登录
1. 在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是190 cm，方差分别是$s^{2}_{甲}=3.6$，$s^{2}_{乙}=2.9$，$s^{2}_{丙}=6.8$，$s^{2}_{丁}=7.5$，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，最应该派去参加比赛的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
)。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1. B
解析
【分析】
要选择发挥稳定的运动员参赛，核心是判断4名运动员成绩的稳定性。我们知道，方差是衡量数据波动程度的统计量，当平均成绩相同时，方差越小，说明成绩波动越小，发挥越稳定。因此解题思路为：先比较4名运动员方差的大小，找到方差最小的运动员即可。
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
已知4名运动员的平均成绩均为190cm，方差大小关系为：$s^{2}_{乙}=2.9 ＜ s^{2}_{甲}=3.6 ＜ s^{2}_{丙}=6.8 ＜ s^{2}_{丁}=7.5$，因此乙的方差最小，成绩最稳定，应选择乙参赛。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是方差在实际场景中的简单应用，解题的关键是牢记“平均成绩相同时，方差越小数据越稳定”的规律，难度较低。
【难度系数】
0.9
要选择发挥稳定的运动员参赛，核心是判断4名运动员成绩的稳定性。我们知道，方差是衡量数据波动程度的统计量，当平均成绩相同时，方差越小，说明成绩波动越小，发挥越稳定。因此解题思路为：先比较4名运动员方差的大小，找到方差最小的运动员即可。
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
已知4名运动员的平均成绩均为190cm，方差大小关系为：$s^{2}_{乙}=2.9 ＜ s^{2}_{甲}=3.6 ＜ s^{2}_{丙}=6.8 ＜ s^{2}_{丁}=7.5$，因此乙的方差最小，成绩最稳定，应选择乙参赛。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是方差在实际场景中的简单应用，解题的关键是牢记“平均成绩相同时，方差越小数据越稳定”的规律，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 学校食堂有15元、18元、20元三种盒饭供学生选择(每人购一份)。某天盒饭销售情况如图6-1所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是(
A.15元
B.16元
C.17元
D.18元
C
)。A.15元
B.16元
C.17元
D.18元
答案
2. C
解析
【分析】要计算学生购买盒饭费用的平均数，属于加权平均数计算问题。首先从扇形统计图中获取15元、18元盒饭的销售占比，先算出20元盒饭的销售占比，再根据加权平均数的计算方法，将每种盒饭的单价乘以对应的销售占比，求和即可得到平均费用。
【解析】首先计算20元盒饭的销售占比：
扇形统计图总占比为100%，因此20元盒饭占比 = $1 - 50\% - 40\% = 10\%$
根据加权平均数公式计算平均费用：
$\bar{x} = 15×40\% + 18×50\% + 20×10\%$
计算得：$15×0.4=6$，$18×0.5=9$，$20×0.1=2$
总和为$6+9+2=17$（元）
【答案】C
【知识点】扇形统计图；加权平均数计算
【点评】解决本题的关键是读懂扇形统计图，明确各部分占比之和为1，熟练掌握加权平均数的计算方法，用数据乘以对应权重求和即可得到结果。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算20元盒饭的销售占比：
扇形统计图总占比为100%，因此20元盒饭占比 = $1 - 50\% - 40\% = 10\%$
根据加权平均数公式计算平均费用：
$\bar{x} = 15×40\% + 18×50\% + 20×10\%$
计算得：$15×0.4=6$，$18×0.5=9$，$20×0.1=2$
总和为$6+9+2=17$（元）
【答案】C
【知识点】扇形统计图；加权平均数计算
【点评】解决本题的关键是读懂扇形统计图，明确各部分占比之和为1，熟练掌握加权平均数的计算方法，用数据乘以对应权重求和即可得到结果。
【难度系数】0.8
3. 数学活动课上，小红对100个数字进行了统计，如表6-1：
表6-1
则这100个数字的上四分位数、下四分位数分别为(
A.8,2
B.2,8
C.12,12
D.12,8
表6-1
则这100个数字的上四分位数、下四分位数分别为(
A
)。A.8,2
B.2,8
C.12,12
D.12,8
答案
3. A
解析
【分析】要计算这组数据的上四分位数（第75百分位数）和下四分位数（第25百分位数），需按以下思路求解：首先明确总数据个数n，分别算出上下四分位数对应的位置；再通过整理累计频数，定位对应位置的数字，即可得到结果。
【解析】已知共有100个数字，即n=100：
1. 求下四分位数：
下四分位数对应位置为 $ 100 × 25\% = 25 $，即下四分位数是第25个和第26个数字的平均数。
计算累计频数：
数字0的累计频数为8（对应第1~8个数字）；
数字1的累计频数为 $ 8+8=16 $（对应第9~16个数字）；
数字2的累计频数为 $ 16+12=28 $（对应第17~28个数字）。
可得第25、26个数字均为2，因此下四分位数为2。
2. 求上四分位数：
上四分位数对应位置为 $ 100 × 75\% =75 $，即上四分位数是第75个和第76个数字的平均数。
继续计算累计频数：
数字3累计：$ 28+11=39 $
数字4累计：$ 39+10=49 $
数字5累计：$ 49+8=57 $
数字6累计：$ 57+9=66 $
数字7累计：$ 66+8=74 $（对应第1~74个数字）
数字8累计：$ 74+12=86 $（对应第75~86个数字）
可得第75、76个数字均为8，因此上四分位数为8。
综上，上四分位数为8，下四分位数为2，答案选A。
【答案】A
【知识点】四分位数计算，频数分布表，百分位数
【点评】本题属于统计基础题型，核心是掌握四分位数的计算步骤，结合累计频数快速定位对应数据，解题时注意不要混淆上下四分位数的排序要求。
【难度系数】0.7
【解析】已知共有100个数字，即n=100：
1. 求下四分位数：
下四分位数对应位置为 $ 100 × 25\% = 25 $，即下四分位数是第25个和第26个数字的平均数。
计算累计频数：
数字0的累计频数为8（对应第1~8个数字）；
数字1的累计频数为 $ 8+8=16 $（对应第9~16个数字）；
数字2的累计频数为 $ 16+12=28 $（对应第17~28个数字）。
可得第25、26个数字均为2，因此下四分位数为2。
2. 求上四分位数：
上四分位数对应位置为 $ 100 × 75\% =75 $，即上四分位数是第75个和第76个数字的平均数。
继续计算累计频数：
数字3累计：$ 28+11=39 $
数字4累计：$ 39+10=49 $
数字5累计：$ 49+8=57 $
数字6累计：$ 57+9=66 $
数字7累计：$ 66+8=74 $（对应第1~74个数字）
数字8累计：$ 74+12=86 $（对应第75~86个数字）
可得第75、76个数字均为8，因此上四分位数为8。
综上，上四分位数为8，下四分位数为2，答案选A。
【答案】A
【知识点】四分位数计算，频数分布表，百分位数
【点评】本题属于统计基础题型，核心是掌握四分位数的计算步骤，结合累计频数快速定位对应数据，解题时注意不要混淆上下四分位数的排序要求。
【难度系数】0.7
4. 某跳水运动员第五轮跳水的7个打分分别是（单位:分）:9.5，9.0，9.0，9.0，10.0，9.5，9.0，这组数据的众数和中位数分别是
9.0
分和9.0
分。答案
4. 9.0 9.0
解析
【分析】
要解决这道题，需分别根据众数和中位数的定义分步计算：①求众数时，先统计这组数据中每个分数出现的次数，出现次数最多的数就是众数；②求中位数时，首先要把这组数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是7，为奇数，所以排在最中间位置的数就是中位数。
【解析】
1. 计算众数：统计各打分的出现次数，9.0出现了4次，9.5出现了2次，10.0出现了1次，其中9.0出现的次数最多，因此众数是9.0分。
2. 计算中位数：先将这组数据从小到大排序为：9.0，9.0，9.0，9.0，9.5，9.5，10.0。数据总个数为7（奇数），中间位置是第$\frac{7+1}{2}=4$个，第4个数据是9.0，因此中位数是9.0分。
【答案】
9.0；9.0
【知识点】
众数的概念；中位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查对众数、中位数定义的理解和应用，解题的关键是牢记定义，尤其注意计算中位数前必须先对数据排序。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需分别根据众数和中位数的定义分步计算：①求众数时，先统计这组数据中每个分数出现的次数，出现次数最多的数就是众数；②求中位数时，首先要把这组数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是7，为奇数，所以排在最中间位置的数就是中位数。
【解析】
1. 计算众数：统计各打分的出现次数，9.0出现了4次，9.5出现了2次，10.0出现了1次，其中9.0出现的次数最多，因此众数是9.0分。
2. 计算中位数：先将这组数据从小到大排序为：9.0，9.0，9.0，9.0，9.5，9.5，10.0。数据总个数为7（奇数），中间位置是第$\frac{7+1}{2}=4$个，第4个数据是9.0，因此中位数是9.0分。
【答案】
9.0；9.0
【知识点】
众数的概念；中位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查对众数、中位数定义的理解和应用，解题的关键是牢记定义，尤其注意计算中位数前必须先对数据排序。
【难度系数】
0.9
5. 某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，学期综合评价成绩在90分以上评为“优秀”。表6-2是
小明和小亮两位同学某学科的成绩。
表6-2
(1)若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算小明的学期综合评价成绩；
(2)若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小亮该学科能否被评为“优秀”。
小明和小亮两位同学某学科的成绩。
表6-2
(1)若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算小明的学期综合评价成绩；
(2)若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小亮该学科能否被评为“优秀”。
答案
5. 解:(1)$\frac{1}{3} ×(90+76+89)=85$(分)，所以小明的学期综合评价成绩为85分。
(2)$\frac{92×2+62×3+95×5}{2+3+5}=84.5$(分)，所以小亮在期末考试中的成绩是84.5分。
因为学期综合评价成绩在90分以上评为“优秀”，所以小亮该学科不能被评为“优秀”。
(2)$\frac{92×2+62×3+95×5}{2+3+5}=84.5$(分)，所以小亮在期末考试中的成绩是84.5分。
因为学期综合评价成绩在90分以上评为“优秀”，所以小亮该学科不能被评为“优秀”。
解析
【分析】
(1) 第一问要求以三项成绩的平均分作为综合评价成绩，考查算术平均数的计算，解题时先求出小明三项成绩的总和，再除以项数3即可得到综合成绩。
(2) 第二问按2:3:5的比例计算综合成绩，考查加权平均数的计算，2、3、5分别是三项成绩对应的权重，解题时先将小亮的三项成绩分别乘对应的权重求和得到加权总分，再除以权重之和得到综合成绩，最后将结果和90分比较，判断是否符合优秀标准。
【解析】
(1) 根据算术平均数的计算公式：
$\begin{aligned}\mathrm{小明的综合评价成绩}&=\frac{1}{3}×(\mathrm{平时成绩}+\mathrm{期中成绩}+\mathrm{期末成绩})\\&=\frac{1}{3}×(90+76+89)\\&=\frac{1}{3}×255\\&=85\ (\mathrm{分})\end{aligned}$
(2) 根据加权平均数的计算公式，三项成绩权重比为2:3:5，总权重为$2+3+5=10$：
$\begin{aligned}\mathrm{小亮的综合评价成绩}&=\frac{\mathrm{平时成绩}×2+\mathrm{期中成绩}×3+\mathrm{期末成绩}×5}{2+3+5}\\&=\frac{92×2+62×3+95×5}{10}\\&=\frac{184+186+475}{10}\\&=\frac{845}{10}\\&=84.5\ (\mathrm{分})\end{aligned}$
已知学期综合评价成绩90分以上评为优秀，$84.5＜90$，因此小亮该学科不能被评为优秀。
【答案】
(1) 小明的学期综合评价成绩为85分；(2) 小亮该学科不能被评为“优秀”。
【知识点】
算术平均数计算；加权平均数计算
【点评】
本题结合实际成绩评定场景考查平均数的应用，需要区分算术平均数和加权平均数的使用场景，计算时准确代入数据即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问要求以三项成绩的平均分作为综合评价成绩，考查算术平均数的计算，解题时先求出小明三项成绩的总和，再除以项数3即可得到综合成绩。
(2) 第二问按2:3:5的比例计算综合成绩，考查加权平均数的计算，2、3、5分别是三项成绩对应的权重，解题时先将小亮的三项成绩分别乘对应的权重求和得到加权总分，再除以权重之和得到综合成绩，最后将结果和90分比较，判断是否符合优秀标准。
【解析】
(1) 根据算术平均数的计算公式：
$\begin{aligned}\mathrm{小明的综合评价成绩}&=\frac{1}{3}×(\mathrm{平时成绩}+\mathrm{期中成绩}+\mathrm{期末成绩})\\&=\frac{1}{3}×(90+76+89)\\&=\frac{1}{3}×255\\&=85\ (\mathrm{分})\end{aligned}$
(2) 根据加权平均数的计算公式，三项成绩权重比为2:3:5，总权重为$2+3+5=10$：
$\begin{aligned}\mathrm{小亮的综合评价成绩}&=\frac{\mathrm{平时成绩}×2+\mathrm{期中成绩}×3+\mathrm{期末成绩}×5}{2+3+5}\\&=\frac{92×2+62×3+95×5}{10}\\&=\frac{184+186+475}{10}\\&=\frac{845}{10}\\&=84.5\ (\mathrm{分})\end{aligned}$
已知学期综合评价成绩90分以上评为优秀，$84.5＜90$，因此小亮该学科不能被评为优秀。
【答案】
(1) 小明的学期综合评价成绩为85分；(2) 小亮该学科不能被评为“优秀”。
【知识点】
算术平均数计算；加权平均数计算
【点评】
本题结合实际成绩评定场景考查平均数的应用，需要区分算术平均数和加权平均数的使用场景，计算时准确代入数据即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.85
6. 番茄种植的重要环节就是浇灌，传统的浇灌方式有两种：A. 漫灌；B. 滴灌。为了对比产量，某种植户对两种浇灌方式下的10垄番茄产量(单位:kg)进行收集、整理，并给出了A，B两种浇灌方式下10垄番茄产量统计表，如表6-3。
A:12,14,14,14,14,16,16,18,18,20。
B:12,14,14,16,16,16,16,18,18,20。
表6-3
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中，$a=$
(2)若有60垄番茄采用漫灌的方式，40垄番茄采用滴灌的方式，则这100垄番茄的总产量大约是
(3)请利用平均数和方差对漫灌和滴灌两种浇灌方式对番茄产量的影响进行综合评价。
A:12,14,14,14,14,16,16,18,18,20。
B:12,14,14,16,16,16,16,18,18,20。
表6-3
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中，$a=$
16
，$b=$15
，$c=$16
。(2)若有60垄番茄采用漫灌的方式，40垄番茄采用滴灌的方式，则这100垄番茄的总产量大约是
1 576
kg。(3)请利用平均数和方差对漫灌和滴灌两种浇灌方式对番茄产量的影响进行综合评价。
答案
6. (1) 16 15 16
(2) 1 576
(3) 解:由 $\overline{x}_A=15.6\ \mathrm{kg},\overline{x}_B=16\ \mathrm{kg}$,可以看出,滴灌方式下番茄产量的平均数较高；由 $s_A^2=5.44,s_B^2=4.8$,可以看出,滴灌方式下番茄产量的波动较小。所以滴灌方式比漫灌方式更适合番茄的种植。
(2) 1 576
(3) 解:由 $\overline{x}_A=15.6\ \mathrm{kg},\overline{x}_B=16\ \mathrm{kg}$,可以看出,滴灌方式下番茄产量的平均数较高；由 $s_A^2=5.44,s_B^2=4.8$,可以看出,滴灌方式下番茄产量的波动较小。所以滴灌方式比漫灌方式更适合番茄的种植。
解析
【分析】
(1) 分别依据平均数、中位数、众数的定义求解：平均数为数据总和除以数据个数；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。(2) 用两种浇灌方式的平均产量分别乘对应垄数，求和即可得到总产量。(3) 平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，结合两个统计量的意义对比两种浇灌方式即可。
【解析】
(1) 计算$a$（B组产量的平均数）：
$\begin{aligned}a&=\frac{12+14+14+16+16+16+16+18+18+20}{10}\\&=\frac{160}{10}=16\end{aligned}$
计算$b$（A组产量的中位数）：A组数据已从小到大排序，共10个数据，第5、6个数据分别为14和16，因此$b=\frac{14+16}{2}=15$。
计算$c$（B组产量的众数）：B组中16出现次数最多，共4次，因此$c=16$。
(2) 计算100垄番茄总产量：
$15.6×60+16×40=936+640=1576(\mathrm{kg})$
(3) 对比统计量：①平均产量：滴灌的平均产量$\overline{x}_B=16\ \mathrm{kg}$高于漫灌的平均产量$\overline{x}_A=15.6\ \mathrm{kg}$，说明滴灌整体产量水平更高；②方差：滴灌的方差$s_B^2=4.8$小于漫灌的方差$s_A^2=5.44$，说明滴灌产量波动更小，更稳定。因此滴灌更适合番茄种植。
【答案】
(1) $16$；$15$；$16$
(2) $1576$
(3) 滴灌方式下番茄产量的平均数较高，且产量波动更小，所以滴灌方式比漫灌方式更适合番茄的种植。
【知识点】
平均数的计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计特征数的计算与应用，需要学生熟练掌握各统计量的定义和实际含义，能够借助统计量对实际问题做出合理分析与决策，是统计部分的典型应用题。
【难度系数】
0.8
(1) 分别依据平均数、中位数、众数的定义求解：平均数为数据总和除以数据个数；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。(2) 用两种浇灌方式的平均产量分别乘对应垄数，求和即可得到总产量。(3) 平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，结合两个统计量的意义对比两种浇灌方式即可。
【解析】
(1) 计算$a$（B组产量的平均数）：
$\begin{aligned}a&=\frac{12+14+14+16+16+16+16+18+18+20}{10}\\&=\frac{160}{10}=16\end{aligned}$
计算$b$（A组产量的中位数）：A组数据已从小到大排序，共10个数据，第5、6个数据分别为14和16，因此$b=\frac{14+16}{2}=15$。
计算$c$（B组产量的众数）：B组中16出现次数最多，共4次，因此$c=16$。
(2) 计算100垄番茄总产量：
$15.6×60+16×40=936+640=1576(\mathrm{kg})$
(3) 对比统计量：①平均产量：滴灌的平均产量$\overline{x}_B=16\ \mathrm{kg}$高于漫灌的平均产量$\overline{x}_A=15.6\ \mathrm{kg}$，说明滴灌整体产量水平更高；②方差：滴灌的方差$s_B^2=4.8$小于漫灌的方差$s_A^2=5.44$，说明滴灌产量波动更小，更稳定。因此滴灌更适合番茄种植。
【答案】
(1) $16$；$15$；$16$
(2) $1576$
(3) 滴灌方式下番茄产量的平均数较高，且产量波动更小，所以滴灌方式比漫灌方式更适合番茄的种植。
【知识点】
平均数的计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计特征数的计算与应用，需要学生熟练掌握各统计量的定义和实际含义，能够借助统计量对实际问题做出合理分析与决策，是统计部分的典型应用题。
【难度系数】
0.8
