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14.(本小题满分8分)如图,在正方形网格(每个小正方形的边长都为1)中有一个格点三角形ABC(即△ABC的各顶点都在格点上).
(1)按三角形内角的大小分类,△ABC是
(2)画出△ABC中边AB上的高,$S_{△ ABC}$的值为
(3)画直线m将△ABC分成两个面积相等的三角形.
(1)按三角形内角的大小分类,△ABC是
钝角
三角形;(2)画出△ABC中边AB上的高,$S_{△ ABC}$的值为
8
;(3)画直线m将△ABC分成两个面积相等的三角形.
答案
14. 解:(1)钝角 (2)如图,CD 即为所求.8 (3)如图,直线 m 即为所求.(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要判断三角形按内角的分类，首先观察三角形的最大内角：若最大角为90°是直角三角形，小于90°是锐角三角形，大于90°是钝角三角形，观察△ABC的最大角∠ABC大于90°，即可得出类型。
(2) 画AB边上的高，需根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是这条边上的高，由于△ABC是钝角三角形，AB边上的高在AB的延长线上，过C作AB所在直线的垂线即可得到高CD；计算面积时，先数出底AB的长度，再数出高CD的长度，用三角形面积公式计算即可。
(3) 要将三角形分成面积相等的两部分，根据等底同高的三角形面积相等，只需作出三角形的任意一条中线所在的直线即可，中线是连接顶点和对边中点的线段，所以找到任意一边的中点，和相对的顶点连线得到的直线就满足要求。
【解析】
(1) 观察△ABC，最大内角∠ABC大于90°，因此△ABC是钝角三角形。
(2) 延长AB，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，线段CD即为AB边上的高。由网格可知，AB的长度为4，高CD的长度为4，根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(3) 取AB的中点，连接该中点与点C，得到的直线m即为所求，依据是三角形的中线将三角形分为两个等底同高的三角形，面积相等，画法不唯一，只要是三角形中线所在直线即可。
【答案】
(1) 钝角
(2) 如图，CD 即为所求。8
(3) 如图，直线 m 即为所求。(答案不唯一)
【知识点】
三角形的分类；三角形的高与面积计算；三角形中线的性质
【点评】
本题以网格为载体，考查三角形的基础概念与性质，侧重对基础作图能力和公式应用能力的考查，属于基础题型，只要熟练掌握相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断三角形按内角的分类，首先观察三角形的最大内角：若最大角为90°是直角三角形，小于90°是锐角三角形，大于90°是钝角三角形，观察△ABC的最大角∠ABC大于90°，即可得出类型。
(2) 画AB边上的高，需根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是这条边上的高，由于△ABC是钝角三角形，AB边上的高在AB的延长线上，过C作AB所在直线的垂线即可得到高CD；计算面积时，先数出底AB的长度，再数出高CD的长度，用三角形面积公式计算即可。
(3) 要将三角形分成面积相等的两部分，根据等底同高的三角形面积相等，只需作出三角形的任意一条中线所在的直线即可，中线是连接顶点和对边中点的线段，所以找到任意一边的中点，和相对的顶点连线得到的直线就满足要求。
【解析】
(1) 观察△ABC，最大内角∠ABC大于90°，因此△ABC是钝角三角形。
(2) 延长AB，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，线段CD即为AB边上的高。由网格可知，AB的长度为4，高CD的长度为4，根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(3) 取AB的中点，连接该中点与点C，得到的直线m即为所求，依据是三角形的中线将三角形分为两个等底同高的三角形，面积相等，画法不唯一，只要是三角形中线所在直线即可。
【答案】
(1) 钝角
(2) 如图，CD 即为所求。8
(3) 如图，直线 m 即为所求。(答案不唯一)
【知识点】
三角形的分类；三角形的高与面积计算；三角形中线的性质
【点评】
本题以网格为载体，考查三角形的基础概念与性质，侧重对基础作图能力和公式应用能力的考查，属于基础题型，只要熟练掌握相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
15.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,BD是角平分线,CE是高,BD与CE相交于点O,DF//EC.若∠ECB=30°,求∠BDF的度数.
解:∵CE是高(已知),
∴∠BEC=
在△EBC中,∠EBC=180°−∠BEC−∠ECB=
∵BD是角平分线,
∴∠EBO=$\frac{1}{2}$∠
∵∠BOC是△EBO的外角,
∴∠BOC=∠EBO+∠
∵DF//EC(已知),
∴∠BDF=∠
解:∵CE是高(已知),
∴∠BEC=
90
°(三角形高的定义).在△EBC中,∠EBC=180°−∠BEC−∠ECB=
60
°.∵BD是角平分线,
∴∠EBO=$\frac{1}{2}$∠
EBC
=30
°(角平分线的定义).∵∠BOC是△EBO的外角,
∴∠BOC=∠EBO+∠
BEC
=120
°(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
).∵DF//EC(已知),
∴∠BDF=∠
BOC
=120
°(两直线平行,同位角相等
).答案
15. 90 60 EBC 30 BEC 120 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 BOC 120 两直线平行,同位角相等
解析
【分析】
解题时可顺着题目给出的推导逻辑逐步计算：第一步先根据三角形高的定义得到CE与AB的夹角为直角；第二步利用三角形内角和为180°计算△EBC中∠EBC的度数；第三步结合角平分线的定义求出角平分线分∠EBC得到的小角∠EBO的度数；第四步利用三角形外角的性质计算△EBO的外角∠BOC的度数；最后根据平行线的同位角相等的性质，即可求出∠BDF的度数。
【解析】
∵CE是高(已知),
∴∠BEC= $\boldsymbol{90}$ °(三角形高的定义).
在△EBC中,∠EBC=180°−∠BEC−∠ECB=180°-90°-30°=$\boldsymbol{60}$ °.
∵BD是角平分线,
∴∠EBO=$\frac{1}{2}$∠$\boldsymbol{EBC}$ = $\boldsymbol{30}$ °(角平分线的定义).
∵∠BOC是△EBO的外角,
∴∠BOC=∠EBO+∠$\boldsymbol{BEC}$ =30°+90°=$\boldsymbol{120}$ °( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ).
∵DF//EC(已知),
∴∠BDF=∠$\boldsymbol{BOC}$ = $\boldsymbol{120}$ °( 两直线平行,同位角相等 ).
【答案】
依次填入：90；60；EBC；30；BEC；120；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；BOC；120；两直线平行，同位角相等
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何推导填空题，将三角形相关概念、性质与平行线性质结合考察，推导逻辑连贯，只要熟练掌握各基础性质，顺着题干提示的推导路径即可顺利解题，能很好地巩固基础几何知识、锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
解题时可顺着题目给出的推导逻辑逐步计算：第一步先根据三角形高的定义得到CE与AB的夹角为直角；第二步利用三角形内角和为180°计算△EBC中∠EBC的度数；第三步结合角平分线的定义求出角平分线分∠EBC得到的小角∠EBO的度数；第四步利用三角形外角的性质计算△EBO的外角∠BOC的度数；最后根据平行线的同位角相等的性质，即可求出∠BDF的度数。
【解析】
∵CE是高(已知),
∴∠BEC= $\boldsymbol{90}$ °(三角形高的定义).
在△EBC中,∠EBC=180°−∠BEC−∠ECB=180°-90°-30°=$\boldsymbol{60}$ °.
∵BD是角平分线,
∴∠EBO=$\frac{1}{2}$∠$\boldsymbol{EBC}$ = $\boldsymbol{30}$ °(角平分线的定义).
∵∠BOC是△EBO的外角,
∴∠BOC=∠EBO+∠$\boldsymbol{BEC}$ =30°+90°=$\boldsymbol{120}$ °( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ).
∵DF//EC(已知),
∴∠BDF=∠$\boldsymbol{BOC}$ = $\boldsymbol{120}$ °( 两直线平行,同位角相等 ).
【答案】
依次填入：90；60；EBC；30；BEC；120；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；BOC；120；两直线平行，同位角相等
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何推导填空题，将三角形相关概念、性质与平行线性质结合考察，推导逻辑连贯，只要熟练掌握各基础性质，顺着题干提示的推导路径即可顺利解题，能很好地巩固基础几何知识、锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
16.(本小题满分12分)如图,在$△ ABC$中,AD是高,AE,BF是角平分线,AE,BF相交于点O,$∠ C=70°$.
(1)求$∠ AOB$的度数;
(2)若$∠ ABC=60°$,求$∠ DAE$的度数.
(1)求$∠ AOB$的度数;
(2)若$∠ ABC=60°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
16. 解:(1)
∵∠C=70°,
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°.
∵AE,BF 分别是∠BAC,∠ABC 的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=55°.
∴∠AOB = 180°−(∠OAB + ∠OBA) = 125°.
(2)
∵在△ABC 中,AD⊥BC,∠C=70°,∠ABC=60°,
∴∠CAD = 90°−∠C = 20°,∠BAC = 180°−∠ABC−∠C = 50°.
∵AE 是∠BAC 的平分线,
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 25°.
∴∠DAE = ∠CAE−∠CAD=5°.
∵∠C=70°,
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°.
∵AE,BF 分别是∠BAC,∠ABC 的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=55°.
∴∠AOB = 180°−(∠OAB + ∠OBA) = 125°.
(2)
∵在△ABC 中,AD⊥BC,∠C=70°,∠ABC=60°,
∴∠CAD = 90°−∠C = 20°,∠BAC = 180°−∠ABC−∠C = 50°.
∵AE 是∠BAC 的平分线,
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 25°.
∴∠DAE = ∠CAE−∠CAD=5°.
解析
【分析】
(1) 求∠AOB的度数可借助三角形内角和定理推导：先由△ABC的内角和为180°，结合已知∠C的度数求出∠BAC+∠ABC的和；再利用角平分线的性质，可得∠OAB+∠OBA是∠BAC+∠ABC的一半；最后在△AOB中用内角和定理即可求出∠AOB。
(2) 求∠DAE的度数可通过角度作差得到：先由△ABC内角和求出∠BAC的度数，结合角平分线定义得∠CAE的度数；再根据AD是高，在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，用∠CAE减∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，∠C=70°，三角形内角和为180°，
∴∠BAC + ∠ABC = 180°−∠C = 180°−70°=110°，
∵AE，BF分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB + ∠OBA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×110°=55°，
在△AOB中，∠AOB = 180°−(∠OAB + ∠OBA) = 180°−55°=125°。
(2)
∵在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=70°，
∴∠BAC = 180°−∠ABC−∠C = 180°−60°−70°=50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×50°=25°，
又
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD = 90°−∠C = 90°−70°=20°，
∴∠DAE = ∠CAE−∠CAD = 25°−20°=5°。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$；(2) $\boxed{5°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题关键是理清三角形中高线、角平分线对应的角度关系，结合内角和定理逐步推导即可，计算时注意角度运算的准确性。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠AOB的度数可借助三角形内角和定理推导：先由△ABC的内角和为180°，结合已知∠C的度数求出∠BAC+∠ABC的和；再利用角平分线的性质，可得∠OAB+∠OBA是∠BAC+∠ABC的一半；最后在△AOB中用内角和定理即可求出∠AOB。
(2) 求∠DAE的度数可通过角度作差得到：先由△ABC内角和求出∠BAC的度数，结合角平分线定义得∠CAE的度数；再根据AD是高，在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，用∠CAE减∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，∠C=70°，三角形内角和为180°，
∴∠BAC + ∠ABC = 180°−∠C = 180°−70°=110°，
∵AE，BF分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB + ∠OBA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×110°=55°，
在△AOB中，∠AOB = 180°−(∠OAB + ∠OBA) = 180°−55°=125°。
(2)
∵在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=70°，
∴∠BAC = 180°−∠ABC−∠C = 180°−60°−70°=50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×50°=25°，
又
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD = 90°−∠C = 90°−70°=20°，
∴∠DAE = ∠CAE−∠CAD = 25°−20°=5°。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$；(2) $\boxed{5°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题关键是理清三角形中高线、角平分线对应的角度关系，结合内角和定理逐步推导即可，计算时注意角度运算的准确性。
【难度系数】
0.8
