17.(本小题满分12分)阅读材料:要把多项式$am+an+bm+bn$因式分解,可以先把它进行分组再因式分解.
解:原式$=(am+an)+(bm+bn)$
$=a(m+n)+b(m+n)$
$=(m+n)(a+b)$.
这种因式分解的方法叫作分组分解法.请利用此方法解答:
已知$a,b,c$是$△ ABC$三边的长,且满足$a^2 + c^2 -2b(a - b + c)=0$,试判断$△ ABC$的形状,并说明理由.

17. 解 $△ABC$是等边三角形,理由如下:
$a^2 + c^2 -2b(a - b + c)=0$,
$a^2 + c^2 -2ab + 2b^2 -2bc=0$,
$(a^2 -2ab + b^2)+(c^2 + b^2 -2bc)=0$,
$(a-b)^2 + (b-c)^2=0$,
$∴a-b=0,b-c=0$,
$∴a=b=c$,
$∴△ABC$是等边三角形.

【分析】
要判断△ABC的形状，需先得出三边a、b、c的数量关系。解题思路如下：第一步先对给定的等式去括号展开，第二步参照材料给出的分组分解法，将展开后的式子分组凑成完全平方的形式，第三步根据平方的非负性（两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0），推导得到a、b、c的关系，最终判断三角形的形状。
【解析】
△ABC是等边三角形，理由如下：
已知$a^2 + c^2 -2b(a - b + c)=0$，
去括号得：$a^2 + c^2 -2ab + 2b^2 -2bc=0$，
分组凑完全平方：$(a^2 -2ab + b^2)+(b^2 -2bc + c^2)=0$，
由完全平方公式变形得：$(a-b)^2 + (b-c)^2=0$，
∵$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，则两个非负数均为0，
∴$a-b=0$，$b-c=0$，
即$a=b$，$b=c$，
∴$a=b=c$，
∴△ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
分组分解法因式分解；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题属于新定义类应用题，解题的关键是读懂材料中的分组分解方法，灵活运用完全平方公式对等式变形，再结合非负数的性质得到三角形三边的等量关系，同时考查了知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7

18.(本小题满分13分)如图,在$△ ABC$中,$AD$是$△ ABC$的高,$AE$平分$∠ BAD$,$F$为$AE$上一点,连接$BF$,$∠ BFE=45°$.
(1)求证:$BF$平分$∠ ABE$；
(2)连接$CF$交$AD$于点$G$,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求$∠ AFC$的度数.

18. (1)证明 $∵AE$平分$∠BAD$,
$∴∠BAD=2∠BAF$.
$∵∠BFE=45°$,
$∴∠FBA+∠BAF=45°$,
$∴2∠FBA+2∠BAF=90°$.
$∵AD$是$△ABC$的高,
$∴∠ADB=90°$,
$∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°$,
$∴∠EBF=∠FBA$,
$∴BF$平分$∠ABE$.
(2)解 如图,过点F作$FM⊥BC$于点M,$FN⊥AB$于点N.

$∵BF$平分$∠EBA,FM⊥BC,FN⊥AB$,
$∴FM=FN,∠FBA=∠FBC$.
$∵S_{△ABF}=S_{△CBF}$,
$∴AB=CB$.
在$△ABF$和$△CBF$中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABF=∠CBF,\\BF=BF,\end{cases}$
$∴△ABF≌△CBF(SAS)$,
$∴∠AFB=∠CFB$.
$∵∠BFE=45°$,
$∴∠CFB=∠AFB=135°$,
$∴∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=360°-135°-135°=90°$.

【分析】
(1) 要证明BF平分∠ABE，需证∠EBF=∠FBA。首先根据角平分线定义得∠BAD=2∠BAF，再结合三角形外角性质，由∠BFE=45°推出∠FBA+∠BAF=45°，等式乘2后与Rt△ABD中两锐角和为90°的关系联立，即可推导得两角相等，完成证明。
(2) 要求∠AFC的度数，先过F作FM⊥BC、FN⊥AB，利用角平分线的性质得FM=FN，结合两个三角形面积相等的条件，通过面积公式推导得AB=CB，再用SAS证明△ABF≌△CBF，得到∠AFB=∠CFB，最后结合邻补角和周角的性质计算出∠AFC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAF。
∵∠BFE是△ABF的外角，∠BFE=45°，
∴∠FBA + ∠BAF = 45°，
∴2∠FBA + 2∠BAF = 90°。
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD + ∠BAD = 90°，即∠EBF + ∠FBA + 2∠BAF = 90°，
∴∠EBF=∠FBA，
∴BF平分∠ABE。
(2) 解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N。

∵BF平分∠EBA，FM⊥BC，FN⊥AB，
∴FM=FN，∠FBA=∠FBC。
∵$S_{△ABF}=S_{△CBF}$，
且$S_{△ABF}=\frac{1}{2}AB· FN$，$S_{△CBF}=\frac{1}{2}CB· FM$，
∴AB=CB。
在△ABF和△CBF中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABF=∠CBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠AFB=∠CFB。
∵∠BFE=45°，
∴∠CFB=∠AFB=180°-45°=135°，
∴∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=360°-135°-135°=90°。
【答案】
(1) BF平分∠ABE，证明成立；
(2) $\boldsymbol{90°}$
辅助线图示：
【知识点】
1. 角平分线的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合类题型，既考查了角平分线、全等三角形等基础几何定理的应用，也结合面积公式完成了边的等量推导，解题的关键是梳理清楚已知条件中角度、面积与边角等量关系的关联，对几何逻辑推理能力有较好的考查作用。
【难度系数】
0.65