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1.如图，A为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接OA。已知△ABO的面积为3，则k的值为(
A.－3
B.3
C.－6
D.6
C
).A.－3
B.3
C.－6
D.6
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。首先利用△ABO的面积求出$|k|$的值，再结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵AB⊥x轴，
∴$OB=|x|$，$AB=|y|$，
△ABO的面积$S=\frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|xy|$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$，代入得$S=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ ABO}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图可知反比例函数图象位于第二、四象限，
∴$k＜0$，因此$k=-6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是掌握反比例函数中k的几何意义，易错点是忽略函数图象所在象限，未判断k的符号导致选错答案，解题时要注意数形结合，结合图象确定参数符号。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。首先利用△ABO的面积求出$|k|$的值，再结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵AB⊥x轴，
∴$OB=|x|$，$AB=|y|$，
△ABO的面积$S=\frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2}|x||y|=\frac{1}{2}|xy|$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$，代入得$S=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ ABO}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图可知反比例函数图象位于第二、四象限，
∴$k＜0$，因此$k=-6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是掌握反比例函数中k的几何意义，易错点是忽略函数图象所在象限，未判断k的符号导致选错答案，解题时要注意数形结合，结合图象确定参数符号。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知A是反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上一点,$AB// x$轴交另一个反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点B,C为x轴上一点.若$S_{△ ABC}=2$,则k的值为(
A.4
B.3
C.2
D.1
C
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
本题为反比例函数与三角形面积结合的求参题，解题思路如下：首先观察到AB平行x轴，可得A、B两点纵坐标相等，这是解题的突破口；若将AB看作△ABC的底，那么△ABC的高就是A（或B）点的纵坐标数值（因为C在x轴上，AB到x轴的垂直距离等于点的纵坐标大小）；接下来设出A、B的共同纵坐标为参数，结合两个反比例函数解析式分别表示出A、B的横坐标，即可得到AB的长度；最后代入三角形面积公式计算，参数会自动消去，就能求出k的值。
【解析】
设点A的纵坐标为$ t(t＞0) $：
1. 因为点A在反比例函数$ y=\frac{6}{x}(x＞0) $的图象上，代入得横坐标为$ \frac{6}{t} $，即$ A(\frac{6}{t}, t) $。
2. 因为$ AB// x $轴，所以点B的纵坐标也为$ t $，又点B在反比例函数$ y=\frac{k}{x}(x＞0) $的图象上，代入得横坐标为$ \frac{k}{t} $，即$ B(\frac{k}{t}, t) $。
3. 计算AB的长度：$ AB = \frac{6}{t} - \frac{k}{t} = \frac{6 - k}{t} $。
4. △ABC以AB为底时，高为AB到x轴的距离，即$ t $，根据三角形面积公式：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × \frac{6 - k}{t} × t = \frac{1}{2}(6 - k) $
已知$ S_{△ ABC}=2 $，因此列方程：
$ \frac{1}{2}(6 - k) = 2 $
解得$ 6 - k = 4 $，即$ k=2 $。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的坐标特征，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，解题的关键是利用平行线的坐标特征简化计算，无需求出具体点的坐标，通过设参数消参的方法即可快速求出参数值，体现了代数与几何结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
本题为反比例函数与三角形面积结合的求参题，解题思路如下：首先观察到AB平行x轴，可得A、B两点纵坐标相等，这是解题的突破口；若将AB看作△ABC的底，那么△ABC的高就是A（或B）点的纵坐标数值（因为C在x轴上，AB到x轴的垂直距离等于点的纵坐标大小）；接下来设出A、B的共同纵坐标为参数，结合两个反比例函数解析式分别表示出A、B的横坐标，即可得到AB的长度；最后代入三角形面积公式计算，参数会自动消去，就能求出k的值。
【解析】
设点A的纵坐标为$ t(t＞0) $：
1. 因为点A在反比例函数$ y=\frac{6}{x}(x＞0) $的图象上，代入得横坐标为$ \frac{6}{t} $，即$ A(\frac{6}{t}, t) $。
2. 因为$ AB// x $轴，所以点B的纵坐标也为$ t $，又点B在反比例函数$ y=\frac{k}{x}(x＞0) $的图象上，代入得横坐标为$ \frac{k}{t} $，即$ B(\frac{k}{t}, t) $。
3. 计算AB的长度：$ AB = \frac{6}{t} - \frac{k}{t} = \frac{6 - k}{t} $。
4. △ABC以AB为底时，高为AB到x轴的距离，即$ t $，根据三角形面积公式：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × \frac{6 - k}{t} × t = \frac{1}{2}(6 - k) $
已知$ S_{△ ABC}=2 $，因此列方程：
$ \frac{1}{2}(6 - k) = 2 $
解得$ 6 - k = 4 $，即$ k=2 $。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的坐标特征，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，解题的关键是利用平行线的坐标特征简化计算，无需求出具体点的坐标，通过设参数消参的方法即可快速求出参数值，体现了代数与几何结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
3.如图，已知$△ ABC$是等腰直角三角形，$OA=4$，$OB=2$。若双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点$C$，则$k$的值为________。
答案
3. 9
解析
【分析】
本题可通过构造“一线三垂直”全等模型求解：首先根据OA、OB的长度确定A(0,4)、B(2,0)两点坐标，由于△ABC是等腰直角三角形且∠ACB=90°，过点C向x轴、y轴作垂线，可得到两个全等的直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质建立点C横、纵坐标的等量关系，求出点C坐标后代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于点E，$CF⊥ x$轴于点F，则$∠ AEC=∠ BFC=90°$，四边形OECF为矩形，$∠ ECF=90°$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
$\therefore AC=BC$，$∠ ACE + ∠ ECB = ∠ BCF + ∠ ECB=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ BFC \\∠ ACE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFC(AAS)$，
$\therefore AE=BF$，$CE=CF$。
设点$C$的坐标为$(x,y)$，则$CE=x$，$CF=y$，故$x=y$。
又$\because AE=OA-OE=4-y$，$BF=OF-OB=x-2$，
$\therefore 4-y=x-2$，将$y=x$代入得：
$4-x=x-2$，解得$x=3$，则$y=3$，即$C(3,3)$。
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点$C$，
$\therefore k=xy=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
一线三垂直全等模型；等腰直角三角形的性质；反比例函数系数求解
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，解题的核心是通过构造全等三角形将已知线段长度和未知点坐标关联，熟练掌握常见几何模型能有效降低解题难度，提升解题速度。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造“一线三垂直”全等模型求解：首先根据OA、OB的长度确定A(0,4)、B(2,0)两点坐标，由于△ABC是等腰直角三角形且∠ACB=90°，过点C向x轴、y轴作垂线，可得到两个全等的直角三角形，利用全等三角形对应边相等的性质建立点C横、纵坐标的等量关系，求出点C坐标后代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于点E，$CF⊥ x$轴于点F，则$∠ AEC=∠ BFC=90°$，四边形OECF为矩形，$∠ ECF=90°$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，
$\therefore AC=BC$，$∠ ACE + ∠ ECB = ∠ BCF + ∠ ECB=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ BFC \\∠ ACE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFC(AAS)$，
$\therefore AE=BF$，$CE=CF$。
设点$C$的坐标为$(x,y)$，则$CE=x$，$CF=y$，故$x=y$。
又$\because AE=OA-OE=4-y$，$BF=OF-OB=x-2$，
$\therefore 4-y=x-2$，将$y=x$代入得：
$4-x=x-2$，解得$x=3$，则$y=3$，即$C(3,3)$。
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点$C$，
$\therefore k=xy=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
一线三垂直全等模型；等腰直角三角形的性质；反比例函数系数求解
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，解题的核心是通过构造全等三角形将已知线段长度和未知点坐标关联，熟练掌握常见几何模型能有效降低解题难度，提升解题速度。
【难度系数】
0.6
4.下列图形中,阴影部分面积最大的是(
A
B
C
D
C
).A
B
C
D
答案
4. C
解析
【分析】
解题时我们可以利用反比例函数比例系数k的几何意义，结合割补法分别计算四个选项中阴影部分的面积，再对各面积的大小进行比较，即可选出阴影面积最大的选项。首先要明确核心结论：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），过其图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$k$，所得直角三角形（顶点为该点、原点、坐标轴上的垂足）的面积为$\frac{1}{2}k$；不规则阴影可通过割补转化为规则图形计算面积。
【解析】
设题中反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），分别计算各选项阴影面积：
1. 选项A：阴影为反比例函数上一点向两轴作垂线形成的矩形，根据k的几何意义，$S_A=k$；
2. 选项B：阴影为反比例函数上一点、原点、坐标轴垂足构成的直角三角形，根据k的几何意义，$S_B=\frac{1}{2}k$；
3. 选项C：利用割补法将阴影转化为规则图形计算，可得$S_C＞k$；
4. 选项D：阴影为两个独立的直角三角形，每个三角形面积均为$\frac{1}{2}k$，因此$S_D=\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}k=k$。
比较大小可得：$\frac{1}{2}k ＜ k ＜ S_C$，因此阴影部分面积最大的是C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，面积大小比较
【点评】
本题重点考查反比例函数k的几何意义的应用，需要熟练掌握反比例函数相关的规则图形面积和k的数量关系，遇到不规则阴影面积时灵活使用割补法转化为规则图形计算，再通过大小比较得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用反比例函数比例系数k的几何意义，结合割补法分别计算四个选项中阴影部分的面积，再对各面积的大小进行比较，即可选出阴影面积最大的选项。首先要明确核心结论：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），过其图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$k$，所得直角三角形（顶点为该点、原点、坐标轴上的垂足）的面积为$\frac{1}{2}k$；不规则阴影可通过割补转化为规则图形计算面积。
【解析】
设题中反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），分别计算各选项阴影面积：
1. 选项A：阴影为反比例函数上一点向两轴作垂线形成的矩形，根据k的几何意义，$S_A=k$；
2. 选项B：阴影为反比例函数上一点、原点、坐标轴垂足构成的直角三角形，根据k的几何意义，$S_B=\frac{1}{2}k$；
3. 选项C：利用割补法将阴影转化为规则图形计算，可得$S_C＞k$；
4. 选项D：阴影为两个独立的直角三角形，每个三角形面积均为$\frac{1}{2}k$，因此$S_D=\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}k=k$。
比较大小可得：$\frac{1}{2}k ＜ k ＜ S_C$，因此阴影部分面积最大的是C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，面积大小比较
【点评】
本题重点考查反比例函数k的几何意义的应用，需要熟练掌握反比例函数相关的规则图形面积和k的数量关系，遇到不规则阴影面积时灵活使用割补法转化为规则图形计算，再通过大小比较得到结果。
【难度系数】
0.7
5.如图，A，B两点在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，分别经过A，B两点向两坐标轴作垂线段，已知$S_{阴影}=2$，则空白部分$S_1 + S_2$的值为
8
。答案
5. 8
解析
【分析】
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。本题中反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，$k=6$，因此过A、B两点的矩形面积均为6。再观察图形可知，$S_1$与阴影面积的和是过A点的矩形面积，$S_2$与阴影面积的和是过B点的矩形面积，因此可先分别表示出$S_1$、$S_2$，再计算两者的和。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义可得：
过点A的矩形面积为$|k|=6$，即$S_1 + S_{阴影}=6$，因此$S_1=6 - S_{阴影}$；
过点B的矩形面积为$|k|=6$，即$S_2 + S_{阴影}=6$，因此$S_2=6 - S_{阴影}$；
已知$S_{阴影}=2$，代入得：
$S_1 + S_2=(6-2)+(6-2)=4+4=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时只需结合图形理清各部分面积的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于|k|。本题中反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，$k=6$，因此过A、B两点的矩形面积均为6。再观察图形可知，$S_1$与阴影面积的和是过A点的矩形面积，$S_2$与阴影面积的和是过B点的矩形面积，因此可先分别表示出$S_1$、$S_2$，再计算两者的和。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义可得：
过点A的矩形面积为$|k|=6$，即$S_1 + S_{阴影}=6$，因此$S_1=6 - S_{阴影}$；
过点B的矩形面积为$|k|=6$，即$S_2 + S_{阴影}=6$，因此$S_2=6 - S_{阴影}$；
已知$S_{阴影}=2$，代入得：
$S_1 + S_2=(6-2)+(6-2)=4+4=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时只需结合图形理清各部分面积的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图，直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{m}{x}$相交于A，B两点，点A在第一象限，过点A作$AC⊥y$轴，垂足为C.若$AC=1$，$△ BOC$的面积是1.
(1)求$k$，$m$的值；
(2)求直线$BC$的解析式.
(1)求$k$，$m$的值；
(2)求直线$BC$的解析式.
答案
(1) $k=2,m=2$
(2) $y=4x+2$
(2) $y=4x+2$
解析
【分析】
(1) 首先利用正比例函数和反比例函数均关于原点中心对称的性质，得出A、B两点关于原点对称。由AC⊥y轴且AC=1，可知点A的横坐标为1，由此可写出A、C两点的坐标表达式，再根据对称性推出B点坐标。结合△BOC的面积为1，列方程求出k的值，再将A点坐标代入反比例函数即可求出m的值。
(2) 先根据求出的k值确定B、C两点的具体坐标，再用待定系数法设出直线BC的解析式，代入两点坐标求解系数即可得到解析式。
【解析】
(1)
∵直线$y=kx$是正比例函数，双曲线$y=\frac{m}{x}$关于原点中心对称，
∴A、B两点关于原点对称。
∵$AC⊥y$轴，$AC=1$，
∴点A的横坐标为1，
将$x=1$代入$y=kx$，得$y=k$，即$A(1,k)$，则垂足C的坐标为$(0,k)$。
由A、B关于原点对称，得B点坐标为$(-1,-k)$。
在$△ BOC$中，$OC=k$（$k＞0$，A在第一象限），点B到y轴的距离为$|-1|=1$，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OC × 1=\frac{1}{2}k=1$，解得$k=2$。
将$A(1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=1 × 2=2$。
(2) 由$k=2$，得$C(0,2)$，$B(-1,-2)$。
设直线BC的解析式为$y=ax+b$（$a≠0$），
将$C(0,2)$代入解析式，得$b=2$，
将$B(-1,-2)$代入$y=ax+2$，得$-a+2=-2$，解得$a=4$，
∴直线BC的解析式为$y=4x+2$。
【答案】
(1) $k=2$，$m=2$
(2) $y=4x+2$
【知识点】
函数交点问题；待定系数法求解析式；反比例函数的对称性
【点评】
本题结合函数对称性和三角形面积公式求解参数，再用待定系数法求一次函数解析式，解题的核心是利用对称性快速得到B点坐标，是反比例函数与一次函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用正比例函数和反比例函数均关于原点中心对称的性质，得出A、B两点关于原点对称。由AC⊥y轴且AC=1，可知点A的横坐标为1，由此可写出A、C两点的坐标表达式，再根据对称性推出B点坐标。结合△BOC的面积为1，列方程求出k的值，再将A点坐标代入反比例函数即可求出m的值。
(2) 先根据求出的k值确定B、C两点的具体坐标，再用待定系数法设出直线BC的解析式，代入两点坐标求解系数即可得到解析式。
【解析】
(1)
∵直线$y=kx$是正比例函数，双曲线$y=\frac{m}{x}$关于原点中心对称，
∴A、B两点关于原点对称。
∵$AC⊥y$轴，$AC=1$，
∴点A的横坐标为1，
将$x=1$代入$y=kx$，得$y=k$，即$A(1,k)$，则垂足C的坐标为$(0,k)$。
由A、B关于原点对称，得B点坐标为$(-1,-k)$。
在$△ BOC$中，$OC=k$（$k＞0$，A在第一象限），点B到y轴的距离为$|-1|=1$，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OC × 1=\frac{1}{2}k=1$，解得$k=2$。
将$A(1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=1 × 2=2$。
(2) 由$k=2$，得$C(0,2)$，$B(-1,-2)$。
设直线BC的解析式为$y=ax+b$（$a≠0$），
将$C(0,2)$代入解析式，得$b=2$，
将$B(-1,-2)$代入$y=ax+2$，得$-a+2=-2$，解得$a=4$，
∴直线BC的解析式为$y=4x+2$。
【答案】
(1) $k=2$，$m=2$
(2) $y=4x+2$
【知识点】
函数交点问题；待定系数法求解析式；反比例函数的对称性
【点评】
本题结合函数对称性和三角形面积公式求解参数，再用待定系数法求一次函数解析式，解题的核心是利用对称性快速得到B点坐标，是反比例函数与一次函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
