7. 分解因式：
(1) $8a^3b^2 - 12ab^4 + 4ab$；
(2) $-9x^2y + 3xy^2 - 6xyz$；
(3) $3m(x - y) - n(y - x)$。

7.【解】(1)$8a^3b^2 - 12ab^4 + 4ab = 4ab · 2a^2b - 4ab · 3b^3 + 4ab · 1 = 4ab(2a^2b - 3b^3 + 1).$
(2) $-9x^2y + 3xy^2 - 6xyz = -3xy · 3x + (-3xy) · (-y) + (-3xy) · 2z = -3xy(3x - y + 2z).$
(3) $3m(x - y) - n(y - x) = 3m(x - y) + n(x - y) = (x - y)(3m + n).$

【分析】
这三道题均采用提公因式法分解因式，解题思路如下：1.确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母（或整体因式）的最低次幂，二者的乘积即为公因式；2.若多项式首项系数为负，优先提取负号，此时括号内各项都要变号；3.提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的因式，注意不要漏写常数项，出现互为相反数的整体因式时，先统一因式形式再提取。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数8、-12、4的最大公约数是4，相同字母a、b的最低次幂均为1次，公因式为$4ab$，则：
$8a^3b^2 - 12ab^4 + 4ab = 4ab · 2a^2b - 4ab · 3b^3 + 4ab · 1 = 4ab(2a^2b - 3b^3 + 1)$
(2) 首项系数为负，先提取负号，系数9、3、6的最大公约数是3，相同字母x、y的最低次幂均为1次，公因式为$-3xy$，则：
$-9x^2y + 3xy^2 - 6xyz = -3xy · 3x + (-3xy) · (-y) + (-3xy) · 2z = -3xy(3x - y + 2z)$
(3) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，统一整体因式，公因式为$(x-y)$，则：
$3m(x - y) - n(y - x) = 3m(x - y) + n(x - y) = (x - y)(3m + n)$
【答案】
(1) $4ab(2a^2b - 3b^3 + 1)$
(2) $-3xy(3x - y + 2z)$
(3) $(x - y)(3m + n)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；整体因式提取
【点评】
本题是提公因式法因式分解的常规题型，核心考查公因式的判定与提取规则，解题时需注意：提取公因式后不要漏写常数项，首项为负时提取负号要变号，互为相反数的因式需先统一形式，掌握这些要点就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8

8. 利用因式分解计算：
(1) $-23.7×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×1.3-2.6×\frac{4}{5}$；
(2) $39×37-13×3^4$。

8.【解】(1)$-23.7×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×1.3-2.6×\frac{4}{5}=-\frac{4}{5}×(23.7-1.3+2.6)=-\frac{4}{5}×25=-20.$
(2) $39×37 - 13×3^4 = 39×37 - 39×27 = 39×(37 - 27) = 390.$

【分析】
这两道题都可通过提公因式法简化计算：(1)观察三个项发现都含有公因式$\frac{4}{5}$，先提取公因式，再计算括号内的加减运算，最后做乘法即可得出结果；(2)先计算$3^4=81$，可推得$13×81=39×27$，此时两个项出现公因式39，提取公因式后再计算，可避免大数直接相乘的复杂运算。
【解析】
(1) 提取公因式$\frac{4}{5}$计算：
$\begin{aligned}-23.7×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×1.3-2.6×\frac{4}{5}&=-\frac{4}{5}×(23.7-1.3+2.6)\\&=-\frac{4}{5}×25\\&=-20\end{aligned}$
(2) 先变形构造公因式39，再提取计算：
$\begin{aligned}39×37-13×3^4&=39×37-13×81\\&=39×37-13×3×27\\&=39×37-39×27\\&=39×(37-27)\\&=39×10\\&=390\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-20}$；(2) $\boldsymbol{390}$
【知识点】
提公因式法因式分解、有理数混合运算、幂的运算
【点评】
本题是利用因式分解简化有理数运算的典型习题，解题核心是准确识别或构造公因式，通过提取公因式将复杂的乘加、乘减运算转化为简单运算，有效降低计算难度，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

9.若$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$(a - b)b + a(b - a) = a(c - a) + b(a - c)$，则$△ ABC$一定是（）

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

9.B 【解析】由已知得$(a - b)b - a(a - b) = a(c - a) - b(c - a)$,故$(a - b)(b - a) - (c - a)(a - b) = 0$,即$(a - b)(b - a - c + a) = 0$,$(a - b)(b - c) = 0$,所以$a - b = 0$ 或 $b - c = 0$,即 $a = b$ 或 $b = c$. 故$△ ABC$一定是等腰三角形.

【分析】
要判断△ABC的形状，需先根据已知等式推导三边a,b,c的数量关系。解题时先对等式左右两边的项变形，把含相同因式的项归类，再用提公因式法因式分解，将等式转化为几个整式乘积为0的形式，进而得到边的相等关系，最终判断三角形形状。
【解析】
对已知等式变形整理：
原式可化为 $\displaystyle (a - b)b - a(a - b) = a(c - a) - b(c - a)$
整理得 $\displaystyle (a - b)(b - a) - (c - a)(a - b) = 0$
提取公因式$\displaystyle (a - b)$得：
$\displaystyle (a - b)[(b - a) - (c - a)] = 0$
化简括号内的算式：
$\displaystyle (a - b)(b - a - c + a) = 0$，即 $\displaystyle (a - b)(b - c) = 0$
由乘法的性质可得 $\displaystyle a - b = 0$ 或 $\displaystyle b - c = 0$，即 $\displaystyle a = b$ 或 $\displaystyle b = c$，因此△ABC至少有两条边长度相等。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；等腰三角形的判定
【点评】
本题将因式分解和三角形分类结合考查，解题核心是熟练掌握提公因式法的运算规则，能对等式正确变形化简，注意两个因式乘积为0时仅需其中一个因式为0即可，不要误判为必须两个因式同时为0而错选等边三角形。
【难度系数】
0.7

10. 分解因式：
(1) $6a(b-a)^2 - 2(a-b)^3$；
(2) $4a^2(m-n) + 2b(n-m) - 6c(n-m)$；
(3) $x(x-y)(a-b) - y(y-x)(b-a)$。

10.【解】(1) 原式 $= 6a(a - b)^2 - 2(a - b)^3 = 2(a - b)^2[3a - (a - b)] = 2(a - b)^2(2a + b).$
(2) 原式 $= 4a^2(m - n) - 2b(m - n) + 6c(m - n) = 2(m - n)(2a^2 - b + 3c).$
(3) 原式$=x(x-y)(a-b)-y(x-y)(a-b)=(x-y)(a-b)(x-y)=(x-y)^2(a-b).$

【分析】
这三道因式分解题均属于提公因式法的进阶应用，解题思路可分为三步：①统一多项式符号：遇到互为相反数的多项式（如$a-b$与$b-a$、$m-n$与$n-m$），根据“偶次幂符号不变，奇次幂改变符号”的规则，将其转化为相同形式的多项式；②确定公因式：公因式包含系数的最大公约数，以及相同多项式的最低次幂；③提取公因式并化简：将公因式提出后，对剩余的整式部分进行去括号、合并同类项，确保最终结果最简。
【解析】
(1) 首先利用$(b-a)^2=(a-b)^2$统一多项式形式：
原式$= 6a(a - b)^2 - 2(a - b)^3$
观察得公因式为$2(a-b)^2$，提取公因式可得：
$= 2(a - b)^2[3a - (a - b)]$
去括号合并同类项：
$= 2(a - b)^2(2a + b)$
(2) 利用$n-m=-(m-n)$统一多项式形式：
原式$= 4a^2(m - n) - 2b(m - n) + 6c(m - n)$
观察得公因式为$2(m-n)$，提取公因式可得：
$= 2(m - n)(2a^2 - b + 3c)$
(3) 先对后项变形：$y-x=-(x-y)$，$b-a=-(a-b)$，因此$(y-x)(b-a)=(x-y)(a-b)$，原式可转化为：
原式$=x(x-y)(a-b)-y(x-y)(a-b)$
提取公因式$(x-y)(a-b)$：
$=(x-y)(a-b)(x-y)$
整理后得：
$=(x-y)^2(a-b)$
【答案】
(1) $2(a - b)^2(2a + b)$
(2) $2(m - n)(2a^2 - b + 3c)$
(3) $(x-y)^2(a-b)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 多项式符号变换
3. 整式加减运算
【点评】
本题重点考查提公因式法的灵活运用，核心易错点是互为相反数的多项式的符号转换，需注意多项式的次数奇偶性对符号的影响，提取公因式后要合并剩余部分的同类项，保证因式分解的结果是最简形式。
【难度系数】
0.7

11.认真阅读以下分解因式的过程,再回答所提出的问题:
$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)]$
$=(1+x)[(1+x)(1+x)]$
$=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是;
(2)分解因式:$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$;
(3)猜想:$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$,n为正整数时分解因式的结果是.

11.【解】(1)提公因式法
(2)$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)·(1+x)(1+x)=(1+x)^4.$
(3)$(1+x)^{n+1}$

【分析】
(1)观察给出的因式分解过程，每一步均是提取公因式$(1+x)$后进行化简，由此可直接判断分解方法；
(2)仿照例题的分解思路，反复提取公因式$(1+x)$即可：先第一次提取公因式$(1+x)$，剩余的式子和例题分解前的结构一致，再继续逐次提取公因式，直到无公因式可提；
(3)总结前两问的结果规律：当最后一项为$x(1+x)^2$时，分解结果是$(1+x)^3$；当最后一项为$x(1+x)^3$时，分解结果是$(1+x)^4$，可推出最后一项指数为$n$时，结果的指数为$n+1$，直接写出猜想即可。
【解析】
(1)题中分解因式的过程全程通过提取公因式$(1+x)$完成，因此方法为提公因式法。
(2)分解过程如下：
$\begin{aligned}&1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3\\=&(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]\\=&(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]\\=&(1+x)^2·(1+x)(1+x)\\=&(1+x)^4\end{aligned}$
(3)结合前面的计算规律，式子最后一项为$x(1+x)^n$时，分解后$(1+x)$的指数比最后一项的指数多1，即结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1)提公因式法
(2)$(1+x)^4$
(3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法因式分解；规律探究
【点评】
本题重点考查提公因式法分解因式的灵活运用，要求学生掌握反复提取公因式的操作，同时具备从特殊案例归纳一般规律的能力，解题时要注意提取公因式后检查剩余因式是否还能继续分解，避免分解不彻底。
【难度系数】
0.8