15.（本小题满分10分）某汽车评估机构对两款价格相同，续航里程（续航里程一般指汽车油箱加满或电池满电后能够连续行驶的最远距离）相同的汽车做了一次评测，相关数据如下：

设两款车的续航里程均为S千米.
（1）燃油车每千米的行驶费用为元，纯电新能源车每千米的行驶费用为元；（用含S的代数式表示）
（2）若燃油车每千米的行驶费用比纯电新能源车多0.55元，请求出这两款车每千米的行驶费用.

15. 解 (1)$\frac{384}{S}$ $\frac{54}{S}$
(2)由题意,得$\frac{384}{S}-\frac{54}{S}=0.55$,
解得$S=600$,
经检验,$S=600$是分式方程的解,且符合题意,
$\frac{384}{600}=0.64$(元),$\frac{54}{600}=0.09$(元).
答:燃油车每千米的行驶费用为0.64元,纯电新能源车每千米的行驶费用为0.09元.

【分析】
解题思路如下：（1）要计算每千米行驶费用，先分别算出燃油车加满油的总费用、纯电新能源车充满电的总费用，再用总费用除以续航里程S，即可得到每千米的费用；（2）根据“燃油车每千米行驶费用 - 纯电新能源车每千米行驶费用 = 0.55元”的等量关系列分式方程，求解得到S的值，检验后再代入代数式算出两种车每千米的行驶费用即可。
【解析】
（1）先计算燃油车加满油的总费用：$48×8=384$（元），因此燃油车每千米行驶费用为总费用除以续航里程，即$\frac{384}{S}$元；
再计算纯电新能源车充满电的总费用：$90×0.6=54$（元），因此纯电新能源车每千米行驶费用为$\frac{54}{S}$元。
（2）根据题意可列分式方程：
$\frac{384}{S}-\frac{54}{S}=0.55$
合并左边得：$\frac{330}{S}=0.55$
解得：$S=330÷0.55=600$
检验：当$S=600$时，分母$S≠0$，所以$S=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
将$S=600$代入代数式计算：
燃油车每千米费用：$\frac{384}{600}=0.64$（元）
纯电新能源车每千米费用：$\frac{54}{600}=0.09$（元）
【答案】
（1）$\frac{384}{S}$；$\frac{54}{S}$
（2）燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题结合汽车出行的生活场景命题，核心是理清“单位里程费用=总能源费用÷总续航里程”的数量关系，列分式方程解决实际问题时要注意对解进行检验，既要满足方程，也要符合实际意义。
【难度系数】
0.75

16.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,BD=CE,DM⊥AC,垂足为M,EN⊥AB,垂足为N,DM与EN交于点P,且BN=CM.
求证:(1)PD=PE;
(2)过点A,P的直线垂直平分线段BC.

16. 证明 (1)$∵EN⊥AB,DM⊥AC$,
$∴∠BNE=∠DMC=90°$.
$∵BD=CE$,
$∴BD+DE=CE+DE$,
$∴BE=CD$.
在$Rt△BNE$与$Rt△CMD$中,$\begin{cases}BE=CD,\\BN=CM,\end{cases}$
$∴Rt△BNE≌Rt△CMD$(HL),
$∴∠NED=∠MDC$,
$∴PD=PE$.
(2)如图,连接AP并延长交BC于点Q,

$∵Rt△BNE≌Rt△CMD$,
$∴∠B=∠C,NE=MD$,
$∴AB=AC$.
$∵NE=MD,PD=PE$,
$∴NE-PE=MD-PD$,
$∴PN=PM$,
又$∵PN⊥AB,PM⊥AC$,
$∴AP$平分$∠BAC$,
即$AQ$平分$∠BAC$,
$∴AQ⊥BC,BQ=CQ$,
即过点A,P的直线垂直平分线段BC.

【分析】
（1）要证PD=PE，可通过等角对等边推导，需先证∠PED=∠PDE。已知BD=CE，等式两边加DE可得BE=CD，结合BN=CM和两个直角三角形的直角条件，用HL定理证明Rt△BNE≌Rt△CMD，即可得到对应角相等，推出PD=PE。
（2）要证过A、P的直线垂直平分BC，可利用等腰三角形三线合一的性质。首先由全等得∠B=∠C，推出AB=AC，即△ABC为等腰三角形；再由全等得EN=DM，结合PD=PE推出PN=PM，根据角平分线判定定理得AP平分∠BAC，最后根据等腰三角形顶角平分线垂直平分底边即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵EN⊥AB，DM⊥AC，
∴∠BNE=∠DMC=90°。
∵BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD。
在Rt△BNE和Rt△CMD中，
$\begin{cases} BE=CD \\ BN=CM \end{cases}$
∴Rt△BNE≌Rt△CMD（HL），
∴∠BEN=∠CDM，即∠PED=∠PDE，
∴PD=PE。
(2) 证明：
连接AP并延长交BC于点Q，
由Rt△BNE≌Rt△CMD可得∠B=∠C，NE=MD，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
∵NE=MD，PD=PE，
∴NE-PE=MD-PD，即PN=PM，
又
∵PN⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC，即AQ平分∠BAC，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得AQ⊥BC，BQ=CQ，即过点A、P的直线垂直平分线段BC。
【答案】
16. 证明 (1)$∵EN⊥AB,DM⊥AC$,
$∴∠BNE=∠DMC=90°$.
$∵BD=CE$,
$∴BD+DE=CE+DE$,
$∴BE=CD$.
在$Rt△BNE$与$Rt△CMD$中,$\begin{cases}BE=CD,\\BN=CM,\end{cases}$
$∴Rt△BNE≌Rt△CMD$(HL),
$∴∠NED=∠MDC$,
$∴PD=PE$.
(2)如图,连接AP并延长交BC于点Q,

$∵Rt△BNE≌Rt△CMD$,
$∴∠B=∠C,NE=MD$,
$∴AB=AC$.
$∵NE=MD,PD=PE$,
$∴NE-PE=MD-PD$,
$∴PN=PM$,
又$∵PN⊥AB,PM⊥AC$,
$∴AP$平分$∠BAC$,
即$AQ$平分$∠BAC$,
$∴AQ⊥BC,BQ=CQ$,
即过点A,P的直线垂直平分线段BC.
【知识点】
直角三角形全等判定，等腰三角形性质，角平分线判定
【点评】
本题是几何基础综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一、角平分线判定等知识点，解题时需逐步推导边角关系，逻辑链条清晰，能有效训练几何证明的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7