1. [2026宁波海曙区期末] 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = -\dfrac{3}{4}x + m$交$x$轴于点$A(4,0)$,交$y$轴的正半轴于点$B$,过点$A$的直线交$y$轴的负半轴于点$C$,且$BC = AB$。
(1)求$m$的值和点$C$的坐标。
(2)若点$P$为线段$AB$(不含$A,B$两点)上一动点,过点$P$作$y$轴的平行线交线段$AC$于点$Q$,连接$OP,OQ$,记四边形$APOQ$的面积为$S$。当$S = \dfrac{15}{2}$时,求点$P$的坐标。

解题思路:(1)先用待定系数法求得 $m = 3$,从而得到直线$AB$ 的函数表达式,为$y = -\dfrac{3}{4}x + 3$,进而可得 $B(0,3)$,然后用勾股定理求得 $AB=5$,再由 $BC=AB=5$,求得 $OC = BC - OB = 2$,即可得点 $C$ 的坐标;(2)先用待定系数法求得直线 $AC$ 的函数表达式,为$y=\dfrac{1}{2}x-2$,然后设 $P(t,-\dfrac{3}{4}t+3)$,根据 $PQ// y$ 轴,得 $Q(t,\dfrac{1}{2}t-2)$,从而得到 $PQ = -\dfrac{3}{4}t + 3 - (\dfrac{1}{2}t - 2) = 5 - \dfrac{5}{4}t$,再根据 $S_{四边形APOQ}=S_{△ AOP}+S_{△ AOQ}=\dfrac{1}{2}AO× PQ=\dfrac{1}{2}×4×(5-\dfrac{5}{4}t)=\dfrac{15}{2}$,求得 $t=1$,即可得点 $P$ 的坐标。
解:(1)将点 $A(4,0)$ 的坐标代入 $y = -\dfrac{3}{4}x + m$,可得 $m = 3$,
所以直线 $AB$ 的函数表达式为 $y = -\dfrac{3}{4}x + 3$,
令 $x=0$,得 $y=3$,
所以 $B(0,3)$,所以 $OB=3$。
因为 $A(4,0)$,所以 $OA=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = 5$。
因为 $BC=AB=5$,所以 $OC = BC - OB = 2$,
又因为点 $C$ 在 $y$ 轴的负半轴上,
所以点 $C$ 的坐标为 $(0,-2)$。
(2)设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = kx + b$,
将 $A(4,0)$,$C(0,-2)$ 分别代入 $y = kx + b$,得 $0=4k+b$,$-2 = b$,所以 $k=\dfrac{1}{2}$,
所以直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-2$。
设 $P(t,-\dfrac{3}{4}t+3)$,则 $Q(t,\dfrac{1}{2}t-2)$,
所以 $PQ = -\dfrac{3}{4}t + 3 - (\dfrac{1}{2}t - 2) = 5 - \dfrac{5}{4}t$,
所以 $S_{四边形APOQ}=S_{△ AOP}+S_{△ AOQ}=\dfrac{1}{2}AO× PQ=\dfrac{1}{2}×4×(5-\dfrac{5}{4}t)=\dfrac{15}{2}$,解得 $t=1$,
所以 $-\dfrac{3}{4}t+3=-\dfrac{3}{4}×1+3=\dfrac{9}{4}$,
所以点 $P$ 的坐标为 $(1,\dfrac{9}{4})$。

2. [2025沈阳皇姑区期末] 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = kx + b$与x轴交于点$B(-4,0)$,与y轴交于点A,直线$y = -2x + 4$过点A,与x轴交于点C。
(1)点A的坐标是;直线AB的函数表达式是。
(2)若点P是直线AB上一动点,且$S_{△ PBC}=S_{△ AOB}$,求P点的坐标。
(3)点M在第二象限,当$S_{△ MAB}=S_{△ AOB}$时,动点N从点B出发,先运动到点M,再从点M运动到点C后停止运动。点N的运动速度始终为每秒1个单位长度,运动的总时间为t秒,请求出t的最小值。

解:(1)$(0,4)\quad y = x + 4$
因为点 $A$ 在 $y$ 轴上,直线 $y = -2x + 4$ 过点 $A$,所以点 $A$ 的坐标为 $(0,4)$,将点 $A(0,4)$ 和点 $B(-4,0)$ 的坐标分别代入 $y = kx + b$,得 $b=4$,$-4k + b = 0$,所以 $k=1$,所以直线 $AB$ 的函数表达式为 $y = x + 4$。
(2)由题意,设点 $P$ 的坐标为 $(p,p+4)$。
因为直线 $y = -2x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $C$,
所以令 $y=0$,得 $x=2$,所以点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$。
因为点 $A(0,4)$,点 $B(-4,0)$,
所以 $OA=4$,$OB=4$,$BC=6$,
所以 $S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×4×4=8$,所以 $S_{△ PBC}=S_{△ AOB}=8$,
所以 $\dfrac{1}{2}×6×|p+4|=8$,解得 $p=-\dfrac{4}{3}$ 或 $p=-\dfrac{20}{3}$,
所以点 $P$ 的坐标为 $(-\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$ 或 $(-\dfrac{20}{3},-\dfrac{8}{3})$。
(3)因为点 $M$ 在第二象限,$S_{△ MAB}=S_{△ AOB}$,
所以 $M$ 在过点 $D(0,8)$ 且平行于 $AB$ 的线段 $DE$(不含端点)上,如图,
所以直线 $DE$ 的函数表达式为 $y = x + 8$,所以 $E(-8,0)$,
所以 $OD=OE=8$,所以 $∠ OED=45°$,
作点 $B$ 关于 $DE$ 的对称点 $B'$,连接 $CB'$,$BB'$,$EB'$,$CB'$ 交线段 $DE$ 于点 $M$,连接 $BM$,则 $BM + CM$ 的最小值即 $CB'$ 的长,
所以 $DE⊥ BB'$,$EB'=EB=4$,$BM=B'M$,$∠ B'EM=∠ BEM=45°$,
所以 $∠ BEB'=90°$,
所以 $B'(-8,4)$,所以 $CB'=\sqrt{4^2+(2+8)^2}=2\sqrt{29}$。
因为点 $N$ 的运动速度始终为每秒 1 个单位长度,运动的总时间为 $t$ 秒,所以 $t$ 的最小值为 $2\sqrt{29}$。