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1. 已知长方形ABCD的长为8，宽为4，内部圆的半径为1.
(1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；(结果保留π)
(2)当a=7，b=3时，求阴影部分的面积S的值.(π取3.14)
(1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；(结果保留π)
(2)当a=7，b=3时，求阴影部分的面积S的值.(π取3.14)
答案
1. (1) 由题图可得，S=8×4−1/2ab−1/2×(8−2)×4+π×1²=20−1/2ab+π.
(2) 当a=7，b=3时，S=20−1/2×7×3+3.14=12.64.
(2) 当a=7，b=3时，S=20−1/2×7×3+3.14=12.64.
解析
【分析】
求解不规则阴影部分的面积，优先采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差计算：①先计算整体长方形的面积；②找出两个空白直角三角形，分别计算它们的面积，用长方形面积减去两个空白三角形的面积，得到斜向阴影四边形的面积；③最后加上内部阴影小圆的面积，即可得到总阴影面积。第二问只需将给定的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 首先计算各规则图形的面积：
长方形ABCD的面积：$8×4=32$
两条直角边为$a$、$b$的空白直角三角形面积：$\frac{1}{2}ab$
左下角空白直角三角形的底为$8-2=6$，高为4，面积为：$\frac{1}{2}×6×4=12$
阴影小圆的半径为1，面积为：$π×1^2=π$
因此阴影部分总面积：
$S=32 - \frac{1}{2}ab - 12 + π=20 - \frac{1}{2}ab + π$
(2) 当$a=7$，$b=3$，$π=3.14$时，代入上述代数式：
$S=20 - \frac{1}{2}×7×3 + 3.14=20 - 10.5 + 3.14=12.64$
【答案】
(1) $S=20-\frac{1}{2}ab+π$
(2) $12.64$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 代数式求值
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题核心是利用割补法转化不规则图形的面积，解题时需明确各部分图形的边长关系，避免遗漏阴影小圆的面积，代入求值时注意运算顺序，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
求解不规则阴影部分的面积，优先采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差计算：①先计算整体长方形的面积；②找出两个空白直角三角形，分别计算它们的面积，用长方形面积减去两个空白三角形的面积，得到斜向阴影四边形的面积；③最后加上内部阴影小圆的面积，即可得到总阴影面积。第二问只需将给定的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 首先计算各规则图形的面积：
长方形ABCD的面积：$8×4=32$
两条直角边为$a$、$b$的空白直角三角形面积：$\frac{1}{2}ab$
左下角空白直角三角形的底为$8-2=6$，高为4，面积为：$\frac{1}{2}×6×4=12$
阴影小圆的半径为1，面积为：$π×1^2=π$
因此阴影部分总面积：
$S=32 - \frac{1}{2}ab - 12 + π=20 - \frac{1}{2}ab + π$
(2) 当$a=7$，$b=3$，$π=3.14$时，代入上述代数式：
$S=20 - \frac{1}{2}×7×3 + 3.14=20 - 10.5 + 3.14=12.64$
【答案】
(1) $S=20-\frac{1}{2}ab+π$
(2) $12.64$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 代数式求值
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题核心是利用割补法转化不规则图形的面积，解题时需明确各部分图形的边长关系，避免遗漏阴影小圆的面积，代入求值时注意运算顺序，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
2. 图(1)是一张边长为$a$的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为$b$的小正方形，然后将图(1)剩余部分(阴影部分)剪拼成图(2)所示的一个大长方形(阴影部分)。
(1) 将图(1)阴影部分的面积记为$S_1$，图(2)的面积记为$S_2$，若用含$a$，$b$的代数式表示$S_1$和$S_2$，则$S_1=$
(2) 根据剪拼过程易得$S_1=S_2$，从而得到关于$a$，$b$的等式为
(3) 利用(2)中的结论，求$95^2 - 85^2$的值。
(1) 将图(1)阴影部分的面积记为$S_1$，图(2)的面积记为$S_2$，若用含$a$，$b$的代数式表示$S_1$和$S_2$，则$S_1=$
$a^2-b^2$
，$S_2=$$(a+b)(a-b)$
；(2) 根据剪拼过程易得$S_1=S_2$，从而得到关于$a$，$b$的等式为
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
；(3) 利用(2)中的结论，求$95^2 - 85^2$的值。
答案
2. (1) $a^2-b^2$ $(a+b)(a-b)$
(2) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(3) $95^2-85^2=(95+85)×(95-85)=180×10=1\ 800$.
(2) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(3) $95^2-85^2=(95+85)×(95-85)=180×10=1\ 800$.
解析
【分析】
(1) 求$S_1$时，观察图1可知阴影部分是边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形的剩余部分，用大正方形面积减小正方形面积即可求出$S_1$；求$S_2$时，先确定图2长方形的长为$a+b$、宽为$a-b$，再用长方形面积公式计算即可。
(2) 剪拼前后阴影部分面积不变，将(1)中两个面积表达式联立即可得到对应的等式。
(3) 计算$95^2-85^2$时，把95看作公式中的$a$、85看作公式中的$b$，代入(2)得到的等式即可简化运算。
【解析】
(1) 图1中，大正方形面积为$a^2$，剪去的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2-b^2$；
图2中，长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此长方形面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
(2) 剪拼过程中阴影部分总面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
(3) 利用上述结论计算：
$95^2-85^2=(95+85)×(95-85)=180×10=1800$
【答案】
(1) $a^2-b^2$；$(a+b)(a-b)$
(2) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(3) $1800$
【知识点】
平方差公式；割补法求面积；代数式求值
【点评】
本题通过几何图形剪拼直观验证了平方差公式，体现了数形结合的数学思想，同时考查了平方差公式的简便运算应用，解题核心是理解剪拼前后面积相等的关系，熟练掌握平方差公式的形式。
【难度系数】
0.8
(1) 求$S_1$时，观察图1可知阴影部分是边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形的剩余部分，用大正方形面积减小正方形面积即可求出$S_1$；求$S_2$时，先确定图2长方形的长为$a+b$、宽为$a-b$，再用长方形面积公式计算即可。
(2) 剪拼前后阴影部分面积不变，将(1)中两个面积表达式联立即可得到对应的等式。
(3) 计算$95^2-85^2$时，把95看作公式中的$a$、85看作公式中的$b$，代入(2)得到的等式即可简化运算。
【解析】
(1) 图1中，大正方形面积为$a^2$，剪去的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2-b^2$；
图2中，长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此长方形面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
(2) 剪拼过程中阴影部分总面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
(3) 利用上述结论计算：
$95^2-85^2=(95+85)×(95-85)=180×10=1800$
【答案】
(1) $a^2-b^2$；$(a+b)(a-b)$
(2) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(3) $1800$
【知识点】
平方差公式；割补法求面积；代数式求值
【点评】
本题通过几何图形剪拼直观验证了平方差公式，体现了数形结合的数学思想，同时考查了平方差公式的简便运算应用，解题核心是理解剪拼前后面积相等的关系，熟练掌握平方差公式的形式。
【难度系数】
0.8
3. 如图，一种圆环的外圆直径是8 cm，环宽1 cm. 若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y cm，则当x=2026时，y的值为
12 158
。答案
3. 12 158
解析
【分析】
解题时首先观察单个圆环的长度，再分析多个圆环扣合时的重叠规律：单个圆环外直径为8cm，每两个圆环扣合时，重叠部分长度为2倍环宽（即2×1=2cm），因此每增加1个圆环，总长度仅增加8-2=6cm。我们先推导x个圆环扣合后的总长度y与x的关系式，再代入x=2026计算即可得到结果。
【解析】
解：已知单个圆环的外直径为8cm，环宽1cm。
两个圆环扣合时，重叠部分长度为$2×1=2\mathrm{cm}$，因此每新增1个圆环，总长度增加$8-2=6\mathrm{cm}$。
则x个圆环扣紧后的总长度为：
$y=8 + 6(x-1)=6x+2$
当$x=2026$时，代入得：
$y=6×2026 + 2=12156+2=12158$
【答案】
12158
【知识点】
规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类问题，解题的关键是准确找到圆环扣合时的重叠长度，从而总结出总长度随圆环个数变化的规律，这类问题注重对观察能力和归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察单个圆环的长度，再分析多个圆环扣合时的重叠规律：单个圆环外直径为8cm，每两个圆环扣合时，重叠部分长度为2倍环宽（即2×1=2cm），因此每增加1个圆环，总长度仅增加8-2=6cm。我们先推导x个圆环扣合后的总长度y与x的关系式，再代入x=2026计算即可得到结果。
【解析】
解：已知单个圆环的外直径为8cm，环宽1cm。
两个圆环扣合时，重叠部分长度为$2×1=2\mathrm{cm}$，因此每新增1个圆环，总长度增加$8-2=6\mathrm{cm}$。
则x个圆环扣紧后的总长度为：
$y=8 + 6(x-1)=6x+2$
当$x=2026$时，代入得：
$y=6×2026 + 2=12156+2=12158$
【答案】
12158
【知识点】
规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类问题，解题的关键是准确找到圆环扣合时的重叠长度，从而总结出总长度随圆环个数变化的规律，这类问题注重对观察能力和归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：
(1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐
(2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐
(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
(1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐
22
人，第二种摆放方式能坐14
人.(2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐
$(4n+2)$
人，第二种摆放方式能坐$(2n+4)$
人.(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
答案
4. (1) 22 14
(2) $(4n+2)$ $(2n+4)$
(3)选择第一种方式. 理由如下：
第一种方式：60 张桌子一共能坐 60×4+2=242(人).
第二种方式：60 张桌子一共能坐 60×2+4=124(人).
因为 242＞200＞124，所以选择第一种方式.
(2) $(4n+2)$ $(2n+4)$
(3)选择第一种方式. 理由如下：
第一种方式：60 张桌子一共能坐 60×4+2=242(人).
第二种方式：60 张桌子一共能坐 60×2+4=124(人).
因为 242＞200＞124，所以选择第一种方式.
解析
【分析】
本题属于图形规律探究类题型，解题思路如下：首先分别统计两种摆放方式下1张、2张、3张桌子对应的可坐人数，对比人数变化找出规律：第一种摆放方式除左右固定2个座位外，每增加1张桌子多坐4人；第二种摆放方式除左右固定4个座位外，每增加1张桌子多坐2人。再将规律转化为含桌子数量n的代数式，最后代入对应数值计算即可解决问题。
【解析】
(1) 计算5张桌子时的可坐人数：
第一种摆放：1张桌子坐$4×1+2=6$人，2张桌子坐$4×2+2=10$人，以此类推，5张桌子可坐$4×5+2=22$人；
第二种摆放：1张桌子坐$2×1+4=6$人，2张桌子坐$2×2+4=8$人，以此类推，5张桌子可坐$2×5+4=14$人。
(2) 推导n张桌子时的可坐人数：
由上述规律可得，n张桌子时，第一种摆放可坐人数为$4n+2$，第二种摆放可坐人数为$2n+4$。
(3) 计算60张桌子时两种方式的可坐人数：
第一种方式：当$n=60$时，总人数为$4×60+2=242$人；
第二种方式：当$n=60$时，总人数为$2×60+4=124$人；
因为$242＞200＞124$，所以选择第一种摆放方式。
【答案】
(1) $22$；$14$
(2) $4n+2$；$2n+4$
(3) 选择第一种方式，理由：60张桌子用第一种方式一共能坐242人，第二种方式一共能坐124人，$242＞200＞124$，因此选择第一种方式。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题结合实际就餐场景出题，既考查学生从具体图形中归纳普遍规律的能力，也考查学生运用规律解决实际问题的能力，是规律类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题属于图形规律探究类题型，解题思路如下：首先分别统计两种摆放方式下1张、2张、3张桌子对应的可坐人数，对比人数变化找出规律：第一种摆放方式除左右固定2个座位外，每增加1张桌子多坐4人；第二种摆放方式除左右固定4个座位外，每增加1张桌子多坐2人。再将规律转化为含桌子数量n的代数式，最后代入对应数值计算即可解决问题。
【解析】
(1) 计算5张桌子时的可坐人数：
第一种摆放：1张桌子坐$4×1+2=6$人，2张桌子坐$4×2+2=10$人，以此类推，5张桌子可坐$4×5+2=22$人；
第二种摆放：1张桌子坐$2×1+4=6$人，2张桌子坐$2×2+4=8$人，以此类推，5张桌子可坐$2×5+4=14$人。
(2) 推导n张桌子时的可坐人数：
由上述规律可得，n张桌子时，第一种摆放可坐人数为$4n+2$，第二种摆放可坐人数为$2n+4$。
(3) 计算60张桌子时两种方式的可坐人数：
第一种方式：当$n=60$时，总人数为$4×60+2=242$人；
第二种方式：当$n=60$时，总人数为$2×60+4=124$人；
因为$242＞200＞124$，所以选择第一种摆放方式。
【答案】
(1) $22$；$14$
(2) $4n+2$；$2n+4$
(3) 选择第一种方式，理由：60张桌子用第一种方式一共能坐242人，第二种方式一共能坐124人，$242＞200＞124$，因此选择第一种方式。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题结合实际就餐场景出题，既考查学生从具体图形中归纳普遍规律的能力，也考查学生运用规律解决实际问题的能力，是规律类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
