关于坐标轴对称的点的坐标特征
(1) 点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为.
(2) 点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为.

解：
(1) 点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(x,-y)}$。
(2) 点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-x,y)}$。

【分析】
要解决这道题，我们可以结合轴对称的性质推导坐标变化规律：①关于x轴对称的两个点，连线被x轴垂直平分，说明两点的横坐标相同，纵坐标到x轴的距离相等、符号相反，即纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，连线被y轴垂直平分，说明两点的纵坐标相同，横坐标到y轴的距离相等、符号相反，即横坐标互为相反数，根据这个规律就能直接写出对称点的坐标。
【解析】
(1) 点$(x,y)$关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数，因此对称点的坐标为$(x,-y)$。
(2) 点$(x,y)$关于y轴对称时，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数，因此对称点的坐标为$(-x,y)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x,-y)}$；(2) $\boldsymbol{(-x,y)}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律；2. 关于y轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题是对坐标轴对称点坐标特征的基础考查，属于识记类题型，牢记“横轴对称横同纵反，纵轴对称纵同横反”的规律即可快速作答，是后续学习轴对称图形坐标变换的基础。
【难度系数】
0.9

【例1】已知点$A(m-1,3)$与点$B(2,n-1)$关于$x$轴对称，则$(m+n)^{2026}$的值为（）.

A.0
B.1
C.-1
D.$3^{2026}$

B

【分析】
解决本题的核心是牢记关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。解题时先根据这一特征列出关于m、n的方程，求解得到m、n的值后，代入代数式计算乘方即可得到最终结果。
【解析】
∵ 点$A(m-1,3)$与点$B(2,n-1)$关于$x$轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}m-1=2 \\ n-1=-3\end{cases}$
解第一个方程：$m=2+1=3$
解第二个方程：$n=-3+1=-2$
将$m=3$，$n=-2$代入$(m+n)^{2026}$得：
$m+n=3+(-2)=1$
∴ $(m+n)^{2026}=1^{2026}=1$
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；有理数的乘方
【点评】
本题是基础题型，重点考查坐标轴对称的坐标规律应用，解题的关键是准确区分关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，避免混淆规律导致计算错误，同时要熟记1的任意次幂都为1的特性。
【难度系数】
0.8

【变式1】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(小正方形的边长均为1).
(1)分别写出以下顶点的坐标:A(, );B(, ).
(2)顶点A关于x轴对称的点A'的坐标为(, ),顶点C关于y轴对称的点C'的坐标为(, ).
(3)求△ABC的面积.

解：
(1) A(-4, 3)；B(3, 0)
(2) A'(-4, -3)；C'(2, 5)
(3) 用割补法计算△ABC的面积：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=5×7 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×5×5 - \frac{1}{2}×7×3\\&=35 - 2 - 12.5 - 10.5\\&=10\end{aligned}$
综上，△ABC的面积为10。

【分析】
(1) 求点的坐标时，横坐标看该点对应x轴的刻度，左负右正，纵坐标看对应y轴的刻度，下负上正，直接读取A、B两点的坐标即可。
(2) 关于x轴对称的点坐标规律为横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于y轴对称的点坐标规律为纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数。先确定C点坐标，再按规律计算对称点坐标即可。
(3) 网格中不规则三角形的面积适合用割补法求解：先构造一个完全包含△ABC的矩形，用矩形面积减去周围3个多余直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：A点对应x轴刻度为-4，y轴刻度为3，即A(-4,3)；B点对应x轴刻度为3，y轴刻度为0，即B(3,0)。
(2) 由关于x轴对称的点坐标规律，A(-4,3)的对称点A'横坐标不变，纵坐标取反，即A'(-4,-3)；读取C点坐标为(-2,5)，由关于y轴对称的点坐标规律，C的对称点C'纵坐标不变，横坐标取反，即C'(2,5)。
(3) 用割补法计算：
包含△ABC的矩形横向长为$3-(-4)=7$，纵向宽为$5-0=5$，矩形面积为$5×7=35$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
左上角小三角形：$\frac{1}{2}×2×2=2$
右上角三角形：$\frac{1}{2}×5×5=12.5$
下方三角形：$\frac{1}{2}×7×3=10.5$
因此$S_{△ABC}=35 - 2 - 12.5 - 10.5=10$。
【答案】
(1) -4，3；3，0
(2) -4，-3；2，5
(3) 10
【知识点】
点的坐标识别，轴对称点的坐标规律，割补法求面积
【点评】
本题是坐标系基础应用类题目，覆盖了坐标读取、对称点坐标变换、网格图形面积计算三个常见考点，掌握对应基础规则和割补法的操作方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.85

【例2】△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A,B,C三点的坐标分别为(2,4)，(1,1),(3,2)。
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标；
(2)作出与△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂，并写出点C₂的坐标。

解：
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
可得点A、B、C关于x轴对称的对应点坐标分别为$A_1(2,-4)$，$B_1(1,-1)$，$C_1(3,-2)$，
在平面直角坐标系中描出这三个点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
点$C_1$的坐标为$(3,-2)$。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
可得点A、B、C关于y轴对称的对应点坐标分别为$A_2(-2,4)$，$B_2(-1,1)$，$C_2(-3,2)$，
在平面直角坐标系中描出这三个点，依次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
点$C_2$的坐标为$(-3,2)$。

【分析】
解决本题首先要明确关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，作一个图形关于坐标轴的轴对称图形，只需要先找到原图形各顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出这些对称点，最后依次连接各对称点即可得到所求的轴对称图形。(1)问利用关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的特征，先求A、B、C三点的对称点坐标，再作图得到C₁坐标；(2)问利用关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数的特征，同理求对称点坐标、作图得到C₂坐标。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
可得点A、B、C关于x轴对称的对应点坐标分别为$A_1(2,-4)$，$B_1(1,-1)$，$C_1(3,-2)$，
在平面直角坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
可得点A、B、C关于y轴对称的对应点坐标分别为$A_2(-2,4)$，$B_2(-1,1)$，$C_2(-3,2)$，
在平面直角坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三个点，依次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) 点$C_1$的坐标为$\boldsymbol{(3,-2)}$；
(2) 点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$。
（作图均按上述解析中对应点坐标描点连线即可）
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 关于y轴对称的点的坐标规律
3. 作轴对称图形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查利用坐标变化作轴对称图形的能力，解题核心是熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，准确计算对应点坐标后即可顺利作图求解。
【难度系数】
0.8

【变式2】作图(不要求写作法):如图(见下页),△ABC在平面直角坐标系中,其中,点A,B,C的坐标分别为(-2,1),(-4,5),(-5,2).
(1)作与△ABC关于直线$l:x=-1$对称的△$A_1B_1C_1$,其中,点A,B,C的对称点分别为点$A_1,B_1,C_1$;
(2)写出点$A_1,B_1,C_1$的坐标.

解：
(1) 分别作出点A、B、C关于直线$l:x=-1$的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于直线$x=-1$对称的点的坐标特征：纵坐标不变，对应点到直线$x=-1$的距离相等，计算得：
$A_1(0,1)$，
$B_1(2,5)$，
$C_1(3,2)$。

【分析】
本题包含作图和求对称点坐标两个问题，解题思路清晰：首先明确关于直线$x=-1$对称的点的坐标特征：两点纵坐标相同，横坐标的中点在直线$x=-1$上，也就是两点到直线$x=-1$的水平距离相等；作图时先找到A、B、C三点关于直线$l$的对称点，再顺次连接各对称点即可得到对称三角形；求坐标时直接利用上述对称规律分别计算三个点的对称点坐标即可。
【解析】
(1) 作图过程：分别过点A、B、C作直线$l:x=-1$的垂线，延长垂线，在直线$l$的另一侧截取与原顶点到$l$的距离相等的线段，端点即为对应对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$就是所求的对称三角形。
(2) 关于直线$x=-1$对称的点纵坐标不变，设原点点横坐标为$x_0$，对应对称点横坐标为$x$，满足$\frac{x+x_0}{2}=-1$，即$x=-2-x_0$：
点$A(-2,1)$的对称点$A_1$横坐标为$-2-(-2)=0$，纵坐标为1，得$A_1(0,1)$；
点$B(-4,5)$的对称点$B_1$横坐标为$-2-(-4)=2$，纵坐标为5，得$B_1(2,5)$；
点$C(-5,2)$的对称点$C_1$横坐标为$-2-(-5)=3$，纵坐标为2，得$C_1(3,2)$。
【答案】
(1) 按上述方法作出$△ A_1B_1C_1$即可；
(2) $A_1(0,1)$，$B_1(2,5)$，$C_1(3,2)$
【知识点】
轴对称作图，坐标表示轴对称，对称点坐标特征
【点评】
本题属于轴对称的基础应用题型，重点考查竖直轴对称的图形作图方法和对称点坐标计算规律，掌握“关于$x=a$对称的点纵坐标不变，横坐标之和为$2a$”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8