11.如图，点A，B，C在同一条线段上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，且AM=5 cm，CN=3 cm，求线段AB的长。

16 cm

【分析】
解题时先结合线段中点的性质思考：中点会把所在线段分成两条长度相等的线段，已知AM的长度，就可以先求出AC的总长度；同理已知CN的长度，可以求出BC的总长度。最后观察线段AB的构成，AB是AC与BC的和，将两条线段长度相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ M是线段AC的中点，AM=5 cm
∴ AC = 2AM = 2×5 = 10 cm
∵ N是线段BC的中点，CN=3 cm
∴ BC = 2CN = 2×3 = 6 cm
又
∵ 点A、B、C在同一条线段上，AB = AC + BC
∴ AB = 10 + 6 = 16 cm
【答案】
16 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，只要熟练掌握线段中点的性质，理清各线段之间的和差关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

12.如图，直线AB，CD相交于点O，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线，求∠2和∠3的度数，并说明OF是不是∠AOD的平分线。

解:因为∠BOC=80°,OE 平分∠BOC，
所以∠1=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
又因为 CD 是直线,∠BOC=80°,
所以∠2+∠BOC=180°,
所以∠2=180°−80°=100°。
同理∠2+∠AOD=180°,∠1+∠2+∠3=180°,
所以∠AOD=80°,∠3=40°,
所以∠3=$\frac{1}{2}$∠AOD,
所以 OF 是∠AOD 的平分线。

【分析】
拿到这道题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先梳理已知条件：直线AB、CD交于O，∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF是OE的反向延长线，说明EF是过点O的直线。
2. 求∠2：观察到∠2和∠BOC在直线CD同侧，构成邻补角，和为180°，代入∠BOC的度数即可直接求出∠2。
3. 求∠3：首先利用角平分线的定义，由OE平分∠BOC算出∠1的度数，再结合EF是直线，∠1+∠2+∠3为平角等于180°，代入已知角度就能算出∠3。
4. 判断OF是否平分∠AOD：先利用对顶角相等，得到∠AOD=∠BOC=80°，再对比∠3的度数，看是否等于∠AOD的一半即可判断。
【解析】
解：因为∠BOC=80°，OE平分∠BOC，
所以$∠ 1=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}× 80°=40°$。
又因为CD是直线，∠2和∠BOC互为邻补角，
所以$∠ 2+∠ BOC=180°$，
所以$∠ 2=180°-80°=100°$。
因为EF是直线，∠1、∠2、∠3构成平角，
所以$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$，
代入$∠ 1=40°，∠ 2=100°$，可得$∠ 3=180°-40°-100°=40°$。
因为直线AB、CD相交于点O，∠AOD和∠BOC是对顶角，
所以$∠ AOD=∠ BOC=80°$，
所以$∠ 3=\frac{1}{2}∠ AOD$，
所以OF是∠AOD的平分线。
【答案】
∠2的度数为100°，∠3的度数为40°，OF是∠AOD的平分线。
【知识点】
角平分线的定义，邻补角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是相交线中角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握邻补角互补、对顶角相等、角平分线的定义等基础知识点，结合平角的性质进行角度推导即可解决。
【难度系数】
0.8

13. 如图,已知 O 是直线 AB 上的一点,∠COD=90°,OE 平分∠BOC。
(1)若∠AOC=40°,则∠DOE=;
(2)若∠AOC=α,求∠DOE 的度数(用含α的代数式表示)。

13. 解:(1)20°
(2)因为 OE 平分∠BOC,∠AOC=α,
所以∠COB=180°−∠AOC=180°−α,
所以∠COE=(180°−α)×$\frac{1}{2}$=90°−$\frac{1}{2}$α。
因为∠COD=90°,
所以∠DOE=∠COD−∠COE=90°−$(90°−\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。

【分析】
解题时首先利用O在直线AB上得到∠AOB是平角，度数为180°，结合已知的∠AOC的度数可求出∠BOC的度数；再根据OE平分∠BOC，利用角平分线的性质求出∠COE的度数；最后结合∠COD=90°，用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数。第二问和第一问思路一致，仅将具体角度替换为含α的代数式推导即可。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，所以∠AOB=180°。
已知∠AOC=40°，所以∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=140°。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
又因为∠COD=90°，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-70°=20°$。
(2) 因为O是直线AB上的点，所以∠AOB=180°。
已知∠AOC=α，所以$∠ COB=180°-∠ AOC=180°-α$。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
又因为∠COD=90°，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $20°$；(2) $\frac{1}{2}α$
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是结合平角、角平分线的性质，通过角度的和差关系推导结果，解题时注意理清各个角之间的位置关系，按步骤计算即可。
【难度系数】
0.8

14.如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50 m，B小区和C小区相距200 m，C小区和D小区相距50 m。某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人。现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在哪个小区？试通过计算说明理由。

解:停靠点的位置应设在 B 小区。
理由如下：
(1)当停靠点设置在 A 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为 5×50+20×(50+200)+6×(50+200+50)=7 050(m)；
(2)当停靠点设置在 B 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为 30×50+20×200+6×(200+50)=7 000(m)；
(3)当停靠点设置在 C 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为 30×(50+200)+5×200+6×50=8 800(m)；
(4)当停靠点设置在 D 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为 30×(50+200+50)+5×(50+200)+20×50=11 250(m)。
因为 7 000＜7 050＜8 800＜11 250，
所以停靠点的位置应设在 B 小区。

【分析】
要确定最优停靠点，我们可以采用枚举法，分别计算停靠点设在A、B、C、D四个小区时所有员工步行的总路程，再比较四个总路程的大小，总路程最小的对应小区就是最佳停靠点。计算总路程时，总路程等于各小区人数乘该小区到停靠点的距离之和，计算前先明确各小区之间的距离关系即可。
【解析】
分别计算停靠点设在不同小区时的总路程：
(1) 当停靠点设置在A小区时：
总路程 = $5×50 + 20×(50+200) + 6×(50+200+50) = 250 + 5000 + 1800 = 7050(\mathrm{m})$
(2) 当停靠点设置在B小区时：
总路程 = $30×50 + 20×200 + 6×(200+50) = 1500 + 4000 + 1500 = 7000(\mathrm{m})$
(3) 当停靠点设置在C小区时：
总路程 = $30×(50+200) + 5×200 + 6×50 = 7500 + 1000 + 300 = 8800(\mathrm{m})$
(4) 当停靠点设置在D小区时：
总路程 = $30×(50+200+50) + 5×(50+200) + 20×50 = 9000 + 1250 + 1000 = 11250(\mathrm{m})$
对比四个总路程的大小：$7000＜7050＜8800＜11250$，因此停靠点设在B小区时所有员工步行总路程最小。
【答案】
停靠点的位置应设在B小区。
【知识点】
有理数运算，大小比较，最优方案选择
【点评】
本题结合生活场景考查数学应用能力，解题思路清晰，只要准确计算不同方案下的总路程，再通过大小比较即可得到结论，贴近实际生活，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7