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二、拓展性作业
7. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为(单位:环):
甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9。
教练根据他们的成绩绘制了统计表6-1-12:
表6-1-12
根据以上信息,请解答下面的问题:
(1)a=
(2)教练根据这5次成绩,决定选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)若选手乙再射击一次,命中的成绩是8环,则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会
7. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为(单位:环):
甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9。
教练根据他们的成绩绘制了统计表6-1-12:
表6-1-12
根据以上信息,请解答下面的问题:
(1)a=
8
,b=8
,c=0.4
。(2)教练根据这5次成绩,决定选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)若选手乙再射击一次,命中的成绩是8环,则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会
变小
。(填“变大”“变小”或“不变”)答案
7. (1) 8 8 0.4
(2)解:教练根据这5次成绩,决定选择甲参加射击比赛,教练的理由是两人的平均成绩相同,而甲的成绩的方差更小,即甲的成绩更稳定。
(3) 变小
(2)解:教练根据这5次成绩,决定选择甲参加射击比赛,教练的理由是两人的平均成绩相同,而甲的成绩的方差更小,即甲的成绩更稳定。
(3) 变小
解析
【分析】
(1) 求a即求乙的平均成绩，按照平均数“总分之和÷数据个数”的公式计算即可；求b即求甲成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲各成绩的出现次数就能得到；求c即求甲成绩的方差，先算每个数据与平均数的差的平方，再求平均值即可。
(2) 选拔参赛选手时，首先比较平均成绩判断整体水平，若平均成绩相同，再比较方差，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越高，据此分析即可。
(3) 先确定乙前5次的平均成绩，新增成绩和平均成绩相等时，新增数据的离均差平方为0，总离均差平方和不变，但数据个数增加，因此方差会变小。
【解析】
(1) 计算乙的平均成绩：$a=\frac{5+9+7+10+9}{5}=\frac{40}{5}=8$；
甲的成绩为8,8,7,8,9，其中8出现3次，出现次数最多，因此众数$b=8$；
甲的平均成绩为8，计算方差：$c=\frac{(8-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2}{5}=\frac{0+0+1+0+1}{5}=0.4$。
(2) 由计算结果可知，甲、乙的平均成绩均为8环，整体水平相当；但甲的方差0.4小于乙的方差3.2，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此选择甲参加比赛。
(3) 乙前5次射击的平均成绩为8环，新增的第6次成绩为8环，与平均成绩相等。前5次的离均差平方和为$3.2×5=16$，新增数据的离均差平方为$(8-8)^2=0$，因此6次成绩的方差为$\frac{16}{6}\approx2.67＜3.2$，因此方差变小。
【答案】
(1) 8；8；0.4
(2) 两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差更小，即甲的成绩更稳定。
(3) 变小
【知识点】
平均数的计算；众数的概念；方差的意义与计算
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的计算与应用，需要熟练掌握平均数、众数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的性质，能够结合统计量的意义解决实际决策问题。
【难度系数】
0.8
(1) 求a即求乙的平均成绩，按照平均数“总分之和÷数据个数”的公式计算即可；求b即求甲成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲各成绩的出现次数就能得到；求c即求甲成绩的方差，先算每个数据与平均数的差的平方，再求平均值即可。
(2) 选拔参赛选手时，首先比较平均成绩判断整体水平，若平均成绩相同，再比较方差，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越高，据此分析即可。
(3) 先确定乙前5次的平均成绩，新增成绩和平均成绩相等时，新增数据的离均差平方为0，总离均差平方和不变，但数据个数增加，因此方差会变小。
【解析】
(1) 计算乙的平均成绩：$a=\frac{5+9+7+10+9}{5}=\frac{40}{5}=8$；
甲的成绩为8,8,7,8,9，其中8出现3次，出现次数最多，因此众数$b=8$；
甲的平均成绩为8，计算方差：$c=\frac{(8-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2}{5}=\frac{0+0+1+0+1}{5}=0.4$。
(2) 由计算结果可知，甲、乙的平均成绩均为8环，整体水平相当；但甲的方差0.4小于乙的方差3.2，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此选择甲参加比赛。
(3) 乙前5次射击的平均成绩为8环，新增的第6次成绩为8环，与平均成绩相等。前5次的离均差平方和为$3.2×5=16$，新增数据的离均差平方为$(8-8)^2=0$，因此6次成绩的方差为$\frac{16}{6}\approx2.67＜3.2$，因此方差变小。
【答案】
(1) 8；8；0.4
(2) 两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差更小，即甲的成绩更稳定。
(3) 变小
【知识点】
平均数的计算；众数的概念；方差的意义与计算
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的计算与应用，需要熟练掌握平均数、众数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的性质，能够结合统计量的意义解决实际决策问题。
【难度系数】
0.8
8. 为传承“蟳埔簪花围”非遗文化，某中学组织学生开展非遗体验活动，分为甲、乙两组，每组各10人。活动记录了每名学生的簪花数量(单位:朵)、创意评分(单位:分)和文化讲解时长(单位:min)，相关数据如下：
图6-1-16
表6-1-13 两组学生活动的平均数统计表
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知甲、乙两组学生簪花数量的方差分别为$s^2_甲 = x$，$s^2_乙 = 0.8$，求$x$的值，并结合两组学生簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组学生的表现稳定性；
(2)规定学生的综合表现指数为$2a + b + 4c$，指数越大该组学生的综合表现越好。试通过计算，判断哪一组学生的综合表现更好。
图6-1-16
表6-1-13 两组学生活动的平均数统计表
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知甲、乙两组学生簪花数量的方差分别为$s^2_甲 = x$，$s^2_乙 = 0.8$，求$x$的值，并结合两组学生簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组学生的表现稳定性；
(2)规定学生的综合表现指数为$2a + b + 4c$，指数越大该组学生的综合表现越好。试通过计算，判断哪一组学生的综合表现更好。
答案
8. 解:(1)$\overline{x}_甲=\frac{3×1+4×2+5×3+6×4}{10}=5$(朵)，
所以 $x = s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(3-5)^2+(4-5)^2×2+(5-5)^2×3+(6-5)^2×4]=1$。
因为 $\overline{x}_甲=5,\overline{x}_乙=5,s^2_甲=1,s^2_乙=0.8,$而 $1＞0.8,$
所以乙组学生的表现比较稳定。
(2)甲组:$2a + b + 4c = 2×5+20+4×1.8=37.2,$
乙组:$2a + b + 4c = 2×5+19+4×2.2=37.8,$
因为 $37.2＜37.8,$
所以乙组学生的综合表现更好。
所以 $x = s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(3-5)^2+(4-5)^2×2+(5-5)^2×3+(6-5)^2×4]=1$。
因为 $\overline{x}_甲=5,\overline{x}_乙=5,s^2_甲=1,s^2_乙=0.8,$而 $1＞0.8,$
所以乙组学生的表现比较稳定。
(2)甲组:$2a + b + 4c = 2×5+20+4×1.8=37.2,$
乙组:$2a + b + 4c = 2×5+19+4×2.2=37.8,$
因为 $37.2＜37.8,$
所以乙组学生的综合表现更好。
解析
【分析】
对于第(1)问：首先需要计算甲组学生簪花数量的平均数，再根据方差的计算公式（每个数据与平均数的差的平方乘以对应频数，求和后除以总数据个数）算出x的值；接着在两组平均数相同的前提下，根据“方差越小，数据波动越小，表现越稳定”的性质判断哪组表现更稳定。
对于第(2)问：明确综合表现指数公式中a、b、c分别对应簪花数量平均数、创意评分平均数、文化讲解时长平均数，将两组对应数据分别代入公式计算结果，比较数值大小即可判断哪组综合表现更好。
【解析】
(1) 先计算甲组簪花数量的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{3×1+4×2+5×3+6×4}{10}=5$（朵）
根据方差公式计算甲组方差：
$x = s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(3-5)^2+(4-5)^2×2+(5-5)^2×3+(6-5)^2×4]=1$
已知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=5$，$s^2_甲=1$，$s^2_乙=0.8$，因为$1＞0.8$，说明乙组簪花数量的波动更小，因此乙组学生的表现比较稳定。
(2) 将两组对应数据代入综合表现指数公式$2a + b + 4c$计算：
甲组综合表现指数：$2×5+20+4×1.8=37.2$
乙组综合表现指数：$2×5+19+4×2.2=37.8$
因为$37.2＜37.8$，所以乙组学生的综合表现更好。
【答案】
(1) $x=1$，乙组学生的表现更稳定；
(2) 乙组学生的综合表现更好。
【知识点】
1. 方差的计算与意义
2. 代数式求值与比较
【点评】
本题结合非遗文化的现实背景设计问题，兼顾知识性与应用性，解题核心是熟练掌握方差的计算方法、理解方差的统计意义，同时做到代入公式计算准确。
【难度系数】
0.75
对于第(1)问：首先需要计算甲组学生簪花数量的平均数，再根据方差的计算公式（每个数据与平均数的差的平方乘以对应频数，求和后除以总数据个数）算出x的值；接着在两组平均数相同的前提下，根据“方差越小，数据波动越小，表现越稳定”的性质判断哪组表现更稳定。
对于第(2)问：明确综合表现指数公式中a、b、c分别对应簪花数量平均数、创意评分平均数、文化讲解时长平均数，将两组对应数据分别代入公式计算结果，比较数值大小即可判断哪组综合表现更好。
【解析】
(1) 先计算甲组簪花数量的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{3×1+4×2+5×3+6×4}{10}=5$（朵）
根据方差公式计算甲组方差：
$x = s^2_甲 = \frac{1}{10}×[(3-5)^2+(4-5)^2×2+(5-5)^2×3+(6-5)^2×4]=1$
已知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=5$，$s^2_甲=1$，$s^2_乙=0.8$，因为$1＞0.8$，说明乙组簪花数量的波动更小，因此乙组学生的表现比较稳定。
(2) 将两组对应数据代入综合表现指数公式$2a + b + 4c$计算：
甲组综合表现指数：$2×5+20+4×1.8=37.2$
乙组综合表现指数：$2×5+19+4×2.2=37.8$
因为$37.2＜37.8$，所以乙组学生的综合表现更好。
【答案】
(1) $x=1$，乙组学生的表现更稳定；
(2) 乙组学生的综合表现更好。
【知识点】
1. 方差的计算与意义
2. 代数式求值与比较
【点评】
本题结合非遗文化的现实背景设计问题，兼顾知识性与应用性，解题核心是熟练掌握方差的计算方法、理解方差的统计意义，同时做到代入公式计算准确。
【难度系数】
0.75
