3. [2026 抚州段考] 如图,已知直线 $y = \frac{3}{4}x + 6$ 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A 和点 B,点 C 在线段 AO 上。将 $△ ABO$ 沿 BC 折叠后,点 O 恰好落在 AB 边上的点 D 处。
(1)求出 A,B 两点的坐标;
(2)求出 OC 的长;
(3)点 E 是坐标轴上一点,若 $△ ABE$ 是直角三角形,求点 E 的坐标。

解:(1)对于 $y=\dfrac{3}{4}x+6$,令 $y=0$,得 $0=\dfrac{3}{4}x+6$,解得 $x=-8$,令 $x=0$,得 $y=6$,所以 $A(-8,0)$,$B(0,6)$。
(2)由折叠得,$DB=OB=6$,$DC=OC$,$∠ BDC=∠ BOC=90°$,
所以 $∠ ADC=180°-∠ BDC=90°$,$AC=8-OC$。
因为 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=10$,所以 $AD=10-6=4$。
因为 $CD^2+AD^2=AC^2$,
所以 $OC^2+4^2=(8-OC)^2$,所以 $OC=3$。
(3)当 $∠ AEB=90°$ 时,点 $E(0,0)$。
当 $∠ ABE=90°$ 时,如图,
易知直线 $BE$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+6$,(由直线 $y_1=k_1x+b_1(k_1\ne0)$ 与 $y_2=k_2x+b_2(k_2\ne0)$ 互相垂直,易得 $k_1k_2=-1$)
当 $y=0$ 时,$x=\dfrac{9}{2}$,所以点 $E$ 的坐标为 $(\dfrac{9}{2},0)$。
当 $∠ BAE=90°$ 时,如图,
设直线 $AE$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+n$,
因为点 $A(-8,0)$ 在直线 $AE$ 上,所以 $0=-\dfrac{4}{3}×(-8)+n$,
所以 $n=-\dfrac{32}{3}$,所以点 $E$ 的坐标为 $(0,-\dfrac{32}{3})$。
综上所述,点 $E$ 的坐标为 $(0,0)$ 或 $(\dfrac{9}{2},0)$ 或 $(0,-\dfrac{32}{3})$。

4. [2025唐山模拟] 如图,直线$l:y=ax+3$交x轴于点$A(6,0)$,将直线$l$向下平移4个单位长度,得到的直线分别交x轴、y轴于点B,C。
(1)求$a$的值及B,C两点的坐标；
(2)点M为线段AB上一点,连接CM并延长,交直线$l$于点N,若$△ AMN$是等腰三角形,求点M的坐标。

解:(1)因为直线 $l$:$y=ax+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(6,0)$,
所以 $6a+3=0$,解得 $a=-\dfrac{1}{2}$,所以 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$,
所以将直线 $l$ 向下平移 4 个单位长度,得到直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+3-4$,即直线 $y=-\dfrac{1}{2}x-1$,
令 $y=0$,则 $-\dfrac{1}{2}x-1=0$,解得 $x=-2$,
令 $x=0$,则 $y=-1$,
所以 $B(-2,0)$,$C(0,-1)$。
(2)如图,若 $MN=AN$,则 $∠ AMN=∠ MAN$。
因为 $AN// BC$,所以 $∠ MAN=∠ MBC$。
因为 $∠ AMN=∠ BMC$,所以 $∠ MBC=∠ BMC$,所以 $BC=CM$。
因为 $CO⊥ BM$,所以 $OM=OB=2$,所以 $M(2,0)$。
如图,若 $AM=AN$,则 $∠ AMN=∠ ANM$。
因为 $AN// BC$,所以 $∠ ANM=∠ BCM$。
因为 $∠ AMN=∠ BMC$,所以 $∠ BCM=∠ BMC$,所以 $BC=BM$。
因为 $B(-2,0)$,$C(0,-1)$,
所以 $BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
所以 $OM=\sqrt{5}-2$,所以 $M(\sqrt{5}-2,0)$。
如图,若 $AM=MN$,则 $∠ MAN=∠ ANM$。
因为 $AN// BC$,所以 $∠ MAN=∠ MBC$,$∠ MCB=∠ ANM$,
所以 $∠ MBC=∠ MCB$,所以 $CM=BM$,
所以 $CM^2=BM^2=(OB-OM)^2=OM^2+OC^2$,即 $(2-OM)^2=OM^2+1^2$,
所以 $OM=\dfrac{3}{4}$,所以 $M(-\dfrac{3}{4},0)$。
综上,点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(\sqrt{5}-2,0)$ 或 $(-\dfrac{3}{4},0)$。