代入解析式得$\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$，$\therefore OA=2$；
当$x=0$时，代入解析式得$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即$D(0,\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$\therefore OD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{2^2+(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\because ∠ ACO=∠ AOD=90°$，$∠ CAO=∠ OAD$，
$\therefore △ OAC ∽ △ DAO$，
$\therefore \frac{AC}{AO}=\frac{AO}{AD}$，代入数值得$AC=\frac{AO^2}{AD}=\frac{4}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；一次函数交点；相似三角形性质
【点评】
本题是圆与一次函数结合的典型题型，解题核心是利用垂径定理作辅助线，将弦长求解转化为半弦长计算，再结合相似三角形的性质完成求解，较好地考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求圆的弦长AB，首先联想到垂径定理：过圆心作弦的垂线，可将弦长转化为2倍的半弦长，只需先求出半弦长即可。解题思路如下：第一步，根据直线解析式求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到OA、OD的长度；第二步，在Rt△AOD中用勾股定理计算AD的长度；第三步，证明△OAC与△DAO相似，利用相似三角形的对应边成比例求出AC的长度，最后乘2得到AB的长。
【解析】
过点O作$OC ⊥ AB$于点C，设AB交y轴于点D。
由垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
对于直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$：
当$y=0$时，代入解析式得$\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$，$\therefore OA=2$；
当$x=0$时，代入解析式得$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即$D(0,\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$\therefore OD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{2^2+(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\because ∠ ACO=∠ AOD=90°$，$∠ CAO=∠ OAD$，
$\therefore △ OAC ∽ △ DAO$，
$\therefore \frac{AC}{AO}=\frac{AO}{AD}$，代入数值得$AC=\frac{AO^2}{AD}=\frac{4}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；一次函数交点；相似三角形性质
【点评】
本题是圆与一次函数结合的典型题型，解题核心是利用垂径定理作辅助线，将弦长求解转化为半弦长计算，再结合相似三角形的性质完成求解，较好地考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图①,重庆特色的九宫格火锅分九格:四角格、十字格、中心格(中心格一般为正方形).隔板的设计有以下两种:①如图②所示,横纵隔板$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,D_1D_2$两两垂直交于隔板的三等分点;②如图③所示,横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘圆周的八等分点$M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6,M_7,M_8$.已知圆锅直径为40 cm.
(1)求图②的中心格面积$S_1$;
(2)求两种设计的中心格面积$S_1$与$S_2$的差.
(1)求图②的中心格面积$S_1$;
(2)求两种设计的中心格面积$S_1$与$S_2$的差.
答案
12. (1)如图①,过点 O 作 OB ⊥ A₁A₂ 于点 B,连接 OA₁,由题意得 OA₁=20 cm,A₁H=HI=IA₂,由中心格是正方形可得$OB=HB=BI=\frac{1}{2}HI=\frac{1}{2}A_1H$.设 OB=x cm,则 A₁B=3x cm.在 Rt△A₁BO 中,由勾股定理得$x^2+9x^2=400$,
∴ $x^2=40$,
∴ $S_1=4x^2=160$(cm²).
(2)如图②,过点 C 作 CF ⊥ M₁M₄,垂足为 F,连接 CM₁,CG,M₄M₈.由题意得 CM₄=CM₈=20 cm,CF=FG.
∵ 横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点,
∴ 圆锅边缘每段弧所对的圆心角的度数为 45°,
∴ ∠M₄CM₁=45°×3=135°,
∴ ∠CM₄F=$\frac{1}{2}×(180°-135°)=22.5°$.
∵ ∠CGF=45°,
∴ ∠M₄CG=∠CGF-∠CM₄F=22.5°=∠CM₄F,
∴ CG=M₄G=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$GF,
∴ FM₄=M₄G+FG=($\sqrt{2}+1$)·CF,
∴ 在 Rt△CM₄F 中,由勾股定理得$CF^2+FM_4^2=CM_4^2$,即$CF^2+(\sqrt{2}+1)^2·CF^2=400$,
∴ $CF^2=200-100\sqrt{2}$,
∴ $S_2=4CF^2=(800-400\sqrt{2})$cm²,
∴ $S_2-S_1=800-400\sqrt{2}-160=(640-400\sqrt{2})$cm².
解析
【分析】
(1) 求图②的中心格面积$S_1$：首先明确圆锅半径为20 cm，横纵隔板交于三等分点且中心格为正方形。我们可以过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到直角三角形，设未知数表示直角三角形的两条直角边，用勾股定理列方程求出未知数的平方，再根据中心格边长和未知数的关系即可算出面积。
(2) 求$S_1$与$S_2$的差：先求$S_2$，图③中圆周被八等分，每段弧对应圆心角为45°，同样过圆心作弦的垂线，先推导相关角度的大小，得到线段间的数量关系，再在直角三角形中用勾股定理求出对应未知数的平方，算出$S_2$后作差即可。
【解析】
(1) 过点$O$作$OB ⊥ A_1A_2$于点$B$，连接$OA_1$，由题意得$OA_1=40÷2=20\ \mathrm{cm}$。
∵ 横纵隔板交于三等分点，
∴ $A_1H=HI=IA_2$，又中心格为正方形，可得$OB=HB=BI=\frac{1}{2}HI=\frac{1}{2}A_1H$。
设$OB=x\ \mathrm{cm}$，则$A_1B=A_1H+HB=2x+x=3x\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A_1BO$中，由勾股定理得：$OB^2+A_1B^2=OA_1^2$，即$x^2+(3x)^2=20^2$，
化简得$10x^2=400$，
∴ $x^2=40$。
中心格$S_1$的边长为$2x$，
∴ $S_1=(2x)^2=4x^2=4×40=160\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 过点$C$作$CF ⊥ M_1M_4$，垂足为$F$，连接$CM_1$、$CM_4$，由题意得$CM_4=20\ \mathrm{cm}$，$CF=FG$。
∵ 圆周被八等分，
∴ 每段弧所对圆心角为$360°÷8=45°$，
∴ $∠ M_4CM_1=3×45°=135°$。
在$△ CM_4M_1$中，$CM_4=CM_1=20\ \mathrm{cm}$，
∴ $∠ CM_4F=\frac{1}{2}×(180°-135°)=22.5°$。
∵ 横纵隔板垂直，
∴ $∠ CGF=45°$，由三角形外角性质得$∠ M_4CG=∠ CGF-∠ CM_4F=45°-22.5°=22.5°=∠ CM_4F$，
∴ $CG=M_4G$，在等腰$\mathrm{Rt}△ CFG$中，$CG=\sqrt{2}CF=\sqrt{2}GF$，
∴ $M_4G=\sqrt{2}CF$，
∴ $FM_4=M_4G+GF=\sqrt{2}CF+CF=(\sqrt{2}+1)CF$。
在$\mathrm{Rt}△ CM_4F$中，由勾股定理得$CF^2+FM_4^2=CM_4^2$，即$CF^2+[(\sqrt{2}+1)CF]^2=20^2$，
展开得$CF^2+(3+2\sqrt{2})CF^2=400$，即$(4+2\sqrt{2})CF^2=400$，
化简得$CF^2=200-100\sqrt{2}$。
中心格$S_2$的边长为$2CF$，
∴ $S_2=(2CF)^2=4CF^2=4×(200-100\sqrt{2})=800-400\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
∴ $S_2-S_1=(800-400\sqrt{2})-160=640-400\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S_1=\boxed{160\ \mathrm{cm}^2}$；(2) $S_1$与$S_2$的差为$\boxed{(640-400\sqrt{2})\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质与几何面积计算，解题时需要准确梳理图形中的线段、角度关系，合理设未知数利用勾股定理建立方程求解，对几何分析能力和根式计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 求图②的中心格面积$S_1$：首先明确圆锅半径为20 cm，横纵隔板交于三等分点且中心格为正方形。我们可以过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到直角三角形，设未知数表示直角三角形的两条直角边，用勾股定理列方程求出未知数的平方，再根据中心格边长和未知数的关系即可算出面积。
(2) 求$S_1$与$S_2$的差：先求$S_2$，图③中圆周被八等分，每段弧对应圆心角为45°，同样过圆心作弦的垂线，先推导相关角度的大小，得到线段间的数量关系，再在直角三角形中用勾股定理求出对应未知数的平方，算出$S_2$后作差即可。
【解析】
(1) 过点$O$作$OB ⊥ A_1A_2$于点$B$，连接$OA_1$，由题意得$OA_1=40÷2=20\ \mathrm{cm}$。
∵ 横纵隔板交于三等分点，
∴ $A_1H=HI=IA_2$，又中心格为正方形，可得$OB=HB=BI=\frac{1}{2}HI=\frac{1}{2}A_1H$。
设$OB=x\ \mathrm{cm}$，则$A_1B=A_1H+HB=2x+x=3x\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A_1BO$中，由勾股定理得：$OB^2+A_1B^2=OA_1^2$，即$x^2+(3x)^2=20^2$，
化简得$10x^2=400$，
∴ $x^2=40$。
中心格$S_1$的边长为$2x$，
∴ $S_1=(2x)^2=4x^2=4×40=160\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 过点$C$作$CF ⊥ M_1M_4$，垂足为$F$，连接$CM_1$、$CM_4$，由题意得$CM_4=20\ \mathrm{cm}$，$CF=FG$。
∵ 圆周被八等分，
∴ 每段弧所对圆心角为$360°÷8=45°$，
∴ $∠ M_4CM_1=3×45°=135°$。
在$△ CM_4M_1$中，$CM_4=CM_1=20\ \mathrm{cm}$，
∴ $∠ CM_4F=\frac{1}{2}×(180°-135°)=22.5°$。
∵ 横纵隔板垂直，
∴ $∠ CGF=45°$，由三角形外角性质得$∠ M_4CG=∠ CGF-∠ CM_4F=45°-22.5°=22.5°=∠ CM_4F$，
∴ $CG=M_4G$，在等腰$\mathrm{Rt}△ CFG$中，$CG=\sqrt{2}CF=\sqrt{2}GF$，
∴ $M_4G=\sqrt{2}CF$，
∴ $FM_4=M_4G+GF=\sqrt{2}CF+CF=(\sqrt{2}+1)CF$。
在$\mathrm{Rt}△ CM_4F$中，由勾股定理得$CF^2+FM_4^2=CM_4^2$，即$CF^2+[(\sqrt{2}+1)CF]^2=20^2$，
展开得$CF^2+(3+2\sqrt{2})CF^2=400$，即$(4+2\sqrt{2})CF^2=400$，
化简得$CF^2=200-100\sqrt{2}$。
中心格$S_2$的边长为$2CF$，
∴ $S_2=(2CF)^2=4CF^2=4×(200-100\sqrt{2})=800-400\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
∴ $S_2-S_1=(800-400\sqrt{2})-160=640-400\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S_1=\boxed{160\ \mathrm{cm}^2}$；(2) $S_1$与$S_2$的差为$\boxed{(640-400\sqrt{2})\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质与几何面积计算，解题时需要准确梳理图形中的线段、角度关系，合理设未知数利用勾股定理建立方程求解，对几何分析能力和根式计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
13. 在$\odot O$中，AB为直径，P是AB上一点，$∠ NPB=45°$.
(1) 如图①，若点P与圆心O重合，直接写出$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}$的值.
(2) 如图②，若$MP=1$，$NP=7$，求$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}$的值.
(3) 当点P在AB上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，试说明；若变化，求其变化的范围.
(1) 如图①，若点P与圆心O重合，直接写出$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}$的值.
(2) 如图②，若$MP=1$，$NP=7$，求$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}$的值.
(3) 当点P在AB上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，试说明；若变化，求其变化的范围.
答案
13. (1) $\frac{1}{2}$ 解析:设$\odot O$的半径为r,
∵ 点 P 与圆心 O 重合,
∴ MP=NP=AP=BP=r,
∴ $\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{r^2+r^2}{4r^2}=\frac{1}{2}$.
(2)如图①,作 OH ⊥ MN 于 H,连接 ON,
∴ $MH=NH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(MP+NP)=\frac{1}{2}×(1+7)=4$,
∴ PH=MH-MP=4-1=3.
∵ ∠NPB=45°,
∴ OH=PH=3.在 Rt△HON 中,$ON=\sqrt{OH^2+NH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴ AB=10,
∴ $\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{1^2+7^2}{10^2}=\frac{1}{2}$.
(3)(2)中结论不改变.作 OH ⊥ MN 于 H,连接 OM,如图②,设 PM=a,PN=b,
∴ $MH=NH=\frac{a+b}{2}$,
∴ $PH=NH-PN=\frac{a-b}{2}$.
∵ ∠NPB=45°,
∴ ∠OPH=45°,
∴ $OH=PH=\frac{a-b}{2}$.在 Rt△OMH 中,$OM=\sqrt{MH^2+OH^2}=\sqrt{(\frac{a+b}{2})^2 + (\frac{a-b}{2})^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$,
∴ $\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2} = \frac{a^2+b^2}{(2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^2} = \frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 当点P与圆心O重合时，MP、NP均为圆的半径，AB为直径，设半径为r，分别表示出对应线段长度代入分式即可计算结果。
(2) 要求比值需先求AB长度，遇到弦MN可过圆心作OH⊥MN，利用垂径定理得H为MN中点，结合已知线段长度求出MH、PH；再由∠NPB=45°得△OHP为等腰直角三角形，得到OH=PH，最后在Rt△OHN中用勾股定理求半径，即可得AB长度，代入计算比值。
(3) 探究结论是否变化，可将(2)中的具体数值替换为字母，按照(2)的思路推导，验证最终比值是否为定值即可。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为r，
∵点P与圆心O重合，
∴$MP=NP=r$，$AB=2r$，
∴$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{r^2+r^2}{(2r)^2}=\frac{2r^2}{4r^2}=\frac{1}{2}$。
(2) 过点O作$OH ⊥ MN$于H，连接ON，
根据垂径定理得$MH=NH=\frac{1}{2}MN$，
∵$MN=MP+NP=1+7=8$，
∴$MH=NH=4$，
∴$PH=MH-MP=4-1=3$，
∵$∠ NPB=45°$，$∠ OHP=90°$，
∴$△ OHP$为等腰直角三角形，$OH=PH=3$，
在$Rt△ HON$中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OH^2+NH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$AB=2ON=10$，
∴$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{1^2+7^2}{10^2}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$。
(3) (2)中的结论不改变，理由如下：
过点O作$OH ⊥ MN$于H，连接OM，设$PM=a$，$PN=b$，
根据垂径定理得$MH=NH=\frac{1}{2}MN=\frac{a+b}{2}$，
∴$PH=|NH-PN|=|\frac{a-b}{2}|$，
∵$∠ NPB=45°$，$∠ OHP=90°$，
∴$△ OHP$为等腰直角三角形，$OH=PH=|\frac{a-b}{2}|$，
在$Rt△ OMH$中，由勾股定理得：
$OM^2=MH^2+OH^2=(\frac{a+b}{2})^2 + (\frac{a-b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{2}$，
∴$AB^2=(2OM)^2=4OM^2=2(a^2+b^2)$，
∴$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2}$，即结论不变。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) 结论不变，值恒为$\frac{1}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以圆为载体，结合45°特殊角的性质，通过作弦的垂线构造直角三角形，将垂径定理、勾股定理结合求解，从特殊情况延伸到一般情况探究定值，有效考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 当点P与圆心O重合时，MP、NP均为圆的半径，AB为直径，设半径为r，分别表示出对应线段长度代入分式即可计算结果。
(2) 要求比值需先求AB长度，遇到弦MN可过圆心作OH⊥MN，利用垂径定理得H为MN中点，结合已知线段长度求出MH、PH；再由∠NPB=45°得△OHP为等腰直角三角形，得到OH=PH，最后在Rt△OHN中用勾股定理求半径，即可得AB长度，代入计算比值。
(3) 探究结论是否变化，可将(2)中的具体数值替换为字母，按照(2)的思路推导，验证最终比值是否为定值即可。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为r，
∵点P与圆心O重合，
∴$MP=NP=r$，$AB=2r$，
∴$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{r^2+r^2}{(2r)^2}=\frac{2r^2}{4r^2}=\frac{1}{2}$。
(2) 过点O作$OH ⊥ MN$于H，连接ON，
根据垂径定理得$MH=NH=\frac{1}{2}MN$，
∵$MN=MP+NP=1+7=8$，
∴$MH=NH=4$，
∴$PH=MH-MP=4-1=3$，
∵$∠ NPB=45°$，$∠ OHP=90°$，
∴$△ OHP$为等腰直角三角形，$OH=PH=3$，
在$Rt△ HON$中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OH^2+NH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$AB=2ON=10$，
∴$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{1^2+7^2}{10^2}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$。
(3) (2)中的结论不改变，理由如下：
过点O作$OH ⊥ MN$于H，连接OM，设$PM=a$，$PN=b$，
根据垂径定理得$MH=NH=\frac{1}{2}MN=\frac{a+b}{2}$，
∴$PH=|NH-PN|=|\frac{a-b}{2}|$，
∵$∠ NPB=45°$，$∠ OHP=90°$，
∴$△ OHP$为等腰直角三角形，$OH=PH=|\frac{a-b}{2}|$，
在$Rt△ OMH$中，由勾股定理得：
$OM^2=MH^2+OH^2=(\frac{a+b}{2})^2 + (\frac{a-b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{2}$，
∴$AB^2=(2OM)^2=4OM^2=2(a^2+b^2)$，
∴$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2}$，即结论不变。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) 结论不变，值恒为$\frac{1}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以圆为载体，结合45°特殊角的性质，通过作弦的垂线构造直角三角形，将垂径定理、勾股定理结合求解，从特殊情况延伸到一般情况探究定值，有效考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
