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1.某中学开展“跳蚤市场”爱心义卖活动，军军用账本记录了他一天的收支情况（收入记为正数，支出记为负数，单位：元）：
+28，-16，-23，+32，-15，+24.
义卖活动结束后，军军发现自己钱包里共有120元，那么义卖前他有多少元？
+28，-16，-23，+32，-15，+24.
义卖活动结束后，军军发现自己钱包里共有120元，那么义卖前他有多少元？
答案
1. 解:28+(-16)+(-23)+32+(-15)+24=30(元),120-30=90(元).答:义卖前他有90元.
解析
【分析】
解题时首先明确正负数的含义：本题中正数代表收入，负数代表支出，将所有收支数据相加即可得到军军本次义卖的净收入（结果为正则表示义卖后比义卖前多的钱数）。已知义卖结束后钱包里的总金额，要求义卖前的金额，用义卖后的金额减去本次义卖的净收入即可，因此解题分为两步：先计算所有收支的和得到净收入，再反向推算义卖前的金额。
【解析】
第一步：计算军军义卖全天的净收入，将所有收支相加：
$\begin{aligned}&28+(-16)+(-23)+32+(-15)+24\\=&28-16-23+32-15+24\\=&30(\mathrm{元})\end{aligned}$
净收入为30元，说明义卖后比义卖前多了30元。
第二步：计算义卖前的金额：
$120-30=90$（元）
【答案】
义卖前他有90元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减混合运算
【点评】
本题结合生活中的义卖场景命题，贴近实际生活，解题的核心是正确理解正负数的实际意义，掌握有理数加减混合运算的计算方法，能根据数量关系反向推算原有金额。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确正负数的含义：本题中正数代表收入，负数代表支出，将所有收支数据相加即可得到军军本次义卖的净收入（结果为正则表示义卖后比义卖前多的钱数）。已知义卖结束后钱包里的总金额，要求义卖前的金额，用义卖后的金额减去本次义卖的净收入即可，因此解题分为两步：先计算所有收支的和得到净收入，再反向推算义卖前的金额。
【解析】
第一步：计算军军义卖全天的净收入，将所有收支相加：
$\begin{aligned}&28+(-16)+(-23)+32+(-15)+24\\=&28-16-23+32-15+24\\=&30(\mathrm{元})\end{aligned}$
净收入为30元，说明义卖后比义卖前多了30元。
第二步：计算义卖前的金额：
$120-30=90$（元）
【答案】
义卖前他有90元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的加减混合运算
【点评】
本题结合生活中的义卖场景命题，贴近实际生活，解题的核心是正确理解正负数的实际意义，掌握有理数加减混合运算的计算方法，能根据数量关系反向推算原有金额。
【难度系数】
0.8
2. (2025福建厦门期中)萌萌帮家庭记录的6个月的生活收支账目如下表所示(收入记为正数,支出记为负数,单位:万元).
(1)在这6个月中,哪个月的支出最多?
(2)萌萌家这6个月的总收入和总支出各是多少万元?
(3)萌萌家这6个月平均每月的支出是多少万元?
(1)在这6个月中,哪个月的支出最多?
(2)萌萌家这6个月的总收入和总支出各是多少万元?
(3)萌萌家这6个月平均每月的支出是多少万元?
答案
2. 解:(1)-0.18＞-0.22＞-0.24＞-0.26＞-0.35＞-0.55.答:1月的支出最多.(2)总收入为0.51+0.30+0.38+0.45+0.33+0.25=2.22(万元),总支出为0.55+0.35+0.26+0.22+0.24+0.18=1.8(万元).答:萌萌家这6个月的总收入是2.22万元,总支出是1.8万元.(3)1.8÷6=0.3(万元).答:萌萌家这6个月平均每月的支出是0.3万元.
解析
【分析】
(1) 题目中支出记为负数，支出越多对应的负数值越小，因此只需按照负数比较大小的规则（两个负数比较，绝对值大的反而小）对6个月的支出数据排序，找到最小的负数对应的月份即可。
(2) 总收入是所有收入的和，直接将6个月的收入数据相加即可；总支出是实际支出的总钱数，将每个月支出数据的绝对值相加即可。
(3) 平均每月支出=总支出÷总月份数，用第二问求得的总支出除以6即可得到结果。
【解析】
(1) 对6个月的支出数据比较大小：$-0.18 ＞ -0.22 ＞ -0.24 ＞ -0.26 ＞ -0.35 ＞ -0.55$，其中最小的数是$-0.55$，对应1月，因此1月支出最多。
(2) 总收入：$0.51+0.30+0.38+0.45+0.33+0.25=2.22$（万元）
总支出：$0.55+0.35+0.26+0.22+0.24+0.18=1.8$（万元）
(3) 平均每月支出：$1.8 ÷ 6 = 0.3$（万元）
【答案】
(1) 1月的支出最多；
(2) 总收入是2.22万元，总支出是1.8万元；
(3) 平均每月的支出是0.3万元。
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，平均数计算
【点评】
本题结合生活收支场景考查正负数的实际应用，侧重基础运算能力的考查，解题时需明确正负数代表的实际含义，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 题目中支出记为负数，支出越多对应的负数值越小，因此只需按照负数比较大小的规则（两个负数比较，绝对值大的反而小）对6个月的支出数据排序，找到最小的负数对应的月份即可。
(2) 总收入是所有收入的和，直接将6个月的收入数据相加即可；总支出是实际支出的总钱数，将每个月支出数据的绝对值相加即可。
(3) 平均每月支出=总支出÷总月份数，用第二问求得的总支出除以6即可得到结果。
【解析】
(1) 对6个月的支出数据比较大小：$-0.18 ＞ -0.22 ＞ -0.24 ＞ -0.26 ＞ -0.35 ＞ -0.55$，其中最小的数是$-0.55$，对应1月，因此1月支出最多。
(2) 总收入：$0.51+0.30+0.38+0.45+0.33+0.25=2.22$（万元）
总支出：$0.55+0.35+0.26+0.22+0.24+0.18=1.8$（万元）
(3) 平均每月支出：$1.8 ÷ 6 = 0.3$（万元）
【答案】
(1) 1月的支出最多；
(2) 总收入是2.22万元，总支出是1.8万元；
(3) 平均每月的支出是0.3万元。
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，平均数计算
【点评】
本题结合生活收支场景考查正负数的实际应用，侧重基础运算能力的考查，解题时需明确正负数代表的实际含义，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
3.在如图所示的三阶幻方中,每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等,则$m+n$的值是 (
A.7
B.1
C.2
D.-5
C
)A.7
B.1
C.2
D.-5
答案
3. C 解析 由题意得5+1-3=m+1+n,所以m+n=2.故选C.
解析
【分析】
解题时先回忆三阶幻方的核心性质：每一横行、竖列、斜对角线上的数的和（即幻和）均相等。首先找到已知所有数的第二列，先计算出幻和；再观察包含m、n的线：从右上角n到左下角m的对角线，这条对角线的和等于幻和，据此列等式即可直接求出m+n的值，无需分别计算m、n，简化运算步骤。
【解析】
首先计算第二列的和，也就是幻和：
$5 + 1 + (-3) = 3$
根据三阶幻方的性质，从右上到左下的对角线的和等于幻和，这条对角线上的数为$n$、$1$、$m$，因此：
$n + 1 + m = 3$
移项可得：
$m + n = 3 - 1 = 2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三阶幻方性质；有理数加减运算；等式的性质
【点评】
本题侧重对幻方基础性质的应用，解题时优先找已知数最多的线求出幻和，再结合待求量所在的线列等式，可避免多余计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三阶幻方的核心性质：每一横行、竖列、斜对角线上的数的和（即幻和）均相等。首先找到已知所有数的第二列，先计算出幻和；再观察包含m、n的线：从右上角n到左下角m的对角线，这条对角线的和等于幻和，据此列等式即可直接求出m+n的值，无需分别计算m、n，简化运算步骤。
【解析】
首先计算第二列的和，也就是幻和：
$5 + 1 + (-3) = 3$
根据三阶幻方的性质，从右上到左下的对角线的和等于幻和，这条对角线上的数为$n$、$1$、$m$，因此：
$n + 1 + m = 3$
移项可得：
$m + n = 3 - 1 = 2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三阶幻方性质；有理数加减运算；等式的性质
【点评】
本题侧重对幻方基础性质的应用，解题时优先找已知数最多的线求出幻和，再结合待求量所在的线列等式，可避免多余计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
4.将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将-2,4,-6,8,-10,12,-14,16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数的和都相等，则$a+b$的值为（
A.-6或-12
B.-2或-8
C.2或-2
D.2或-16
A
）A.-6或-12
B.-2或-8
C.2或-2
D.2或-16
答案
4. A 解析 因为-2+4-6+8-10+12-14+16=8,所以横、竖以及内、外两圈上的4个数的和都为4.所以-14+12+16+a=4. 所以a=-10.因为12+8+a+c=4,b+16-14+d=4,所以c=-6,b+d=2.所以b=-2,d=4或b=4,d=-2.当b=-2时,a+b=-10-2=-12.当b=4时,a+b=-10+4=-6.所以a+b的值为-12或-6. 故选A.
解析
【分析】
解题时先计算所有给出数字的总和，结合内外两圈和相等、横竖线和也相等的条件，先求出公共的和；再通过竖线上的数先算出a的值，接着通过内圈的数算出c的值；最后确定剩余两个数就是b、d的可能取值，分两种情况计算a+b即可。
【解析】
首先计算8个数字的总和：$-2+4-6+8-10+12-14+16=8$
因为内外两圈的4个数的和相等，因此每圈的和为$8÷2=4$，同时横、竖线上的4个数的和也为4。
1. 求a的值：竖线上四个数的和为4，即$-14+12+a+16=4$，化简得$14+a=4$，解得$a=-10$。
2. 求c的值：内圈四个数的和为4，即$12+8+a+c=4$，代入$a=-10$得$10+c=4$，解得$c=-6$。
3. 确定b的取值：已使用的数为-14、12、16、-10、8、-6，剩余的数为-2和4，即b、d分别为-2、4（顺序不定）。
分两种情况计算：
①当$b=-2$时，$a+b=-10+(-2)=-12$；
②当$b=4$时，$a+b=-10+4=-6$。
因此$a+b$的值为-6或-12。
【答案】A
【知识点】有理数加法运算；规律型数字问题
【点评】本题属于幻圆类的规律探究题，核心是先根据数字总和求出公共和，再逐步推导各未知数，解题时注意对剩余数字的分配分类讨论，避免漏解。
【难度系数】0.6
解题时先计算所有给出数字的总和，结合内外两圈和相等、横竖线和也相等的条件，先求出公共的和；再通过竖线上的数先算出a的值，接着通过内圈的数算出c的值；最后确定剩余两个数就是b、d的可能取值，分两种情况计算a+b即可。
【解析】
首先计算8个数字的总和：$-2+4-6+8-10+12-14+16=8$
因为内外两圈的4个数的和相等，因此每圈的和为$8÷2=4$，同时横、竖线上的4个数的和也为4。
1. 求a的值：竖线上四个数的和为4，即$-14+12+a+16=4$，化简得$14+a=4$，解得$a=-10$。
2. 求c的值：内圈四个数的和为4，即$12+8+a+c=4$，代入$a=-10$得$10+c=4$，解得$c=-6$。
3. 确定b的取值：已使用的数为-14、12、16、-10、8、-6，剩余的数为-2和4，即b、d分别为-2、4（顺序不定）。
分两种情况计算：
①当$b=-2$时，$a+b=-10+(-2)=-12$；
②当$b=4$时，$a+b=-10+4=-6$。
因此$a+b$的值为-6或-12。
【答案】A
【知识点】有理数加法运算；规律型数字问题
【点评】本题属于幻圆类的规律探究题，核心是先根据数字总和求出公共和，再逐步推导各未知数，解题时注意对剩余数字的分配分类讨论，避免漏解。
【难度系数】0.6
5. (2026 四川德阳期末)图中的大正方形由9个小方格组成,在每个小方格中填入一个数,如果每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的积都相等,那么就称这个大正方形是一个三阶魔方.若将$\frac{1}{81},\frac{1}{27},\frac{1}{9},\frac{1}{3},1,3,9,27,81$这9个数分别填入方格中(已填了一部分),使这个大正方形成为一个三阶魔方,则$x=$
3
.答案
5. 3 启发与线索 正中间的小方格填1,每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的积都为1.
解析
【分析】解题时首先从三阶积魔方的定义出发，先计算给出的9个数字的总乘积，由于三行的乘积相等，总乘积等于每行乘积的三次方，由此求出每行、每列、每条对角线的乘积为1。再观察已知数的位置，先利用第二列的乘积关系求出第一行第二列的数，最后结合第一行的乘积关系即可求出x的值。也可将幂的乘积转化为指数的和，快速得到中间方格的数为1，辅助计算。
【解析】
1. 计算9个数的总乘积：
给出的数为$\frac{1}{81},\frac{1}{27},\frac{1}{9},\frac{1}{3},1,3,9,27,81$，其中互为倒数的数两两相乘得1，因此总乘积为$1$。
2. 求每行的乘积：
因为三阶魔方中3行的乘积相等，总乘积为1，所以每行（每列、每条对角线）的乘积为$\sqrt[3]{1}=1$。
3. 求第一行第二列的数：
观察第二列，三个数的乘积为1，第三行第二列的数为81，结合三阶积魔方的规律可知中间方格的数为1（9个数均为3的幂，对应指数的平均数为0，对应数为$3^0=1$），设第一行第二列的数为$a$，则有：
$a × 1 × 81 = 1$，解得$a=\frac{1}{81}$。
4. 求x的值：
第一行三个数的乘积为1，即$27 × \frac{1}{81} × x = 1$，化简得$\frac{1}{3}x=1$，解得$x=3$。
【答案】3
【知识点】有理数乘法运算、三阶积幻方规律、乘方的意义
【点评】本题将幻方规律与有理数运算结合，解题的核心是先确定每行的乘积，再结合已知位置的数逐步推导未知量，考查学生对规律的应用能力和运算能力。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 计算9个数的总乘积：
给出的数为$\frac{1}{81},\frac{1}{27},\frac{1}{9},\frac{1}{3},1,3,9,27,81$，其中互为倒数的数两两相乘得1，因此总乘积为$1$。
2. 求每行的乘积：
因为三阶魔方中3行的乘积相等，总乘积为1，所以每行（每列、每条对角线）的乘积为$\sqrt[3]{1}=1$。
3. 求第一行第二列的数：
观察第二列，三个数的乘积为1，第三行第二列的数为81，结合三阶积魔方的规律可知中间方格的数为1（9个数均为3的幂，对应指数的平均数为0，对应数为$3^0=1$），设第一行第二列的数为$a$，则有：
$a × 1 × 81 = 1$，解得$a=\frac{1}{81}$。
4. 求x的值：
第一行三个数的乘积为1，即$27 × \frac{1}{81} × x = 1$，化简得$\frac{1}{3}x=1$，解得$x=3$。
【答案】3
【知识点】有理数乘法运算、三阶积幻方规律、乘方的意义
【点评】本题将幻方规律与有理数运算结合，解题的核心是先确定每行的乘积，再结合已知位置的数逐步推导未知量，考查学生对规律的应用能力和运算能力。
【难度系数】0.6
