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问题1 整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式有什么关系？
问题2 举例说明如何运用平方差公式分解因式。
问题1 整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式有什么关系？
问题2 举例说明如何运用平方差公式分解因式。
答案
解：
问题1
整式乘法的平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，是将两个整式的乘积运算得到二次多项式的恒等变形；
因式分解的平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，是将满足特征的二次二项式拆分为两个整式乘积的恒等变形。
二者是互逆的恒等变形关系。
问题2
运用平方差公式分解因式时，首先判断多项式是否符合“两个数的平方差”的结构，即能写成$(\quad)^2-(\quad)^2$的形式，若多项式有公因式要先提取公因式，再套用公式分解，举例如下：
例1：分解因式$x^2-9$
原式可变形为$x^2-3^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
例2：分解因式$4x^2-49y^2$
原式可变形为$(2x)^2-(7y)^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$4x^2-49y^2=(2x+7y)(2x-7y)$
例3：分解因式$3m^2-12$
先提取公因式3，得到$3(m^2-4)$，再将$m^2-4$变形为$m^2-2^2$，套用公式继续分解：
$3m^2-12=3(m^2-4)=3(m+2)(m-2)$
问题1
整式乘法的平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，是将两个整式的乘积运算得到二次多项式的恒等变形；
因式分解的平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，是将满足特征的二次二项式拆分为两个整式乘积的恒等变形。
二者是互逆的恒等变形关系。
问题2
运用平方差公式分解因式时，首先判断多项式是否符合“两个数的平方差”的结构，即能写成$(\quad)^2-(\quad)^2$的形式，若多项式有公因式要先提取公因式，再套用公式分解，举例如下：
例1：分解因式$x^2-9$
原式可变形为$x^2-3^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
例2：分解因式$4x^2-49y^2$
原式可变形为$(2x)^2-(7y)^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$4x^2-49y^2=(2x+7y)(2x-7y)$
例3：分解因式$3m^2-12$
先提取公因式3，得到$3(m^2-4)$，再将$m^2-4$变形为$m^2-2^2$，套用公式继续分解：
$3m^2-12=3(m^2-4)=3(m+2)(m-2)$
解析
【分析】
针对问题1：先分别回忆整式乘法和因式分解的平方差公式的形式，对比二者的运算方向：整式乘法是将整式乘积转化为多项式，因式分解是将符合结构的多项式转化为整式乘积，由此可推出二者的关系。针对问题2：先明确运用平方差公式分解因式的前提是多项式可写成“两个数的平方差”的形式，若有公因式要先提取公因式再套用公式，再通过具体实例演示分解步骤即可。
【解析】
问题1解答
整式乘法的平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，是将两个整式的乘积运算得到二次多项式的恒等变形；
因式分解的平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，是将满足特征的二次二项式拆分为两个整式乘积的恒等变形。
二者是互逆的恒等变形关系。
问题2解答
运用平方差公式分解因式时，首先判断多项式是否符合“两个数的平方差”的结构，即能写成$(\quad)^2-(\quad)^2$的形式，若多项式有公因式要先提取公因式，再套用公式分解，举例如下：
例1：分解因式$x^2-9$
原式可变形为$x^2-3^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
例2：分解因式$4x^2-49y^2$
原式可变形为$(2x)^2-(7y)^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$4x^2-49y^2=(2x+7y)(2x-7y)$
例3：分解因式$3m^2-12$
先提取公因式3，得到$3(m^2-4)$，再将$m^2-4$变形为$m^2-2^2$，套用公式继续分解：
$3m^2-12=3(m^2-4)=3(m+2)(m-2)$
【答案】
问题1：二者是互逆的恒等变形关系，整式乘法的平方差公式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，由乘积得多项式；因式分解的平方差公式是$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，由符合特征的多项式得整式乘积。
问题2：先判断多项式是否为两个数的平方差形式，有公因式先提公因式再套用公式，具体示例如上述解析中的3个例子。
【知识点】
平方差公式；因式分解与整式乘法的关系；平方差公式分解因式
【点评】
本题为基础概念类题目，重点考查对平方差公式两种变形的理解，以及运用平方差公式分解因式的方法，解题时要注意区分整式乘法和因式分解的变形方向，分解因式时需先检查是否存在公因式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8
针对问题1：先分别回忆整式乘法和因式分解的平方差公式的形式，对比二者的运算方向：整式乘法是将整式乘积转化为多项式，因式分解是将符合结构的多项式转化为整式乘积，由此可推出二者的关系。针对问题2：先明确运用平方差公式分解因式的前提是多项式可写成“两个数的平方差”的形式，若有公因式要先提取公因式再套用公式，再通过具体实例演示分解步骤即可。
【解析】
问题1解答
整式乘法的平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，是将两个整式的乘积运算得到二次多项式的恒等变形；
因式分解的平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，是将满足特征的二次二项式拆分为两个整式乘积的恒等变形。
二者是互逆的恒等变形关系。
问题2解答
运用平方差公式分解因式时，首先判断多项式是否符合“两个数的平方差”的结构，即能写成$(\quad)^2-(\quad)^2$的形式，若多项式有公因式要先提取公因式，再套用公式分解，举例如下：
例1：分解因式$x^2-9$
原式可变形为$x^2-3^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$x^2-9=(x+3)(x-3)$
例2：分解因式$4x^2-49y^2$
原式可变形为$(2x)^2-(7y)^2$，符合平方差形式，代入公式得：
$4x^2-49y^2=(2x+7y)(2x-7y)$
例3：分解因式$3m^2-12$
先提取公因式3，得到$3(m^2-4)$，再将$m^2-4$变形为$m^2-2^2$，套用公式继续分解：
$3m^2-12=3(m^2-4)=3(m+2)(m-2)$
【答案】
问题1：二者是互逆的恒等变形关系，整式乘法的平方差公式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，由乘积得多项式；因式分解的平方差公式是$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，由符合特征的多项式得整式乘积。
问题2：先判断多项式是否为两个数的平方差形式，有公因式先提公因式再套用公式，具体示例如上述解析中的3个例子。
【知识点】
平方差公式；因式分解与整式乘法的关系；平方差公式分解因式
【点评】
本题为基础概念类题目，重点考查对平方差公式两种变形的理解，以及运用平方差公式分解因式的方法，解题时要注意区分整式乘法和因式分解的变形方向，分解因式时需先检查是否存在公因式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8
【典型例题】分解因式：
(1)$x^2 - \frac{1}{36}y^2$；(2)$9a^2 -16b^2$；
(3)$-4a^2b^2 +1$；
(4)$9(a+2b)^2 -4(a-b)^2$.
思路导引 先整理成两数平方差的形式，再运用平方差公式进行因式分解.
【解】(1)$x^2 - \frac{1}{36}y^2 = x^2 - (\frac{1}{6}y)^2$
$=(x+\frac{1}{6}y)(x-\frac{1}{6}y)$.
(2)$9a^2 -16b^2=(3a)^2-(4b)^2$
$=(3a+4b)(3a-4b)$.
(3)$-4a^2b^2 +1=1 -4a^2b^2$
$=(1+2ab)(1-2ab)$.
(4)$9(a+2b)^2 -4(a-b)^2$
$=[3(a+2b)]^2 - [2(a-b)]^2$
$=[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)]=(5a+4b)(a+8b)$.
【即学即练】
1. 如果实数$x,y$满足方程组$\begin{cases}x-y=-\frac{1}{2}, \\2x+2y=5,\end{cases}$那么$x^2 - y^2$的值为 ______ .
2. 分解因式：
(1)$16-9a^2$；(2)$4m^2 -n^2$；
(3)$(a-b)^2 -4b^2$；(4)$36(x-y)^2 -x^4$.
(1)$x^2 - \frac{1}{36}y^2$；(2)$9a^2 -16b^2$；
(3)$-4a^2b^2 +1$；
(4)$9(a+2b)^2 -4(a-b)^2$.
思路导引 先整理成两数平方差的形式，再运用平方差公式进行因式分解.
【解】(1)$x^2 - \frac{1}{36}y^2 = x^2 - (\frac{1}{6}y)^2$
$=(x+\frac{1}{6}y)(x-\frac{1}{6}y)$.
(2)$9a^2 -16b^2=(3a)^2-(4b)^2$
$=(3a+4b)(3a-4b)$.
(3)$-4a^2b^2 +1=1 -4a^2b^2$
$=(1+2ab)(1-2ab)$.
(4)$9(a+2b)^2 -4(a-b)^2$
$=[3(a+2b)]^2 - [2(a-b)]^2$
$=[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)]=(5a+4b)(a+8b)$.
【即学即练】
1. 如果实数$x,y$满足方程组$\begin{cases}x-y=-\frac{1}{2}, \\2x+2y=5,\end{cases}$那么$x^2 - y^2$的值为 ______ .
2. 分解因式：
(1)$16-9a^2$；(2)$4m^2 -n^2$；
(3)$(a-b)^2 -4b^2$；(4)$36(x-y)^2 -x^4$.
答案
解：
1. 由$2x+2y=5$可得$x+y=\frac{5}{2}$。
由平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
将$x+y=\frac{5}{2}$，$x-y=-\frac{1}{2}$代入得：
$x^2-y^2=\frac{5}{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$。
2. (1) $16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$。
(2) $4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$。
(3) $(a-b)^2-4b^2=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a+b)(a-3b)$。
(4) $36(x-y)^2-x^4=[6(x-y)]^2-(x^2)^2$
$=[6(x-y)+x^2][6(x-y)-x^2]$
$=(x^2+6x-6y)(-x^2+6x-6y)$
1. 由$2x+2y=5$可得$x+y=\frac{5}{2}$。
由平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
将$x+y=\frac{5}{2}$，$x-y=-\frac{1}{2}$代入得：
$x^2-y^2=\frac{5}{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$。
2. (1) $16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$。
(2) $4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$。
(3) $(a-b)^2-4b^2=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a+b)(a-3b)$。
(4) $36(x-y)^2-x^4=[6(x-y)]^2-(x^2)^2$
$=[6(x-y)+x^2][6(x-y)-x^2]$
$=(x^2+6x-6y)(-x^2+6x-6y)$
解析
【分析】
1. 第1题解题思路：观察所求代数式$x^2-y^2$符合平方差公式的结构，可变形为$(x+y)(x-y)$，因此不需要解方程组求$x$、$y$的具体值，只需先从已知方程组中求出$x+y$和$x-y$的值，整体代入计算即可，简化运算步骤。
2. 第2题因式分解解题思路：每道小题都先将原式整理为两个整式平方的差的形式，即$A^2-B^2$的结构，确定对应的$A$和$B$后，直接套用平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$进行分解，最后对括号内的整式合并同类项化简即可。
【解析】
1. 解：由方程$2x+2y=5$，两边同时除以2得$x+y=\frac{5}{2}$。
根据平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
将$x+y=\frac{5}{2}$，$x-y=-\frac{1}{2}$代入上式，得：
$x^2-y^2=\frac{5}{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$。
2. 分解因式：
(1) $16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$；
(2) $4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$；
(3) $(a-b)^2-4b^2=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a+b)(a-3b)$；
(4) $36(x-y)^2-x^4=[6(x-y)]^2-(x^2)^2$
$=[6(x-y)+x^2][6(x-y)-x^2]$
$=(x^2+6x-6y)(-x^2+6x-6y)$。
【答案】
1. $\boxed{-\dfrac{5}{4}}$
2. (1) $\boxed{(4+3a)(4-3a)}$；(2) $\boxed{(2m+n)(2m-n)}$；(3) $\boxed{(a+b)(a-3b)}$；(4) $\boxed{(x^2+6x-6y)(-x^2+6x-6y)}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整体代入求值
3. 整式化简
【点评】
本组习题侧重考查平方差公式的应用，解题核心是准确识别平方差的结构特征，灵活运用整体思想可简化运算过程，有助于强化对公式结构的理解，提升运算的准确性和解题效率。
【难度系数】
0.8
1. 第1题解题思路：观察所求代数式$x^2-y^2$符合平方差公式的结构，可变形为$(x+y)(x-y)$，因此不需要解方程组求$x$、$y$的具体值，只需先从已知方程组中求出$x+y$和$x-y$的值，整体代入计算即可，简化运算步骤。
2. 第2题因式分解解题思路：每道小题都先将原式整理为两个整式平方的差的形式，即$A^2-B^2$的结构，确定对应的$A$和$B$后，直接套用平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$进行分解，最后对括号内的整式合并同类项化简即可。
【解析】
1. 解：由方程$2x+2y=5$，两边同时除以2得$x+y=\frac{5}{2}$。
根据平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
将$x+y=\frac{5}{2}$，$x-y=-\frac{1}{2}$代入上式，得：
$x^2-y^2=\frac{5}{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$。
2. 分解因式：
(1) $16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$；
(2) $4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$；
(3) $(a-b)^2-4b^2=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a+b)(a-3b)$；
(4) $36(x-y)^2-x^4=[6(x-y)]^2-(x^2)^2$
$=[6(x-y)+x^2][6(x-y)-x^2]$
$=(x^2+6x-6y)(-x^2+6x-6y)$。
【答案】
1. $\boxed{-\dfrac{5}{4}}$
2. (1) $\boxed{(4+3a)(4-3a)}$；(2) $\boxed{(2m+n)(2m-n)}$；(3) $\boxed{(a+b)(a-3b)}$；(4) $\boxed{(x^2+6x-6y)(-x^2+6x-6y)}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整体代入求值
3. 整式化简
【点评】
本组习题侧重考查平方差公式的应用，解题核心是准确识别平方差的结构特征，灵活运用整体思想可简化运算过程，有助于强化对公式结构的理解，提升运算的准确性和解题效率。
【难度系数】
0.8
1. 如果实数$x,y$满足方程组$\begin{cases}x-y=-\dfrac{1}{2}, \\2x+2y=5,\end{cases}$那么$x^2 - y^2$的值为 ______ 。
2. 分解因式：
(1)$16 - 9a^2$；(2)$4m^2 - n^2$；
(3)$(a - b)^2 - 4b^2$；(4)$36(x - y)^2 - x^4$。
2. 分解因式：
(1)$16 - 9a^2$；(2)$4m^2 - n^2$；
(3)$(a - b)^2 - 4b^2$；(4)$36(x - y)^2 - x^4$。
答案
1.$-\dfrac{5}{4}$ 【解析】根据题意,得 $x-y=-\dfrac{1}{2},x+y=\dfrac{5}{2}$,所以 $x^2 - y^2=(x+y)(x-y)=\dfrac{5}{2}× (-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{4}$.
2.【解】(1)$16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$.
(2)$4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$.
(3)$(a-b)^2-4b^2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$.
(4)$36(x-y)^2-x^4=(6x-6y)^2-(x^2)^2=(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)$.
2.【解】(1)$16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$.
(2)$4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$.
(3)$(a-b)^2-4b^2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$.
(4)$36(x-y)^2-x^4=(6x-6y)^2-(x^2)^2=(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)$.
解析
【分析】
1. 求$x^2-y^2$的值时，可利用平方差公式先将其变形为$(x+y)(x-y)$，无需单独求解$x$、$y$的具体数值。观察已知方程组，第一个方程直接给出$x-y$的结果，第二个方程两边同时除以2即可得到$x+y$的值，代入变形后的式子就能快速算出结果。
2. 四道因式分解题均符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，解题时先把原式转化为两个式子平方差的形式，准确对应公式中的$a$和$b$（必要时可将多项式整体看作公式中的项），代入公式后再合并同类项化简即可。
【解析】
1. 解：由方程$2x+2y=5$，两边同时除以2可得$x+y=\dfrac{5}{2}$，已知$x-y=-\dfrac{1}{2}$。
根据平方差公式得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入数值计算：
$x^2-y^2=\dfrac{5}{2}×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{4}$。
2. 解：
(1) $16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$
(2) $4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$
(3) $(a-b)^2-4b^2=(a-b)^2-(2b)^2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$
(4) $36(x-y)^2-x^4=[6(x-y)]^2-(x^2)^2=(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)$
【答案】
1. $\boldsymbol{-\dfrac{5}{4}}$
2. (1)$\boldsymbol{(4+3a)(4-3a)}$；(2)$\boldsymbol{(2m+n)(2m-n)}$；(3)$\boldsymbol{(a+b)(a-3b)}$；(4)$\boldsymbol{(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，因式分解
【点评】
本组题目为平方差公式的基础应用题，第1题运用整体代入思想可简化计算，避免解方程组的繁琐；因式分解类题目需要熟练掌握平方差公式的结构特征，对整体代换思想有初步要求，解题后可通过整式乘法反向验证分解是否正确。
【难度系数】
0.8
1. 求$x^2-y^2$的值时，可利用平方差公式先将其变形为$(x+y)(x-y)$，无需单独求解$x$、$y$的具体数值。观察已知方程组，第一个方程直接给出$x-y$的结果，第二个方程两边同时除以2即可得到$x+y$的值，代入变形后的式子就能快速算出结果。
2. 四道因式分解题均符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，解题时先把原式转化为两个式子平方差的形式，准确对应公式中的$a$和$b$（必要时可将多项式整体看作公式中的项），代入公式后再合并同类项化简即可。
【解析】
1. 解：由方程$2x+2y=5$，两边同时除以2可得$x+y=\dfrac{5}{2}$，已知$x-y=-\dfrac{1}{2}$。
根据平方差公式得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入数值计算：
$x^2-y^2=\dfrac{5}{2}×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{4}$。
2. 解：
(1) $16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$
(2) $4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$
(3) $(a-b)^2-4b^2=(a-b)^2-(2b)^2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$
(4) $36(x-y)^2-x^4=[6(x-y)]^2-(x^2)^2=(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)$
【答案】
1. $\boldsymbol{-\dfrac{5}{4}}$
2. (1)$\boldsymbol{(4+3a)(4-3a)}$；(2)$\boldsymbol{(2m+n)(2m-n)}$；(3)$\boldsymbol{(a+b)(a-3b)}$；(4)$\boldsymbol{(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，因式分解
【点评】
本组题目为平方差公式的基础应用题，第1题运用整体代入思想可简化计算，避免解方程组的繁琐；因式分解类题目需要熟练掌握平方差公式的结构特征，对整体代换思想有初步要求，解题后可通过整式乘法反向验证分解是否正确。
【难度系数】
0.8
