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17.(本小题满分12分)已知在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c$.
(1)化简:$|a+b-c|+|b-a-c|=\_\_\_\_\_\_$;
(2)若$AB=AC$,边$AC$上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分为15和6两部分,求腰$AB$的长.
(1)化简:$|a+b-c|+|b-a-c|=\_\_\_\_\_\_$;
(2)若$AB=AC$,边$AC$上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分为15和6两部分,求腰$AB$的长.
答案
17. 解:(1)2a
(2)设 AB=AC=2x,BC=y,则 AD=CD=x.分两种情况讨论:①若 AD+AB=15,即 3x=15,且 x+y=6,解得 x=5,y=1.
∴三边长分别为10,10,1,能构成三角形.
∴AB=10;②若 CD+BC=15,即 x+y=15,且 3x=6,解得 x=2,y=13.
∵4+4=8＜13,不能构成三角形,
∴这种情况不存在.综上所述,腰 AB 的长为 10.
(2)设 AB=AC=2x,BC=y,则 AD=CD=x.分两种情况讨论:①若 AD+AB=15,即 3x=15,且 x+y=6,解得 x=5,y=1.
∴三边长分别为10,10,1,能构成三角形.
∴AB=10;②若 CD+BC=15,即 x+y=15,且 3x=6,解得 x=2,y=13.
∵4+4=8＜13,不能构成三角形,
∴这种情况不存在.综上所述,腰 AB 的长为 10.
解析
【分析】
(1) 第一小问解题核心是利用三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值化简。根据三角形两边之和大于第三边，可判断两个绝对值内式子的符号，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
(2) 第二小问首先结合等腰三角形性质和中线定义，明确BD将周长分成的两部分分别为AB+AD和BC+CD，需分两种情况讨论哪部分周长为15、哪部分为6，求出边长后，必须用三角形三边关系验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最终得到腰长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得：
$a+b ＞ c$，即$a+b-c ＞ 0$；
$a+c ＞ b$，即$b-a-c = b-(a+c) ＜ 0$；
$\begin{aligned}\therefore 原式 &= (a+b-c) + [-(b-a-c)] \\&= a+b-c -b +a +c \\&= 2a\end{aligned}$
(2) 设$AB=AC=2x$，$BC=y$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=CD=x$。
分两种情况讨论：
① 若$AD+AB=15$，则$3x=15$，且$x+y=6$，
解得$x=5$，$y=1$。
此时三边长分别为10、10、1，满足三角形三边关系，能构成三角形，故$AB=2x=10$。
② 若$CD+BC=15$，则$x+y=15$，且$3x=6$，
解得$x=2$，$y=13$。
此时三边长分别为4、4、13，
∵$4+4=8＜13$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去。
综上，腰AB的长为10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查三角形基本性质的应用，解题时需覆盖所有可能的情况分类讨论，同时求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.65
(1) 第一小问解题核心是利用三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值化简。根据三角形两边之和大于第三边，可判断两个绝对值内式子的符号，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
(2) 第二小问首先结合等腰三角形性质和中线定义，明确BD将周长分成的两部分分别为AB+AD和BC+CD，需分两种情况讨论哪部分周长为15、哪部分为6，求出边长后，必须用三角形三边关系验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最终得到腰长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得：
$a+b ＞ c$，即$a+b-c ＞ 0$；
$a+c ＞ b$，即$b-a-c = b-(a+c) ＜ 0$；
$\begin{aligned}\therefore 原式 &= (a+b-c) + [-(b-a-c)] \\&= a+b-c -b +a +c \\&= 2a\end{aligned}$
(2) 设$AB=AC=2x$，$BC=y$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=CD=x$。
分两种情况讨论：
① 若$AD+AB=15$，则$3x=15$，且$x+y=6$，
解得$x=5$，$y=1$。
此时三边长分别为10、10、1，满足三角形三边关系，能构成三角形，故$AB=2x=10$。
② 若$CD+BC=15$，则$x+y=15$，且$3x=6$，
解得$x=2$，$y=13$。
此时三边长分别为4、4、13，
∵$4+4=8＜13$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去。
综上，腰AB的长为10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查三角形基本性质的应用，解题时需覆盖所有可能的情况分类讨论，同时求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.65
18.(本小题满分12分)(1)如图①,∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系为
∠A+∠B=∠C+∠D
;(2)如图②,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD.若∠B=36°,∠D=14°,求∠P的度数;(3)如图③,CP,AG分别平分∠BCE,∠FAD,AG的反向延长线交CP于点P,请猜想∠P,∠B,∠D之间的数量关系,并说明理由.答案
18. 解:(1)∠A+∠B=∠C+∠D
(2)
∵AP,CP 分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠DCP.由(1)可得∠BAP+∠B=∠BCP+∠P,∠DAP+∠P=∠DCP+∠D,
∴∠B−∠P=∠P−∠D,即 2∠P=∠B+∠D=50°.
∴∠P=25°.
(3)2∠P=∠B+∠D.理由如下:
∵CP,AG 分别平分∠BCE,∠FAD,
∴∠ECP = ∠PCB,∠FAG = ∠GAD.
∵∠PAB = ∠FAG,
∴∠GAD = ∠PAB.
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB,
∴∠P+∠GAD=∠B+∠PCB①.
∵∠P+∠PAD=∠D+∠PCD,
∴∠P+(180°−∠GAD)=∠D+(180°−∠ECP)②. ①+②,得 2∠P=∠B+∠D.
(2)
∵AP,CP 分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠DCP.由(1)可得∠BAP+∠B=∠BCP+∠P,∠DAP+∠P=∠DCP+∠D,
∴∠B−∠P=∠P−∠D,即 2∠P=∠B+∠D=50°.
∴∠P=25°.
(3)2∠P=∠B+∠D.理由如下:
∵CP,AG 分别平分∠BCE,∠FAD,
∴∠ECP = ∠PCB,∠FAG = ∠GAD.
∵∠PAB = ∠FAG,
∴∠GAD = ∠PAB.
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB,
∴∠P+∠GAD=∠B+∠PCB①.
∵∠P+∠PAD=∠D+∠PCD,
∴∠P+(180°−∠GAD)=∠D+(180°−∠ECP)②. ①+②,得 2∠P=∠B+∠D.
解析
【分析】
（1）图①是典型的“8字形”对顶三角形，在△AOB和△COD中，对顶角∠AOB=∠COD，结合三角形内角和为180°，消去相等的对顶角即可推出四个角的数量关系；（2）利用角平分线的定义得到两组相等的角，再套用（1）中的“8字形”角的关系列出两个含∠P、∠B、∠D的等式，通过等式变形消去相等的角，代入已知角度即可求出∠P的度数；（3）先根据角平分线定义得到相等的角，结合对顶角、邻补角的性质转化角，再两次利用“8字形”的角的关系列等式，将两个等式相加消去公共角项，即可推导得到∠P、∠B、∠D的数量关系。
【解析】
(1) 在△AOB中，$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$，在△COD中，$∠ C+∠ D+∠ COD=180°$，
∵$∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），
∴$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$。
(2)
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴$∠ BAP=∠ DAP$，$∠ BCP=∠ DCP$。
由(1)的结论可得：
$∠ BAP+∠ B=∠ BCP+∠ P$ ①，
$∠ DAP+∠ P=∠ DCP+∠ D$ ②，
将①-②，结合$∠ BAP=∠ DAP$，$∠ BCP=∠ DCP$，可得：
$∠ B-∠ P=∠ P-∠ D$，即$2∠ P=∠ B+∠ D$，
代入$∠ B=36°$，$∠ D=14°$，得$2∠ P=36°+14°=50°$，
∴$∠ P=25°$。
(3) 猜想$\boldsymbol{2∠ P=∠ B+∠ D}$，理由如下：
∵CP，AG分别平分∠BCE，∠FAD，
∴$∠ ECP = ∠ PCB$，$∠ FAG = ∠ GAD$，
∵$∠ PAB = ∠ FAG$（对顶角相等），
∴$∠ GAD = ∠ PAB$。
由“8字形”角的关系得：$∠ P+∠ PAB=∠ B+∠ PCB$ ①，
∵$∠ PAD=180°-∠ GAD$，$∠ PCD=180°-∠ ECP$，代入另一组“8字形”关系可得：
$∠ P+(180°−∠ GAD)=∠ D+(180°−∠ ECP)$，
化简得：$∠ P - ∠ GAD = ∠ D - ∠ ECP$ ②，
将①+②，结合$∠ GAD=∠ PAB$，$∠ ECP=∠ PCB$，可得：
$2∠ P=∠ B+∠ D$。
【答案】
(1) $∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$
(2) $25°$
(3) $2∠ P=∠ B+∠ D$，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是角度推导的典型题型，核心考查“8字形”对顶三角形的角度等量关系，结合角平分线、邻补角等知识进行综合推导，解题时要学会寻找图中的对顶三角形结构，灵活利用等式性质消去中间角即可得到所求的角度关系。
【难度系数】
0.6
（1）图①是典型的“8字形”对顶三角形，在△AOB和△COD中，对顶角∠AOB=∠COD，结合三角形内角和为180°，消去相等的对顶角即可推出四个角的数量关系；（2）利用角平分线的定义得到两组相等的角，再套用（1）中的“8字形”角的关系列出两个含∠P、∠B、∠D的等式，通过等式变形消去相等的角，代入已知角度即可求出∠P的度数；（3）先根据角平分线定义得到相等的角，结合对顶角、邻补角的性质转化角，再两次利用“8字形”的角的关系列等式，将两个等式相加消去公共角项，即可推导得到∠P、∠B、∠D的数量关系。
【解析】
(1) 在△AOB中，$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$，在△COD中，$∠ C+∠ D+∠ COD=180°$，
∵$∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），
∴$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$。
(2)
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴$∠ BAP=∠ DAP$，$∠ BCP=∠ DCP$。
由(1)的结论可得：
$∠ BAP+∠ B=∠ BCP+∠ P$ ①，
$∠ DAP+∠ P=∠ DCP+∠ D$ ②，
将①-②，结合$∠ BAP=∠ DAP$，$∠ BCP=∠ DCP$，可得：
$∠ B-∠ P=∠ P-∠ D$，即$2∠ P=∠ B+∠ D$，
代入$∠ B=36°$，$∠ D=14°$，得$2∠ P=36°+14°=50°$，
∴$∠ P=25°$。
(3) 猜想$\boldsymbol{2∠ P=∠ B+∠ D}$，理由如下：
∵CP，AG分别平分∠BCE，∠FAD，
∴$∠ ECP = ∠ PCB$，$∠ FAG = ∠ GAD$，
∵$∠ PAB = ∠ FAG$（对顶角相等），
∴$∠ GAD = ∠ PAB$。
由“8字形”角的关系得：$∠ P+∠ PAB=∠ B+∠ PCB$ ①，
∵$∠ PAD=180°-∠ GAD$，$∠ PCD=180°-∠ ECP$，代入另一组“8字形”关系可得：
$∠ P+(180°−∠ GAD)=∠ D+(180°−∠ ECP)$，
化简得：$∠ P - ∠ GAD = ∠ D - ∠ ECP$ ②，
将①+②，结合$∠ GAD=∠ PAB$，$∠ ECP=∠ PCB$，可得：
$2∠ P=∠ B+∠ D$。
【答案】
(1) $∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$
(2) $25°$
(3) $2∠ P=∠ B+∠ D$，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是角度推导的典型题型，核心考查“8字形”对顶三角形的角度等量关系，结合角平分线、邻补角等知识进行综合推导，解题时要学会寻找图中的对顶三角形结构，灵活利用等式性质消去中间角即可得到所求的角度关系。
【难度系数】
0.6
