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10.已知点$A(1,y_1)$，$B(3,y_2)$在反比例函数$y=\frac{m-2}{x}$的图象上，且$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是
$m＜2$
。答案
10. $m＜2$
解析
【分析】
首先观察点A、B的横坐标，均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一象限内。已知当横坐标1＜3时，对应的函数值y₁＜y₂，说明在该象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的增减性规律，可判断反比例函数的比例系数小于0，进而列出关于m的不等式求解即可。
【解析】
解：
∵ 点$A(1,y_1)$、$B(3,y_2)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
∴ 两点位于反比例函数图象的同一象限。
∵ $1＜3$，且$y_1＜y_2$，
∴ 在该象限内，$y$随$x$的增大而增大，
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，每个象限内$y$随$x$增大而增大，
∴ 本题中比例系数$k=m-2＜0$，
解得：$m＜2$。
【答案】
$m＜2$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题主要考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是结合两点的位置关系和函数值的大小关系，正确判断比例系数的符号，需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，本题两点横坐标同号，属于同一象限，可直接利用增减性求解。
【难度系数】
0.7
首先观察点A、B的横坐标，均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一象限内。已知当横坐标1＜3时，对应的函数值y₁＜y₂，说明在该象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的增减性规律，可判断反比例函数的比例系数小于0，进而列出关于m的不等式求解即可。
【解析】
解：
∵ 点$A(1,y_1)$、$B(3,y_2)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
∴ 两点位于反比例函数图象的同一象限。
∵ $1＜3$，且$y_1＜y_2$，
∴ 在该象限内，$y$随$x$的增大而增大，
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，每个象限内$y$随$x$增大而增大，
∴ 本题中比例系数$k=m-2＜0$，
解得：$m＜2$。
【答案】
$m＜2$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题主要考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是结合两点的位置关系和函数值的大小关系，正确判断比例系数的符号，需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，本题两点横坐标同号，属于同一象限，可直接利用增减性求解。
【难度系数】
0.7
11.已知双曲线 $y=\dfrac{2k-1}{x}$.
(1)若双曲线与直线 $y=x$ 的一个交点 $P$ 的纵坐标为 5,求 $k$ 的值;
(2)若在双曲线的每一支上,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,求 $k$ 的取值范围;
(3)若双曲线的一支位于第二象限,在这一支上任取两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,当 $y_1＞y_2$ 时,$x_1$
(1)若双曲线与直线 $y=x$ 的一个交点 $P$ 的纵坐标为 5,求 $k$ 的值;
(2)若在双曲线的每一支上,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,求 $k$ 的取值范围;
(3)若双曲线的一支位于第二象限,在这一支上任取两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,当 $y_1＞y_2$ 时,$x_1$
＞
$x_2$（填“＞”“＜”或“=”）.答案
11. (1) 13 (2) $k＞\dfrac{1}{2}$ (3) ＞
解析
【分析】
(1) 已知交点P的纵坐标为5，且P在直线$y=x$上，可先求出P点的横坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式，建立关于k的方程，解方程即可求出k值；
(2) 反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，当$m＞0$时，每一支上y随x的增大而减小，据此列出关于k的不等式，解不等式可得k的取值范围；
(3) 双曲线一支位于第二象限说明比例系数小于0，该分支上y随x的增大而增大，结合$y_1＞y_2$即可判断$x_1$和$x_2$的大小关系。
【解析】
(1)
∵点P在直线$y=x$上，纵坐标为5
∴将$y=5$代入$y=x$，得$x=5$，即点P坐标为$(5,5)$
把$P(5,5)$代入$y=\frac{2k-1}{x}$，得$5=\frac{2k-1}{5}$
两边同乘5得：$2k-1=25$
解得：$k=13$
(2)
∵双曲线的每一支上，y随x的增大而减小
∴反比例函数的比例系数大于0，即$2k-1＞0$
移项得：$2k＞1$
解得：$k＞\frac{1}{2}$
(3)
∵双曲线的一支位于第二象限
∴比例系数$2k-1＜0$，该分支上y随x的增大而增大
∵A、B都在第二象限的分支上，且$y_1＞y_2$
∴$x_1＞x_2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{k＞\dfrac{1}{2}}$；(3) $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数的核心基础考点，包含图象上点的坐标特征、增减性、图象象限与比例系数的关系等内容，解题关键是熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.8
(1) 已知交点P的纵坐标为5，且P在直线$y=x$上，可先求出P点的横坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式，建立关于k的方程，解方程即可求出k值；
(2) 反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，当$m＞0$时，每一支上y随x的增大而减小，据此列出关于k的不等式，解不等式可得k的取值范围；
(3) 双曲线一支位于第二象限说明比例系数小于0，该分支上y随x的增大而增大，结合$y_1＞y_2$即可判断$x_1$和$x_2$的大小关系。
【解析】
(1)
∵点P在直线$y=x$上，纵坐标为5
∴将$y=5$代入$y=x$，得$x=5$，即点P坐标为$(5,5)$
把$P(5,5)$代入$y=\frac{2k-1}{x}$，得$5=\frac{2k-1}{5}$
两边同乘5得：$2k-1=25$
解得：$k=13$
(2)
∵双曲线的每一支上，y随x的增大而减小
∴反比例函数的比例系数大于0，即$2k-1＞0$
移项得：$2k＞1$
解得：$k＞\frac{1}{2}$
(3)
∵双曲线的一支位于第二象限
∴比例系数$2k-1＜0$，该分支上y随x的增大而增大
∵A、B都在第二象限的分支上，且$y_1＞y_2$
∴$x_1＞x_2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{k＞\dfrac{1}{2}}$；(3) $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数的核心基础考点，包含图象上点的坐标特征、增减性、图象象限与比例系数的关系等内容，解题关键是熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.8
12.小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数$y=\frac{1}{x+1}$的图象与性质.其研究过程如下：
(1)绘制函数图象.
①列表:下表是$x$与$y$的几组对应值,其中$m=$
②描点:根据表中的数值描点$(x,y)$,请补充描出点$(0,m)$.
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.
(2)探究函数性质.
①判断下列说法是否正确(正确的画“√”,错误的画“×”).
函数图象关于原点对称;(
函数图象与直线$x=-1$没有交点.(
②请写出该函数图象的变化趋势:
(1)绘制函数图象.
①列表:下表是$x$与$y$的几组对应值,其中$m=$
1
.②描点:根据表中的数值描点$(x,y)$,请补充描出点$(0,m)$.
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.
(2)探究函数性质.
①判断下列说法是否正确(正确的画“√”,错误的画“×”).
函数图象关于原点对称;(
×
)函数图象与直线$x=-1$没有交点.(
√
)②请写出该函数图象的变化趋势:
在每一个分支上,函数值 y 随 x 的增大而减小
.答案
12. (1) ①1 ②③略 (2) ①× √ ②在每一个分支上,函数值 y 随 x 的增大而减小
解析
【分析】
本题考查反比例函数平移后的图象与性质，解题思路如下：1. 求m的值时，直接将x=0代入函数解析式计算即可得到对应的y值；2. 判断函数对称性时，要先明确该函数是由反比例函数$y=\frac{1}{x}$向左平移1个单位得到，对称中心为$(-1,0)$，而非原点；3. 判断函数与直线$x=-1$的交点时，看$x=-1$是否在自变量取值范围内，$x=-1$时分母为0，函数无意义，故无交点；4. 分析增减性时，类比反比例函数的增减性规律，结合平移后的函数分支特征描述即可。
【解析】
(1)①将$x=0$代入函数$y=\frac{1}{x+1}$，得$y=\frac{1}{0+1}=1$，因此$m=1$；
②③按照要求描点连线即可，过程略。
(2)① 函数$y=\frac{1}{x+1}$是由$y=\frac{1}{x}$向左平移1个单位得到，对称中心为$(-1,0)$，不关于原点对称，故第一个说法错误，填×；
当$x=-1$时，分母$x+1=0$，函数无意义，因此函数图象与直线$x=-1$没有交点，第二个说法正确，填√。
② 类比反比例函数的增减性，该函数的图象分为两个分支，在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小。
【答案】
(1) ①1 ②③略 (2) ①× √ ②在每一个分支上,函数值 y 随 x 的增大而减小
【知识点】
函数值的计算、反比例函数的图象与性质、函数自变量的取值范围
【点评】
本题以反比例函数平移后的新函数为载体，考查对函数图象性质的探究能力，解题时要结合已学的反比例函数性质，通过平移规律推导新函数的特征，描述增减性时要注意强调“在每一个分支上”的前提，避免表述不严谨出错。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数平移后的图象与性质，解题思路如下：1. 求m的值时，直接将x=0代入函数解析式计算即可得到对应的y值；2. 判断函数对称性时，要先明确该函数是由反比例函数$y=\frac{1}{x}$向左平移1个单位得到，对称中心为$(-1,0)$，而非原点；3. 判断函数与直线$x=-1$的交点时，看$x=-1$是否在自变量取值范围内，$x=-1$时分母为0，函数无意义，故无交点；4. 分析增减性时，类比反比例函数的增减性规律，结合平移后的函数分支特征描述即可。
【解析】
(1)①将$x=0$代入函数$y=\frac{1}{x+1}$，得$y=\frac{1}{0+1}=1$，因此$m=1$；
②③按照要求描点连线即可，过程略。
(2)① 函数$y=\frac{1}{x+1}$是由$y=\frac{1}{x}$向左平移1个单位得到，对称中心为$(-1,0)$，不关于原点对称，故第一个说法错误，填×；
当$x=-1$时，分母$x+1=0$，函数无意义，因此函数图象与直线$x=-1$没有交点，第二个说法正确，填√。
② 类比反比例函数的增减性，该函数的图象分为两个分支，在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小。
【答案】
(1) ①1 ②③略 (2) ①× √ ②在每一个分支上,函数值 y 随 x 的增大而减小
【知识点】
函数值的计算、反比例函数的图象与性质、函数自变量的取值范围
【点评】
本题以反比例函数平移后的新函数为载体，考查对函数图象性质的探究能力，解题时要结合已学的反比例函数性质，通过平移规律推导新函数的特征，描述增减性时要注意强调“在每一个分支上”的前提，避免表述不严谨出错。
【难度系数】
0.8
