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基础知识·预习
问题1 如何计算圆的周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？$n°$的圆心角所对的弧长是多少？
问题2 如何计算圆的面积？圆的面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为$n°$的扇形的面积是多少？
问题3 求不规则图形的面积的常用方法有哪些？
问题1 如何计算圆的周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？$n°$的圆心角所对的弧长是多少？
问题2 如何计算圆的面积？圆的面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为$n°$的扇形的面积是多少？
问题3 求不规则图形的面积的常用方法有哪些？
答案
解：
问题1
设圆的半径为$R$，圆的周长计算公式为$C=2π R$；
圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长；
$n°$的圆心角所对的弧长为$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2
设圆的半径为$R$，圆的面积计算公式为$S=π R^2$；
圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积；
圆心角为$n°$的扇形的面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，也可结合弧长公式表示为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，其中$l$为对应扇形的弧长。
问题3
求不规则图形的面积的常用方法有和差法、割补法、等积转化法，通过这些方法将不规则图形的面积转化为三角形、特殊四边形、扇形等已掌握的规则图形的面积的和或差进行计算。
问题1
设圆的半径为$R$，圆的周长计算公式为$C=2π R$；
圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长；
$n°$的圆心角所对的弧长为$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2
设圆的半径为$R$，圆的面积计算公式为$S=π R^2$；
圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积；
圆心角为$n°$的扇形的面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，也可结合弧长公式表示为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，其中$l$为对应扇形的弧长。
问题3
求不规则图形的面积的常用方法有和差法、割补法、等积转化法，通过这些方法将不规则图形的面积转化为三角形、特殊四边形、扇形等已掌握的规则图形的面积的和或差进行计算。
解析
【分析】
本题是弧长与扇形面积相关的基础预习问题，解题思路如下：
1. 解决问题1时，先明确圆的周长公式，结合整圆圆心角为360°的特点，可知圆周长对应360°圆心角所对的弧长，再按比例计算n°圆心角对应的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，即可推导得到弧长公式；
2. 解决问题2时，类比问题1的推导逻辑，先回忆圆的面积公式，整圆对应360°圆心角的扇形，n°圆心角的扇形面积为圆面积的$\frac{n}{360}$，也可结合弧长公式变形得到扇形面积的另一种表达式；
3. 解决问题3时，核心思路是将无法直接计算的不规则图形转化为可直接套用公式的规则图形，归纳常用的转化方法即可。
【解析】
问题1
设圆的半径为$R$，圆的周长计算公式为$C=2π R$；
圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长；
$n°$的圆心角所对的弧长为$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2
设圆的半径为$R$，圆的面积计算公式为$S=π R^2$；
圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积；
圆心角为$n°$的扇形的面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，也可结合弧长公式表示为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，其中$l$为对应扇形的弧长。
问题3
求不规则图形的面积的常用方法有和差法、割补法、等积转化法，通过这些方法将不规则图形的面积转化为三角形、特殊四边形、扇形等已掌握的规则图形的面积的和或差进行计算。
【答案】
问题1：圆的周长公式为$C=2π R$（$R$为圆的半径）；可看作$360°$圆心角所对的弧长；$n°$圆心角所对弧长为$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2：圆的面积公式为$S=π R^2$（$R$为圆的半径）；可看作$360°$圆心角的扇形面积；$n°$圆心角的扇形面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$或$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$（$l$为扇形对应弧长）。
问题3：常用方法有和差法、割补法、等积转化法，将不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差计算。
【知识点】
弧长公式、扇形面积公式、不规则图形面积求法
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对弧长、扇形面积公式推导逻辑的理解，以及不规则图形面积转化思路的掌握，是解决圆相关几何计算问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题是弧长与扇形面积相关的基础预习问题，解题思路如下：
1. 解决问题1时，先明确圆的周长公式，结合整圆圆心角为360°的特点，可知圆周长对应360°圆心角所对的弧长，再按比例计算n°圆心角对应的弧长占圆周长的$\frac{n}{360}$，即可推导得到弧长公式；
2. 解决问题2时，类比问题1的推导逻辑，先回忆圆的面积公式，整圆对应360°圆心角的扇形，n°圆心角的扇形面积为圆面积的$\frac{n}{360}$，也可结合弧长公式变形得到扇形面积的另一种表达式；
3. 解决问题3时，核心思路是将无法直接计算的不规则图形转化为可直接套用公式的规则图形，归纳常用的转化方法即可。
【解析】
问题1
设圆的半径为$R$，圆的周长计算公式为$C=2π R$；
圆的周长可以看作$360°$的圆心角所对的弧长；
$n°$的圆心角所对的弧长为$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2
设圆的半径为$R$，圆的面积计算公式为$S=π R^2$；
圆的面积可以看作圆心角为$360°$的扇形的面积；
圆心角为$n°$的扇形的面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$，也可结合弧长公式表示为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，其中$l$为对应扇形的弧长。
问题3
求不规则图形的面积的常用方法有和差法、割补法、等积转化法，通过这些方法将不规则图形的面积转化为三角形、特殊四边形、扇形等已掌握的规则图形的面积的和或差进行计算。
【答案】
问题1：圆的周长公式为$C=2π R$（$R$为圆的半径）；可看作$360°$圆心角所对的弧长；$n°$圆心角所对弧长为$l=\frac{nπ R}{180}$。
问题2：圆的面积公式为$S=π R^2$（$R$为圆的半径）；可看作$360°$圆心角的扇形面积；$n°$圆心角的扇形面积为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$或$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$（$l$为扇形对应弧长）。
问题3：常用方法有和差法、割补法、等积转化法，将不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差计算。
【知识点】
弧长公式、扇形面积公式、不规则图形面积求法
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对弧长、扇形面积公式推导逻辑的理解，以及不规则图形面积转化思路的掌握，是解决圆相关几何计算问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】已知圆弧所在圆的半径为6,该弧所对的圆心角为$90°$,则这条弧的长为 （）
A. $2π$ B. $3π$ C. $4π$ D. $6π$
【解析】$l=\frac{90π×6}{180}=3π$. 故选B.
【答案】B
规律方法 $n°$的圆心角所对的弧长为 $l=\frac{nπ R}{180}$.
A. $2π$ B. $3π$ C. $4π$ D. $6π$
【解析】$l=\frac{90π×6}{180}=3π$. 故选B.
【答案】B
规律方法 $n°$的圆心角所对的弧长为 $l=\frac{nπ R}{180}$.
答案
解：
由弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$n=90$，$R=6$代入，得
$l=\frac{90π × 6}{180}=3π$
因此这条弧的长为$3π$，故选B。
由弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$n=90$，$R=6$代入，得
$l=\frac{90π × 6}{180}=3π$
因此这条弧的长为$3π$，故选B。
解析
【分析】
本题要求圆弧的长度，解题时首先回忆弧长的计算公式，明确公式中各参数的含义：n代表圆心角的度数，R代表圆弧所在圆的半径。再从题干中提取已知条件：圆心角n=90°，圆的半径R=6，最后将已知数值代入公式计算得到弧长，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中n为圆心角度数，R为圆的半径），将题干中$n=90$，$R=6$代入公式，可得：
$l=\frac{90π×6}{180}=3π$
因此这条弧的长为$3π$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题，解题关键是熟记弧长公式，准确代入已知数值计算即可，计算时注意约分可提高运算效率和正确率。
【难度系数】
0.9
本题要求圆弧的长度，解题时首先回忆弧长的计算公式，明确公式中各参数的含义：n代表圆心角的度数，R代表圆弧所在圆的半径。再从题干中提取已知条件：圆心角n=90°，圆的半径R=6，最后将已知数值代入公式计算得到弧长，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中n为圆心角度数，R为圆的半径），将题干中$n=90$，$R=6$代入公式，可得：
$l=\frac{90π×6}{180}=3π$
因此这条弧的长为$3π$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题，解题关键是熟记弧长公式，准确代入已知数值计算即可，计算时注意约分可提高运算效率和正确率。
【难度系数】
0.9
1. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形.若该扇形的半径为 2,弧长为$\frac{4}{3}π$,则该扇形的圆心角的度数为 （
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
D
）A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路：本题要求扇形的圆心角度数，可利用弧长公式求解。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，已知弧长和半径，将公式变形为求圆心角的形式，再代入已知数值计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知扇形半径$R=2$，弧长$l=\frac{4}{3}π$，代入公式得：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ×2}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{4}{3}=\frac{n}{90}$
解得$n=\frac{4}{3}×90=120$，即圆心角为$120°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式；扇形相关计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对弧长公式的掌握与运用，只要熟记弧长公式，准确代入数值计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题思路：本题要求扇形的圆心角度数，可利用弧长公式求解。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，已知弧长和半径，将公式变形为求圆心角的形式，再代入已知数值计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知扇形半径$R=2$，弧长$l=\frac{4}{3}π$，代入公式得：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ×2}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{4}{3}=\frac{n}{90}$
解得$n=\frac{4}{3}×90=120$，即圆心角为$120°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式；扇形相关计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对弧长公式的掌握与运用，只要熟记弧长公式，准确代入数值计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OA，OC。若$\odot O$的半径为3，$∠ B=120°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为
2π
。答案
2.2π
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：①圆内接四边形的对角互补；②同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；③弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径）。第一步先利用圆内接四边形的性质求出弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠D的度数，第二步根据圆周角定理求出弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角∠AOC的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ D + ∠ B = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵$∠ B=120°$，
∴$∠ D=180° - 120°=60°$。
∵$∠ AOC$和$∠ D$分别是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角和圆周角，
∴$∠ AOC=2∠ D=2×60°=120°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
已知$\odot O$的半径$r=3$，圆心角$n=120°$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
2π
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的性质和弧长计算的基础综合题，解题的核心是先通过圆内接四边形性质和圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入公式计算，掌握基础定理和公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相关性质：①圆内接四边形的对角互补；②同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；③弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径）。第一步先利用圆内接四边形的性质求出弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠D的度数，第二步根据圆周角定理求出弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角∠AOC的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ D + ∠ B = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵$∠ B=120°$，
∴$∠ D=180° - 120°=60°$。
∵$∠ AOC$和$∠ D$分别是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角和圆周角，
∴$∠ AOC=2∠ D=2×60°=120°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
已知$\odot O$的半径$r=3$，圆心角$n=120°$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
2π
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的性质和弧长计算的基础综合题，解题的核心是先通过圆内接四边形性质和圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入公式计算，掌握基础定理和公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
