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7. 提升题 某经销商销售一种燃气加热器。如图,射线OA反映了其销售收入$y_1$(单位:元)与销售量$x$(单位:台)之间的关系;射线BC反映了其销售成本$y_2$(单位:元)与销售量$x$(单位:台)之间的关系,其中$x≥0$。根据图象解答下列问题。
(1)求射线OA,BC对应的函数表达式。
(2)求射线OA,BC的交点P的坐标,并指出点P的坐标表示的实际意义。
(3)若该经销商10月份销售此加热器35台,则10月份可获利多少元?
(1)求射线OA,BC对应的函数表达式。
(2)求射线OA,BC的交点P的坐标,并指出点P的坐标表示的实际意义。
(3)若该经销商10月份销售此加热器35台,则10月份可获利多少元?
答案
解:(1)设射线 OA 对应的函数表达式为 $y_1=k_1x(k_1≠0)$。
将$(20,12\ 000)$代入,得 $12\ 000=20k_1$,解得 $k_1=600$,所以 $y_1=600x$。
设射线 BC 对应的函数表达式为 $y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
将$(0,2\ 000),(20,10\ 000)$代入,得$\begin{cases}b=2\ 000,\\20k_2+b=10\ 000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=400,\\b=2\ 000。\end{cases}$
所以 $y_2=400x+2\ 000$。
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$600x=400x+2\ 000$。
解得 $x=10$,则 $y_1=y_2=6\ 000$,
故射线 OA 与射线 BC 的交点 P 的坐标为$(10,6\ 000)$,
此时点 P 的坐标表示的实际意义是当销售量为 10 台时,销售成本与销售收入相等。
(3)设销售利润为 $w$ 元。
根据题意,得 $w=y_1-y_2=600x-(400x+2\ 000)=200x-2\ 000$。
当 $x=35$ 时,$w=200×35-2\ 000=5\ 000$。
答:该经销商 10 月份销售此加热器 35 台可获利 5 000 元。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求射线对应的函数表达式：射线OA是过原点的正比例函数，只需设解析式代入1个已知点即可求出系数；射线BC是普通一次函数，设解析式后代入图象给出的2个已知点，解二元一次方程组就能得到系数，这一步用的是待定系数法。
2. 求两条射线的交点P：交点处两个函数的函数值相等，联立两个函数表达式解方程即可得到x、y的值；结合销售收入、销售成本的实际含义，就能解释交点P的实际意义。
3. 计算销售利润：根据“利润=销售收入-销售成本”的数量关系，先写出利润关于销售量x的表达式，再把x=35代入计算即可得到获利金额。
【解析】
(1) 设射线OA对应的函数表达式为 $y_1=k_1x(k_1≠0)$。
将$(20,12\ 000)$代入，得 $12\ 000=20k_1$，解得 $k_1=600$，因此$y_1=600x\ (x≥0)$。
设射线BC对应的函数表达式为 $y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
将$(0,2\ 000),(20,10\ 000)$代入，得$\begin{cases}b=2\ 000\\20k_2+b=10\ 000\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=400\\b=2\ 000\end{cases}$，因此$y_2=400x+2\ 000\ (x≥0)$。
(2) 令$y_1=y_2$，可得$600x=400x+2\ 000$，解得$x=10$，代入$y_1=600x$得$y=6000$，故P点坐标为$(10,6000)$。
实际意义：当销售量为10台时，销售收入和销售成本相等，此时不赚不亏。
(3) 设利润为$w$元，由$w=y_1-y_2$得：$w=600x-(400x+2000)=200x-2000$。
把$x=35$代入得：$w=200×35-2000=5000$。
【答案】
解:(1)设射线 OA 对应的函数表达式为 $y_1=k_1x(k_1≠0)$。
将$(20,12\ 000)$代入,得 $12\ 000=20k_1$,解得 $k_1=600$,所以 $y_1=600x$。
设射线 BC 对应的函数表达式为 $y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
将$(0,2\ 000),(20,10\ 000)$代入,得$\begin{cases}b=2\ 000,\\20k_2+b=10\ 000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=400,\\b=2\ 000。\end{cases}$
所以 $y_2=400x+2\ 000$。
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$600x=400x+2\ 000$。
解得 $x=10$,则 $y_1=y_2=6\ 000$,
故射线 OA 与射线 BC 的交点 P 的坐标为$(10,6\ 000)$,
此时点 P 的坐标表示的实际意义是当销售量为 10 台时,销售成本与销售收入相等。
(3)设销售利润为 $w$ 元。
根据题意,得 $w=y_1-y_2=600x-(400x+2\ 000)=200x-2\ 000$。
当 $x=35$ 时,$w=200×35-2\ 000=5\ 000$。
答:该经销商 10 月份销售此加热器 35 台可获利 5 000 元。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数交点意义
3. 一次函数实际应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，是一次函数应用的典型基础题，核心考查待定系数法求函数表达式的方法，需要学生准确理解函数图象与实际数量的对应关系，理清利润、收入、成本三者的逻辑，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求射线对应的函数表达式：射线OA是过原点的正比例函数，只需设解析式代入1个已知点即可求出系数；射线BC是普通一次函数，设解析式后代入图象给出的2个已知点，解二元一次方程组就能得到系数，这一步用的是待定系数法。
2. 求两条射线的交点P：交点处两个函数的函数值相等，联立两个函数表达式解方程即可得到x、y的值；结合销售收入、销售成本的实际含义，就能解释交点P的实际意义。
3. 计算销售利润：根据“利润=销售收入-销售成本”的数量关系，先写出利润关于销售量x的表达式，再把x=35代入计算即可得到获利金额。
【解析】
(1) 设射线OA对应的函数表达式为 $y_1=k_1x(k_1≠0)$。
将$(20,12\ 000)$代入，得 $12\ 000=20k_1$，解得 $k_1=600$，因此$y_1=600x\ (x≥0)$。
设射线BC对应的函数表达式为 $y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
将$(0,2\ 000),(20,10\ 000)$代入，得$\begin{cases}b=2\ 000\\20k_2+b=10\ 000\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=400\\b=2\ 000\end{cases}$，因此$y_2=400x+2\ 000\ (x≥0)$。
(2) 令$y_1=y_2$，可得$600x=400x+2\ 000$，解得$x=10$，代入$y_1=600x$得$y=6000$，故P点坐标为$(10,6000)$。
实际意义：当销售量为10台时，销售收入和销售成本相等，此时不赚不亏。
(3) 设利润为$w$元，由$w=y_1-y_2$得：$w=600x-(400x+2000)=200x-2000$。
把$x=35$代入得：$w=200×35-2000=5000$。
【答案】
解:(1)设射线 OA 对应的函数表达式为 $y_1=k_1x(k_1≠0)$。
将$(20,12\ 000)$代入,得 $12\ 000=20k_1$,解得 $k_1=600$,所以 $y_1=600x$。
设射线 BC 对应的函数表达式为 $y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
将$(0,2\ 000),(20,10\ 000)$代入,得$\begin{cases}b=2\ 000,\\20k_2+b=10\ 000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=400,\\b=2\ 000。\end{cases}$
所以 $y_2=400x+2\ 000$。
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$600x=400x+2\ 000$。
解得 $x=10$,则 $y_1=y_2=6\ 000$,
故射线 OA 与射线 BC 的交点 P 的坐标为$(10,6\ 000)$,
此时点 P 的坐标表示的实际意义是当销售量为 10 台时,销售成本与销售收入相等。
(3)设销售利润为 $w$ 元。
根据题意,得 $w=y_1-y_2=600x-(400x+2\ 000)=200x-2\ 000$。
当 $x=35$ 时,$w=200×35-2\ 000=5\ 000$。
答:该经销商 10 月份销售此加热器 35 台可获利 5 000 元。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数交点意义
3. 一次函数实际应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，是一次函数应用的典型基础题，核心考查待定系数法求函数表达式的方法，需要学生准确理解函数图象与实际数量的对应关系，理清利润、收入、成本三者的逻辑，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
